(1.南京信息工程大學(xué)氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心， 江蘇南京 210044; 2.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院， 江蘇南京 210044; 3.江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院， 江蘇鎮(zhèn)江 212003)

0 引言

多輸入多輸出(Multiple Input and Multiple Output, MIMO)雷達(dá)是基于MIMO通信技術(shù)發(fā)展起來的一種新體制雷達(dá)[1]。相比于傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)，MIMO雷達(dá)在目標(biāo)探測、抗干擾、目標(biāo)參數(shù)估計和目標(biāo)識別等方面顯示出諸多優(yōu)勢[2-3]，因此已成為學(xué)術(shù)界研究的熱點。

波達(dá)方向(Direction of Arrival, DOA)估計是MIMO雷達(dá)參數(shù)估計的一個重要內(nèi)容。如今關(guān)于MIMO雷達(dá)DOA估計的算法已經(jīng)多不勝數(shù)，諸如Capon算法[4]、多重信號分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[5]、基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號參數(shù)估計(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)算法[6]等。通常，目標(biāo)相對整個觀測空間高度稀疏，因此許多學(xué)者將壓縮感知理論[7]應(yīng)用到MIMO雷達(dá)DOA估計中。然而，l0范數(shù)最小化問題屬于NP-hard問題，需要組合搜索，當(dāng)維度增加時難以實現(xiàn)。文獻(xiàn)[8]針對傳統(tǒng)陣列提出一種基于l1-SVD(l1-norm Singular Value Decomposition)的DOA估計方法，該方法通過對陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解，并建立信號子空間構(gòu)建l2,1范數(shù)聯(lián)合稀疏模型，然后采用二階錐規(guī)劃(Second Order Cone Programming, SOCP)求解該模型。文獻(xiàn)[9]提出一種基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)算法的單基地MIMO雷達(dá)DOA估計方法，該算法利用降維Capon(Reduced-Dimensional Capon, RD-Capon)空間譜的系數(shù)構(gòu)造加權(quán)矩陣以促進(jìn)解的稀疏性，但由于采用SOCP求解方法導(dǎo)致其計算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[10]提出一種平滑l0范數(shù)(Smoothedl0-norm，SL0)算法，該方法利用梯度投影原理以及最速下降法，采用一個平滑的高斯函數(shù)近似l0范數(shù)，從而將離散函數(shù)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)的優(yōu)化問題。該算法的運(yùn)算效率較高，在保證相同精度的條件下，能夠比基追蹤算法[11]的重構(gòu)速度快2～3倍。為了進(jìn)一步提高目標(biāo)的重構(gòu)性能，文獻(xiàn)[12]提出一種基于平滑l0范數(shù)的MIMO雷達(dá)多快拍DOA估計方法，利用接收數(shù)據(jù)的四階累積量矩陣構(gòu)建稀疏表示模型以有效抑制噪聲，并將多測量矢量(Multiple Measurement Vector，MMV)問題轉(zhuǎn)化為一個聯(lián)合平滑函數(shù)的求解問題，且該方法相比文獻(xiàn)[8]所提方法快約兩個數(shù)量級。文獻(xiàn)[13]基于近端方法[14]提出一種相對SL0算法更為廣泛的稀疏重構(gòu)算法以解決非凸平滑問題，稱為迭代稀疏投影(Iterative Sparsification Projection, ISP)算法。針對非凸非平滑問題，文獻(xiàn)[15]提出一種迭代近端投影(Iterative Proximal Projection, IPP)算法，該算法通過構(gòu)造近端函數(shù)模型，并利用SCAD(Smoothly Clipped Absolute Deviation Penalty)[16-17]閾值函數(shù)獲得近端算子來求解該模型以促進(jìn)解的稀疏度，同時引用外推步驟[18]改善該算法的收斂性能。傳統(tǒng)基于壓縮感知的MIMO雷達(dá)DOA估計算法將非凸非平滑稀疏表示問題近似成凸或平滑函數(shù)問題進(jìn)行求解，稀疏表示模型誤差的存在會導(dǎo)致DOA估計性能不理想。目前，迭代近端投影(IPP)算法還未應(yīng)用到MIMO雷達(dá)參數(shù)估計的相關(guān)領(lǐng)域。

針對MIMO雷達(dá)DOA估計的非凸非平滑稀疏表示問題，本文提出一種基于迭代近端投影的MIMO雷達(dá)多快拍DOA估計方法。該方法對回波數(shù)據(jù)進(jìn)行降維變換以剔除冗余數(shù)據(jù)，并對降維后的數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解(SVD)以提取信號子空間，然后建立MIMO雷達(dá)多快拍DOA估計的近端函數(shù)稀疏信號模型，并采用SCAD函數(shù)獲得近端算子以求解該模型，從而解決MIMO雷達(dá)多快拍DOA估計中的非凸非平滑問題。仿真結(jié)果表明，本文方法的相干信源DOA估計性能優(yōu)于現(xiàn)有方法。

1 MIMO雷達(dá)信號模型

假設(shè)窄帶單基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)具有M個發(fā)射陣元和N個接收陣元，發(fā)射和接收陣列均為均勻線陣，其陣元間隔分別為dt=λ/2和dr=λ/2，λ為接收信號波長。假設(shè)存在P個遠(yuǎn)場窄帶相干目標(biāo)，其入射角度分別為θ1,θ2,…,θP，MIMO雷達(dá)接收陣列信號經(jīng)匹配濾波后可表示為

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

式中:A=[at(θ1)?ar(θ1),…,at(θP)?ar(θP)]∈CMN×P為發(fā)射接收聯(lián)合導(dǎo)向矩陣；at(θp)=[1,ejπsin(θp),ejπ2sin(θp),…,ejπ(M-1)sin(θp)]T∈CM×1為發(fā)射陣列的導(dǎo)向向量；ar(θp)=[1,ejπsin(θp),ejπ2sin(θp),…,ejπ(N-1)sin(θp)]T∈CN×1為接收陣列的導(dǎo)向向量；(·)T表示矩陣轉(zhuǎn)置；C表示復(fù)數(shù)域；?表示Kronecker積；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T∈CP×1為相干信源信號矢量，其中，sp(t)=αps1(t)，p=1,2,…,P，復(fù)常數(shù)αp表示sp(t)相對于s1(t)的相干系數(shù)；n(t)∈CMN×1為接收陣列的噪聲矩陣，服從零均值，方差為σ2的高斯分布，即n(t)～Nc(0,σ2IMN)，IMN表示MN×MN維的單位矩陣。取J個快拍下MIMO雷達(dá)虛擬陣列輸出數(shù)據(jù)矩陣，即

X=AS+N

(2)

式中，X=[x(t1),x(t2),…,x(tJ)]∈CMN×J為虛擬陣列輸出數(shù)據(jù)矩陣；S=[s(t1),s(t2),…,s(tJ)]∈CP×J為目標(biāo)回波信號矩陣；N=[n(t1),n(t2),…,n(tJ)]∈CMN×J為高斯噪聲矩陣。

2 基于迭代近端投影的MIMO雷達(dá)多快拍DOA估計方法

傳統(tǒng)基于壓縮感知的MIMO雷達(dá)DOA估計算法將非凸非平滑稀疏表示問題近似成凸或平滑函數(shù)問題進(jìn)行求解，為了避免稀疏表示模型誤差對DOA估計性能的影響，本文將迭代近端投影思想推廣應(yīng)用于MIMO雷達(dá)DOA估計中，提出一種基于迭代近端投影的MIMO雷達(dá)多快拍DOA估計方法。對于發(fā)射陣列和接收陣列均為陣元間距等于半波長的均勻線陣的單基地MIMO雷達(dá)來說，其有效虛擬陣元個數(shù)為M+N-1，因此，MN×1維的目標(biāo)均勻線陣導(dǎo)向矢量可由(M+N-1)×1維的虛擬均勻線陣導(dǎo)向矢量通過線性變換來表示[19]，即

at(θp)?ar(θp)=Gb(θp)

(3)

A=GB

(4)

式中，B=[b(θ1),b(θ2),…,b(θP)]為(M+N-1)×P維的虛擬均勻線陣導(dǎo)向矩陣。為了降低算法的計算復(fù)雜度，可定義一個大小為(M+N-1)×MN的降維矩陣T對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行降維預(yù)處理。為了使得降維后的噪聲是服從N～(0,σ2IM+N-1)的高斯白噪聲，降維矩陣T需滿足TTH=IM+N-1，因此降維矩陣可選取為T=F-1GH∈C(M+N-1)×MN，其中

(5)

式中，min(·)表示取最小的元素，diag(·)表示對角化操作，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。經(jīng)過降維變換后，式(2)的接收數(shù)據(jù)矩陣可表示為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

在式(11)的稀疏信號表示模型中引入懲罰函數(shù)方法[21]，即

(13)

(14)

根據(jù)近端投影[14]的定義，式(14)進(jìn)一步化簡為

(15)

(16)

式中，w≥0為權(quán)重常數(shù)。則式(13)的解可表示為

(17)

(18)

(19)

結(jié)合以上理論分析，本文算法步驟可總結(jié)為：

步驟3 構(gòu)造多快拍稀疏信號表示模型：

步驟4 采用迭代近端投影算法求解稀疏信號表示模型：

初始化：

b) 選取一組合適的序列[λ1,λ2,…,λK]，且λk+1=cλk，0

算法迭代：

Fork=1,2,…,K

a) 令λ=λk

b) 進(jìn)行Q次迭代求解全局最小值，并將該最小值投影到可行集上

2) Forq=1,2,…,Q

3 仿真結(jié)果及分析

仿真實驗1 圖1為各種算法的DOA估計均方根誤差隨信噪比變化的曲線圖。設(shè)置信噪比在-10～15 dB之間變化，快拍數(shù)J=100，進(jìn)行100次蒙特卡羅實驗。從圖1可以看出，由于信源相干導(dǎo)致協(xié)方差矩陣的秩虧缺，信號特征向量發(fā)散到噪聲子空間，造成MUSIC算法的DOA估計方法失效；FBSS-MUSIC算法利用前后向空間平滑技術(shù)實現(xiàn)信號的解相干，能夠有效估計DOA，但在高信噪比下該方法的DOA估計性能較差。SL0-SVD算法、L1-SVD算法以及IPP-SCAD-SVD算法均屬于基于壓縮感知的DOA估計方法，這些方法能夠?qū)ο喔尚旁吹腄OA進(jìn)行有效估計，且DOA估計的均方根誤差隨信噪比的增加而減小，而本文算法的DOA估計精度明顯優(yōu)于其他算法。

圖1 各種算法的DOA估計均方根誤差隨信噪比變化的曲線圖

仿真實驗2 圖2為各種算法的DOA估計均方根誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系曲線。設(shè)置信噪比為-5 dB，進(jìn)行100次蒙特卡羅實驗，快拍數(shù)J在50～350之間變化。從圖2可以看出，MUSIC算法無法處理相干信源，其他各種算法的角度估計精度均隨著快拍數(shù)的增加而提高，而本文算法相比其他算法具有更高的DOA估計精度。

圖2 各種算法的DOA估計均方根誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系

仿真實驗3 圖3為各種算法的DOA估計均方根誤差隨兩個相干目標(biāo)的入射角度間隔Δθ的變化關(guān)系。兩個相干目標(biāo)的入射角度分別為θ1=6°，θ2=6°+Δθ，其中Δθ∈[14°,22°]，信噪比為5 dB，快拍數(shù)J=100，進(jìn)行100次蒙特卡羅實驗。從圖3可以看出，MUSIC算法無法分辨相干目標(biāo)，F(xiàn)BSS-MUSIC算法、SL0-SVD算法、L1-SVD算法和本文算法的DOA估計精度均隨著目標(biāo)角度間隔的增大而提高，而本文算法的DOA估計精度始終高于其他算法，表明本文算法相比其他算法能獲得更高的空間角度分辨率。

圖3 各種算法的DOA估計均方根誤差隨角度間隔變化關(guān)系

4 結(jié)束語

在傳統(tǒng)基于壓縮感知的MIMO雷達(dá)DOA估計算法中，由于將非凸非平滑稀疏表示問題近似成凸或平滑函數(shù)問題進(jìn)行求解，因此不可避免地存在稀疏表示模型誤差，從而導(dǎo)致DOA估計性能不理想。本文將能解決非凸非平滑稀疏表示問題的迭代近端投影方法應(yīng)用于MIMO雷達(dá)多快拍DOA估計中，首先對回波數(shù)據(jù)依次進(jìn)行降維處理和奇異值分解，分別降低空域維度和時域維度，然后將多快拍DOA估計的非凸非平滑稀疏表示問題轉(zhuǎn)化為近端函數(shù)優(yōu)化模型的問題，最后采用SCAD函數(shù)獲得近端算子以求解該模型。仿真結(jié)果表明，本文方法相比現(xiàn)有算法在相干信源的DOA估計方面擁有良好的性能。