(西安電子科技大學(xué)電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西西安 710071)

0 引言

無(wú)源定位系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于環(huán)境監(jiān)測(cè)、醫(yī)療和軍事等領(lǐng)域，其基本原理是通過(guò)測(cè)量目標(biāo)輻射源的發(fā)射信號(hào)，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位。常用的無(wú)源定位技術(shù)有：基于到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival , TOA)、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival, TDOA)、到達(dá)角度(Angle of Arrival, AOA)、到達(dá)頻率差(Frequency Difference of Arrival,FDOA)等[1]。其中，TDOA技術(shù)因其較高的定位精度得到廣泛的研究和應(yīng)用。當(dāng)定位技術(shù)確定時(shí)，影響定位精度的主要因素有基站布局、時(shí)差測(cè)量誤差、布站誤差等[2]。本文主要研究在不同時(shí)差測(cè)量誤差影響下的TDOA定位系統(tǒng)的最優(yōu)布站方法。

目前研究各種無(wú)源定位系統(tǒng)布站方法的文獻(xiàn)中，大多是使用解析法，假設(shè)TDOA測(cè)量誤差為恒定高斯分布，理論推導(dǎo)后得到基站在一些特定位置時(shí)的布站方法，其求解較復(fù)雜且不具有普遍適用性。如文獻(xiàn)[3]通過(guò)半正定規(guī)劃的方法研究了傳感器網(wǎng)絡(luò)中最優(yōu)定位節(jié)點(diǎn)的選擇。文獻(xiàn)[4]研究了直線、梯形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、菱形、倒三角、正方形和Y形八種規(guī)則布站時(shí)的定位誤差，指出Y形布站覆蓋范圍最大，各個(gè)方向定位精度較好。文獻(xiàn)[5]通過(guò)對(duì)克拉美羅下界的跡的表達(dá)式推導(dǎo)得到：當(dāng)接收站包圍目標(biāo)并呈等角布站時(shí)布站最優(yōu)。文獻(xiàn)[6]通過(guò)改變規(guī)則圖形布站的基線長(zhǎng)度和基線指向，研究了不規(guī)則布站的布站策略。文獻(xiàn)[7]將TDOA系統(tǒng)布站問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，使用遺傳算法(Genetic Algorithm , GA)來(lái)求解最優(yōu)布站，具有普遍適用性，但是該方法仍然是假設(shè)TDOA測(cè)量誤差為恒定高斯分布，未考慮基站和目標(biāo)的位置、目標(biāo)信號(hào)帶寬、接收機(jī)噪聲帶寬等因素對(duì)TDOA測(cè)量誤差的影響，而且遺傳算法調(diào)節(jié)參數(shù)較多，收斂速度較慢，需要較多次迭代才能解得最優(yōu)布站位置。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文以TDOA無(wú)源定位系統(tǒng)為研究對(duì)象，求解出更符合實(shí)際情況的TDOA測(cè)量誤差，并在此基礎(chǔ)上用粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)求解指定范圍內(nèi)的最優(yōu)布站位置。

1 三維空間TDOA定位模型

假設(shè)在三維空間中，待定位目標(biāo)輻射源位置為x=[x,y,z]T，接收基站位置si=[xi,yi,zi]T，i=0,1,…,n，表示為向量形式為s=[s0,s1,…,sn]T，輻射源到接收站的歐氏距離為ri=‖x-si‖，i=0,1,…,n。設(shè)定s0為主接收基站，輻射源信號(hào)傳播速度為c，可得式(1)：

ri0=cti0=Δri0+cni0,i=1,2,…,n

(1)

式中，ri0為實(shí)際測(cè)得的第i號(hào)基站與主站到目標(biāo)輻射源距離的差值，ti0為實(shí)際測(cè)得的第i號(hào)基站與主站到目標(biāo)輻射源的時(shí)差，Δri0為第i號(hào)基站與主站在不含測(cè)量誤差情況下到目標(biāo)輻射源距離的差值，ni0為第i號(hào)基站與主站的實(shí)際時(shí)差測(cè)量誤差。

將式(1)表示為向量形式：

z=h(x)+e

(2)

式中，z=[r10,r20,…,rn0]T，e=[cn10,cn20,…,cnn0]T,h(x)=[r1-r0,r2-r0,…,rn-r0]T。

三維空間TDOA定位即是在已知接收站的位置和測(cè)量時(shí)差的基礎(chǔ)上，對(duì)目標(biāo)的位置u進(jìn)行求解。

2 不同TDOA測(cè)量誤差下定位精度的CRLB分析

在無(wú)源時(shí)差定位問(wèn)題中，目標(biāo)的定位誤差會(huì)存在CRLB。CRLB的跡表示了無(wú)偏的目標(biāo)位置估計(jì)量在各個(gè)維度上方差的和，工程中一般以它來(lái)衡量目標(biāo)定位性能。在定位方法一定時(shí)，TDOA測(cè)量誤差的計(jì)算方式不同，會(huì)影響CRLB的求解。

(3)

F為Fisher信息矩陣：

F=E{[xlnp(z|h(x))][xlnp(z|h(x))]T}

(4)

CRLB=F-1=(QTR-1Q)-1

(5)

式中，

(6)

R=cov(e·eT)=

(7)

假設(shè)σ0=σ1=…=σn=σs時(shí)，

(8)

實(shí)際應(yīng)用中，基站的觀測(cè)性能受多種因素的影響，此時(shí)可將TDOA測(cè)量誤差的方差視為由目標(biāo)信號(hào)參數(shù)、信噪比和傳播距離等決定的一個(gè)函數(shù)，表示為：ni0～(0,σ2(x)),i=1,2,…,n，因此提出一種更接近實(shí)際情況的計(jì)算CRLB的方法。假設(shè)三維空間TDOA定位模型在視距環(huán)境中，則第i個(gè)基站接收信號(hào)的功率可由電磁波在自由空間的傳播損耗模型來(lái)確定[9]：

(9)

(10)

SNR為某一參考距離r處的信噪比，則第i個(gè)定位基站處接收信號(hào)的信噪比可以表示為

(11)

由TDOA測(cè)量相關(guān)理論可知，當(dāng)多種可用技術(shù)用于測(cè)量TDOA時(shí)，該估計(jì)將是無(wú)偏的而且其方差可以達(dá)到時(shí)差測(cè)量的CRLB[10]。利用互相關(guān)法測(cè)量信號(hào)時(shí)間差的精度極限可以表示為[11]

(12)

式中，B為接收信號(hào)的均方根等效帶寬，Bn為噪聲信號(hào)的均方根等效帶寬，T為信號(hào)相對(duì)于采樣周期的時(shí)間長(zhǎng)度，SNRi0為相關(guān)后信號(hào)對(duì)噪聲的功率比，兩者都是無(wú)單位的比值。SNRi0可表示為

i=1,2,…,n

(13)

式(11)和式(13)代入式(12)中可得第i號(hào)基站和主站所測(cè)輻射源信號(hào)的TDOA下界為

(14)

由式(14)可以看出,TDOA測(cè)量誤差與目標(biāo)輻射源和基站間的距離、目標(biāo)信號(hào)帶寬，目標(biāo)信號(hào)累積時(shí)間、接收機(jī)的噪聲帶寬、參考距離及其對(duì)應(yīng)信噪比有關(guān)。

此時(shí)假設(shè)主站和不同基站間的TDOA測(cè)量誤差相互獨(dú)立，則測(cè)量向量z的似然函數(shù)為

(15)

此時(shí)，距離誤差的協(xié)方差矩陣為

(16)

將式(15)代入式(4)中，可得F的各個(gè)元素為

Fij=(QTR(x)-1Q)ij+

(17)

其中，Q可以用式(6)來(lái)表示。則有

(18)

則CRLB的跡為

J=tr(CRLB)=tr(F-1)

(19)

3 基于粒子群算法的最優(yōu)布站方法

在求解最優(yōu)布站位置時(shí)，輻射源目標(biāo)的具體位置是未知的，為確保目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度，本文采用的方法是將目標(biāo)區(qū)域離散化，目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度可以表示為

(20)

式中，θ=[x0,y0,z0,x1,y1,z1,…,xn,yn,zn]為參與定位的n+1個(gè)基站的位置，N為目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的輻射源目標(biāo)個(gè)數(shù)。則在基站指定布站區(qū)域內(nèi)，用粒子群算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(θ)迭代尋優(yōu)，使函數(shù)f(θ)的值最小時(shí)的變量θ即為基站的最優(yōu)布站位置。粒子群算法求解最優(yōu)布站流程為：

1) 種群初始化：隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模為M個(gè)粒子的種群，設(shè)定迭代次數(shù)、在布站區(qū)域內(nèi)初始化粒子θ中每個(gè)基站的三維坐標(biāo)位置和坐標(biāo)移動(dòng)速度。

2) 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)f(θ)計(jì)算每個(gè)粒子的定位誤差，獲取粒子個(gè)體的歷史最佳位置、種群的歷史最佳位置、個(gè)體最佳適應(yīng)度、種群最佳適應(yīng)度。粒子定位誤差越小，其適應(yīng)度越高，布站位置越好。

3) 按粒子群算法粒子更新公式[12]更新粒子位置和速度，繼續(xù)執(zhí)行流程2)，直到迭代到指定次數(shù)。迭代后所求得的適應(yīng)度最高的粒子即為最優(yōu)布站位置，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為定位誤差。

4 算法仿真和結(jié)果分析

本節(jié)主要是采用粒子群算法，對(duì)三維空間中不同TDOA測(cè)量誤差下最優(yōu)布站位置和布站性能進(jìn)行仿真和分析。仿真參數(shù)設(shè)置為：

1) 定位系統(tǒng)參數(shù)：定位基站個(gè)數(shù)為4，基站區(qū)域?yàn)镽1:{x∈[-25,25],y∈[-25,25],z∈[0,5]}，目標(biāo)區(qū)域?yàn)镽2:{x∈[-100,200],y∈[0,200],z∈[5]}，單位為km。信號(hào)等效帶寬B=500 kHz，噪聲等效帶寬Bn=1 MHz，時(shí)間長(zhǎng)度T=1 000，參考距離r=100 m處的信噪比為30 dB，即SNR=1 000。

2) 粒子群算法參數(shù)：種群規(guī)模為200，最大迭代次數(shù)為200次，變量維數(shù)為12，自我學(xué)習(xí)因子c1=1.5，群體學(xué)習(xí)因子c2=1.5，慣性權(quán)重ω取0.9～0.4，隨迭代次數(shù)的增加線性遞減。

圖1 不同迭代次數(shù)后基站最優(yōu)布站時(shí)的定位誤差

圖2 迭代200次后最優(yōu)布站的位置

圖3 PSO-NEW算法最優(yōu)布站時(shí)定位誤差等高線圖

圖1為隨迭代次數(shù)的增加，3種算法求解得到的基站最優(yōu)布站對(duì)目標(biāo)區(qū)域的定位誤差。圖2為迭代200次后，3種算法求解后得到的最優(yōu)布站三維坐標(biāo)圖，不同算法求解得到的基站位置用不同形狀的圖形來(lái)區(qū)分。從圖1可以看出：當(dāng)TDOA測(cè)量誤差為恒定高斯分布時(shí)，粒子群算法(PSO)比遺傳算法(GA)收斂速度更快，更適用于需要快速作出反應(yīng)的無(wú)源定位環(huán)境，兩者定位精度基本相同。從圖2可以看出：當(dāng)TDOA測(cè)量誤差為恒定高斯分布時(shí)，PSO算法和GA算法求解的最優(yōu)布站位置基本相同。從圖1還可以看出：當(dāng)TDOA測(cè)量誤差為多種因素綜合影響的函數(shù)時(shí)，用PSO算法求得最優(yōu)布站所對(duì)應(yīng)的定位誤差與TDOA測(cè)量誤差為恒定高斯分布時(shí)相比，定位誤差由1.092 5 km下降到0.529 81 km，說(shuō)明此時(shí)求解的最優(yōu)布站位置更好，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)區(qū)域更高精度的定位。

圖3為PSO-NEW算法200次迭代后求得的最優(yōu)布站位置所對(duì)應(yīng)的定位誤差CRLB的等高線圖，從圖中可以看出，目標(biāo)區(qū)域R2內(nèi)，定位誤差以布站區(qū)域?yàn)橹行南蛩闹苤饾u遞增，目標(biāo)區(qū)域的定位誤差基本都在2 km以內(nèi)，進(jìn)一步證明本文所提算法求得的布站位置對(duì)目標(biāo)區(qū)域的整體定位性能良好。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了三維時(shí)差定位系統(tǒng)模型，提出了一種更符合實(shí)際情況的TDOA測(cè)量誤差的計(jì)算方法，并推導(dǎo)出在不同時(shí)差測(cè)量誤差影響下，目標(biāo)區(qū)域定位誤差的CRLB。本文以定位誤差CRLB的跡的平均值最小為優(yōu)化目標(biāo)，用粒子群算法求解最優(yōu)布站。仿真結(jié)果表明：本文所提算法求解的最優(yōu)布站位置，與假設(shè)TDOA測(cè)量誤差為恒定高斯分布時(shí)相比，其定位誤差明顯減小，目標(biāo)區(qū)域整體定位性能良好；與用遺傳算法求解的最優(yōu)布站位置相比，其收斂速度快且調(diào)節(jié)參數(shù)少，更適用于需要快速作出反應(yīng)的偵察定位場(chǎng)合；同時(shí)，本文所提算法無(wú)需像解析法中那樣針對(duì)特定情況推導(dǎo)最優(yōu)布站位置，在理論上可以求解在任意布站區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)布站，求解簡(jiǎn)單且具有普遍適用性。