譚 楊，郭子君，楊 林，王海揚(yáng)

(1.銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300；2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，廣東 廣州 510642)

0 引 言

禽流感病毒屬于一類非常復(fù)雜的病毒類型.這類病毒前期不僅能感染禽類種群，還能感染一些哺乳類動(dòng)物.隨著該類病毒的不斷突變，人類種群也成為了易感者(2013年3月我國(guó)首次發(fā)現(xiàn)人類感染H7N9型禽流感的病例)，具有較高的死亡率[1]，我國(guó)于2013年11月開始將該類疾病納入法定乙類傳染病.

在過去的幾十年中，用數(shù)學(xué)建模的方法研究流行的傳播受到很多學(xué)者的極大關(guān)注，也是研究傳染病傳播規(guī)律的重要手段之一，主要通過建立反映傳染病發(fā)展動(dòng)態(tài)的模型，對(duì)其進(jìn)行定性和定量分析，揭示傳染病的發(fā)展規(guī)律，找到預(yù)防和控制傳染病發(fā)展的最佳策略.文獻(xiàn)[2]提出了一類引入禽流感變異過程的SI-SIR模型，描述了禽流感病毒從禽類種群感染到人類種群的過程.文獻(xiàn)[3]提出了一類帶有飽和治療的禽流感動(dòng)力模型，得到了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[4]研究的禽流感模型中，病毒具有l(wèi)ogistic增長(zhǎng)率，得到了判別系統(tǒng)各類平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的條件.

疾病潛伏期在傳染病傳播過程中有著重要的作用，有些疾病受感染后并不會(huì)立即顯現(xiàn)相應(yīng)癥狀[5-6].文獻(xiàn)[7]研究了一類具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯SEIRS傳染病模型，得到了系統(tǒng)無病周期解全局吸引和持久的充分條件.文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，研究了一類帶時(shí)滯效應(yīng)的禽流感模型，禽類和人類系統(tǒng)對(duì)禽流感病毒均具有潛伏期，得到了平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的基本再生數(shù).該模型如下

(1)

前面兩個(gè)方程表示禽類系統(tǒng)，其中，Sa與Ia分別為易感禽類種群和染病禽類種群數(shù)量;Sh，Ih，Rh分別為易感人類種群數(shù)量，感染禽流感病毒的人類種群數(shù)量和恢復(fù)人群數(shù)量;Πa和Πh分別為禽類種群和人類種群的常數(shù)引進(jìn)率;βa和βh分別為禽類與人類易感種群接觸患病禽類后的染病轉(zhuǎn)化系數(shù);τa(τh)描述禽流感病毒對(duì)禽類種群(人類)潛伏期的時(shí)間延遲;μa(μh)為禽類種群(人類種群)的自然死亡率;δa(δh)為禽類(人類)種群的因病死亡率;γ為人類染病者的康復(fù)率.文獻(xiàn)[8]研究了模型(1)各類平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性的閾值條件.

(2)

其中，Bi(t)和σi(i=1,2)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)的強(qiáng)度.系統(tǒng)(2)可拆分為如下禽類系統(tǒng)(3)和人類系統(tǒng)(4)：

(3)

(4)

在給出分析結(jié)果之前，首先給出d維的隨機(jī)微分方程[12]的相關(guān)概念.

dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),

t≥t0.

設(shè)V(x,t)為定義在C2,1(Rd×[t0,∞];R+)上的函數(shù)，對(duì)x至少二階連續(xù)可微和對(duì)t至少一階連續(xù)可微，算子L定義為

該算子對(duì)函數(shù)V(x,t)有

LV=Vx(x,t)f(x,t)+

1 模型正解的全局存在、唯一性

本節(jié)參考文獻(xiàn)[13-14]的方法較為容易地證明了如下定理.

定義停時(shí)

τ+=inf{t∈[0,τe)∶Sa(t)≤0 orIa(t)≤0

orSh(t)≤0 orIh(t)≤0},

V(Sa(t),Ia(t),Sh(t),Ih(t))=lnSa(t)+

lnIa(t)+lnSh(t)+lnIh(t).

對(duì)于ω∈(τ+

σ1(Sa-Ia)dB1(t)-σ2dB2(t)≥

K(Sa(t),Ia(t),Sh(t),Ih(t))dt+

σ1(Sa-Ia)dB1(t)-σ2dB2(t),

其中

K(Sa(t),Ia(t),Sh(t),Ih(t))=-2μa-βaIa-

則

(5)

又V(τ+)=0，則有

在式(3)中令t→τ+，則有

此結(jié)果與假設(shè)矛盾.則τ+=∞ a.s..證畢.

2 滅絕性

由文獻(xiàn)[8]可知，若禽類系統(tǒng)(2)中的時(shí)滯τa滿足

禽類患病種群趨于滅絕; 若

則禽類患病種群長(zhǎng)期存在.

定理2 設(shè)(Sh(t),Ih(t))為人類系統(tǒng)(4)的解，且任意給定的初值為Sh(0)>0，Ih(0)>0，

證明由人類系統(tǒng)(4)可知

(6)

則

則由指數(shù)鞅不等式及Borel-Cantelli引理[12]可知

式中，令δ=2，υk=υ，τk=k，則對(duì)幾乎所有的ω∈Ω，存在隨機(jī)整數(shù)k0(ω)，使得當(dāng)k>k0(ω)時(shí)，

(7)

則

lnIh(t)≤lnIh(0)+

令0<υ<1，

lnIh(t)≤lnIh(0)+

則對(duì)所有的t∈[0,k]與k≥k0(ω)有

lnIh≤lnIh(0)+

當(dāng)k≤t≤k+1時(shí)

令k→∞，則t→∞，且對(duì)幾乎所有的ω∈Ω，存在T=T(ω)使得

?t>T.

再由強(qiáng)大數(shù)定理[11]有

即Ih(t)趨于滅絕.

(8)

則對(duì)所有的t∈[0,k]與k≥k0(ω)有

lnIh(t)≤lnIh(0)+

當(dāng)k-1≤t≤k時(shí)

令k→∞，則t→∞.再由強(qiáng)大數(shù)定理[12]有

令υ→0，則定理得證.

該定理說明:

1)若禽類系統(tǒng)患病種群趨于滅絕，那么整個(gè)系統(tǒng)的禽流感都將趨于滅絕，禽流感得以滅絕;

2)若禽類系統(tǒng)患病種群長(zhǎng)期存在時(shí)，在人類患病系統(tǒng)中，在一定的條件下，人類患病種群也將趨于滅絕，即患病禽類的源頭沒有完全滅絕的情況下，人類系統(tǒng)可能出現(xiàn)患病人類種群滅絕的情況.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)的數(shù)值模擬采用文獻(xiàn)[15]介紹的E-M方法，對(duì)確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)中的人類染病種群的發(fā)展趨勢(shì)做出比較.

首先，假設(shè)相應(yīng)的參數(shù)值為:Πa=320，μa=0.01，βa=8×10-6，δa=0.05，Πh=100，βh=7×10-7，μh=4×10-3，δh=0.3，γ=0.01.

1)取τa=6.初值為(Sa(ξ),Ia(ξ),Sh(0),Ih(0))=(20 000,1 200,20 000,0)，其中ξ∈[-τa,0].則由文獻(xiàn)[8]可知，在確定性系統(tǒng)中

即在確定性系統(tǒng)中，人類染病種群長(zhǎng)期存在.在相應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)中，設(shè)

σ1=2×10-7,σ2=3×10-4,

2)取τa=180>τ*=156.861 6.初值為(Sa(ξ),Ia(ξ),Sh(0),Ih(0))=(20 000,1 200,20 000,0)，其中ξ∈[-τa,0].則在確定性系統(tǒng)中

圖1 人類染病種群的持久性

隨機(jī)系統(tǒng)中設(shè)σ1=2×10-7，σ2=3×10-4，則由定理2可知，相應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)中人類染病種群也將趨于滅絕.如圖2 所示.

圖2 禽類與人類染病種群的滅絕性

3)Πa=350,μa=0.01,βa=7×10-6,δa=0.05,Πh=100,βh=6×10-7,μh=3.91×10-3,δh=0.3,γ=0.01.

取τa=6.初值為(Sa(ξ),Ia(ξ),Sh(0),Ih(0))=(20 000,1 200,20 000,0)，其中ξ∈[-τa,0]，則禽類染病種群長(zhǎng)期存在，且確定性系統(tǒng)中人類染病種群也長(zhǎng)期存在.

在隨機(jī)系統(tǒng)中設(shè)σ1=10-6，σ2=10-4，則由定理2可知，相應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)滿足人類染病種群將趨于滅絕的充分條件

即禽類染病種群長(zhǎng)期存在情況下，人類染病種群趨于滅絕.如圖3 所示.

圖3 人類染病種群的對(duì)比圖

4 結(jié) 論

本文研究了一類禽類系統(tǒng)具有患病潛伏期，人類系統(tǒng)具有隨機(jī)干擾的禽流感模型.得到了不同前提下人類系統(tǒng)患病種群數(shù)量滅絕的充分條件，并通過數(shù)值模擬比較了確定性模型與隨機(jī)模型的人類患病種群的發(fā)展趨勢(shì).