應(yīng)仲謀，劉曉穎

(華僑大學(xué) 機(jī)電及自動化學(xué)院，福建 廈門 361021)

0引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比剛度大、抗腐蝕、耐久性等優(yōu)點(diǎn)，被越來越多地應(yīng)用于航空、機(jī)械、土木等工程領(lǐng)域[1-3]。工程中，設(shè)計(jì)人員通過纖維和基體材料的選擇、纖維含量以及鋪層的設(shè)計(jì)不斷優(yōu)化著纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的性能。隨著纖維鋪放技術(shù)的不斷發(fā)展[4，5]，纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的設(shè)計(jì)已由等剛度設(shè)計(jì)發(fā)展到變剛度設(shè)計(jì)[6，7]。如很多生物材料[8]一樣，變剛度設(shè)計(jì)中纖維的鋪設(shè)路徑和鋪設(shè)密度可隨位置的變化而變化。

與等剛度設(shè)計(jì)相比，變剛度設(shè)計(jì)進(jìn)一步改善著纖維增強(qiáng)復(fù)合板的性能。邵冠軍、謝麗婷和桑川等通過設(shè)計(jì)孔邊纖維鋪放路徑和鋪放密度有效降低了開孔連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合板的應(yīng)力集中系數(shù)，使得復(fù)合板的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性得到有效提高[9-11]。Setoodeh 等對連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合矩形板的研究也表明：允許剛度在空間上變化，可以顯著改善復(fù)合板的屈曲性能[12]。

與改變纖維鋪設(shè)路徑相比，改變直纖維分布密度的工藝更簡單，更易實(shí)現(xiàn)[13]。Kuo 和Shiau 采用有限元方法研究了變間距直纖維分布增強(qiáng)復(fù)合材料層合板的屈曲和振動性能，發(fā)現(xiàn)分布在板中部的纖維越多，復(fù)合板的屈曲荷載和固有頻率就越大[14]。之后，Kuo 陸續(xù)研究了不同纖維分布對增強(qiáng)復(fù)合材料層合板在氣動力和熱應(yīng)力作用下的熱后屈曲、振動和顫振特性的影響[15，16]，發(fā)現(xiàn)纖維的再分布可以顯著提高其臨界屈曲溫度，有效地提高其固有頻率和顫振邊界。

上述研究說明纖維的變間距設(shè)計(jì)是提高連續(xù)纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板性能的一種有效方法，但目前尚未發(fā)現(xiàn)針對具體作用載荷進(jìn)行纖維變間距設(shè)計(jì)的相關(guān)文獻(xiàn)，而針對具體載荷的變間距設(shè)計(jì)具有實(shí)際意義。

本文針對具體載荷，用Abaqus 建立等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的微觀有限元模型，分析其受載時(shí)的應(yīng)力和變形；根據(jù)等強(qiáng)度法，由復(fù)合板中纖維的橫截面正應(yīng)力擬合出變間距纖維分布的纖維分布函數(shù)，獲得變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中的纖維間距。

1 基于等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的變間距纖維分布函數(shù)的等強(qiáng)度設(shè)計(jì)

連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合板中，纖維是載荷的主要承擔(dān)者。通常，等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中各纖維承受的載荷并不相同，應(yīng)力高者決定板的整體強(qiáng)度，而應(yīng)力低者材料性能得不到充分發(fā)揮。如果通過設(shè)計(jì)令各纖維中的最大應(yīng)力值相等，使所有纖維的力學(xué)性都能得到充分發(fā)揮，則板的強(qiáng)度和剛度必然得到提高。下面應(yīng)用該等強(qiáng)度思想，由等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板設(shè)計(jì)變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板。

由于纖維的直徑遠(yuǎn)小于板的厚度，纖維基本上不承受彎曲和扭轉(zhuǎn)作用(第2 節(jié)的有限元分析將證明該點(diǎn))，可以把纖維看作拉壓桿。設(shè)等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板某鋪層中的任意兩束纖維中的拉壓應(yīng)力為σN1和σN2，設(shè)纖維束的面積為A，則這兩束纖維承受的軸力為

在此基礎(chǔ)上，把兩束纖維的面積分別變?yōu)閚1A和n2A，則纖維中的拉壓應(yīng)力變?yōu)?/p>

把(1)式帶入(2)式，并令σ'N1= σ'N2，得

式中，σN1和σN2為等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中的任意兩束纖維的拉壓應(yīng)力，n1和n2為等強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)的纖維面積放大系數(shù)，可作為變間距纖維分布時(shí)纖維在該兩束纖維處的分布集度。(3)式表明變間距纖維分布的纖維分布規(guī)律與等間距纖維分布時(shí)的纖維拉壓應(yīng)力分布規(guī)律相同，因此，變間距纖維分布的分布函數(shù)可由等間距纖維分布時(shí)的各纖維橫截面正應(yīng)力擬合得到。

基于等間距纖維分布和等強(qiáng)度法的變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的設(shè)計(jì)具體步驟如下：①針對實(shí)際工作載荷，利用有限元進(jìn)行等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的應(yīng)力應(yīng)變分析，得到各纖維的橫截面正應(yīng)力；②利用Matlab 對鋪層中所有纖維的橫截面正應(yīng)力進(jìn)行擬合，得該鋪層的變間距纖維分布函數(shù)；③通過均分上述擬合曲線下方面積得到變間距纖維分布中的各纖維位置。

下面以兩鋪層的纖維增強(qiáng)復(fù)合方板為例證明該方法的有效性。

2 設(shè)計(jì)實(shí)例

2.1 等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板的應(yīng)力和變形

等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板的尺寸和坐標(biāo)系如圖1 所示，距上下表面h0處沿x 和y 方向分別鋪設(shè)n 束直徑為φ 的纖維。設(shè)板的四邊為固支約束，分別受兩種載荷作用：①上表面受均布壓應(yīng)力p1的作用，如圖2(a)所示；②上表面中心圓形區(qū)域(直徑為d)受壓應(yīng)力p2作用，如圖2(b)所示。

圖1 等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板

圖2 載荷與約束

設(shè)復(fù)合板的尺寸a=b=300 mm，h=10 mm，纖維鋪設(shè)位置h0=2 mm，纖維直徑φ=1 mm，每層單向鋪設(shè)數(shù)量n=19，纖維間距t=a∕(1+n)=15 mm，均布壓應(yīng)力p1=0.01 MPa，局部壓應(yīng)力p2=1 MPa，作用區(qū)域d=20 mm，建立Abaqus 有限元模型。

纖維和基體作為連續(xù)變形體分別建模。纖維的彈性模量為EF= 377 GPa，泊松比為νF= 0.26，采用一維梁單元B31 劃分網(wǎng)格，單元長度為2 mm，每束纖維150 個(gè)單元?；w的彈性模量為ER=3.4 GPa，泊松比為νR= 0.35，采用三維實(shí)體單元C3D8R 劃 分 網(wǎng) 格 ， 單 元 尺 寸 為2 mm×2 mm× 2 mm，劃分了140 260 個(gè)單元。設(shè)纖維和基體之間完全粘結(jié)，其界面為理想界面，模型通過嵌入?yún)^(qū)域約束Embedded Region 把纖維埋入基體中，實(shí)現(xiàn)纖維和基體的理想連接。

有限元計(jì)算結(jié)果顯示纖維中的應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于基體中的應(yīng)力，纖維是載荷的主要承擔(dān)者；纖維橫截面上的應(yīng)力主要為拉壓正應(yīng)力以及少量的彎曲正應(yīng)力，而彎曲切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力很小，可忽略不計(jì)。表1 給出了纖維的橫截面最大正應(yīng)力ax和最小正應(yīng)力in、基體中的最大第一主應(yīng)力max以及板的最大撓度wmax。如圖3 為纖維橫截面正應(yīng)力分布云圖。由圖可知：所有纖維中，越接近板中心的纖維，橫截面正應(yīng)力絕對值越大；均布壓應(yīng)力作用時(shí)最大應(yīng)力發(fā)生在纖維的兩端，局部壓應(yīng)力作用時(shí)最大應(yīng)力發(fā)生中纖維的中部。

表1 等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中纖維和基體中的主要應(yīng)力以及板的最大撓度

圖3 纖維的橫截面正應(yīng)力云紋圖

2.2 變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板的纖維分布函數(shù)及各纖維位置

為得到變間距纖維分布函數(shù)，從有限元計(jì)算結(jié)果中沿纖維鋪設(shè)方向取出各纖維中的橫截面正應(yīng)力進(jìn)行曲線擬合。從單束纖維來看，橫截面的正應(yīng)力并不是處處相等的，因此需要選擇合適的取值點(diǎn)。根據(jù)降低極值應(yīng)力的設(shè)計(jì)目標(biāo)，把纖維橫截面正應(yīng)力極值位置作為初始取值點(diǎn)是合理的。從該點(diǎn)沿鋪設(shè)方向取出各纖維橫截面正應(yīng)力進(jìn)行擬合。應(yīng)力取值和擬合結(jié)果如下所示：

(1)均布壓應(yīng)力p1作用時(shí)，最大橫截面正應(yīng)力出現(xiàn)在中部纖維的兩端(如圖3(a)所示)，所以從纖維端部取值進(jìn)行擬合。圖4(a)給出了上層沿x 方向鋪設(shè)的所有纖維的應(yīng)力取值結(jié)果。對圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得四次多項(xiàng)式：

該式即為均布壓應(yīng)力作用時(shí)的變間距纖維分布函數(shù)。

(2)局部壓應(yīng)力p2作用時(shí)，最大橫截面正應(yīng)力出現(xiàn)在中部纖維的中間位置(如圖3(b)所示)，所以從纖維中間取值進(jìn)行擬合。圖4(b)給出了上層沿x 方向鋪設(shè)的所有纖維的應(yīng)力取值結(jié)果。因?yàn)楹茈y對組數(shù)據(jù)在整個(gè)區(qū)間x ∈[1,300]內(nèi)進(jìn)行擬合，所以本文分別在x ∈[1,150]和x ∈[150, 300]兩區(qū)間內(nèi)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得分段四次多項(xiàng)式式(5)：

式(5)即為局部壓應(yīng)力作用時(shí)的變間距纖維分布函數(shù)。

通過等分分布函數(shù)的積分面積 A1=f1(x)dx 或A2=f2(x)dx 獲得變間距纖維分布時(shí)各纖維的鋪設(shè)位置。設(shè)纖維的鋪設(shè)數(shù)量為n，把A1或A2等分成n 份，每份面積的形心即為新的纖維鋪設(shè)位置。表2 列出了n = 19 時(shí)的纖維位置。

圖4 等間距纖維分布時(shí)纖維橫截面正應(yīng)力及其擬合曲線

由于對稱性，表2 只列出了上層沿x 方向鋪設(shè)的1-10 號纖維的位置，11-19 號纖維與1-9 號纖維以10 號纖維的位置為對稱點(diǎn)對稱分布，上層沿y方向的鋪設(shè)以及下層的鋪設(shè)位置都如表2 所示。

2.3 結(jié)果對比

按表2 中的數(shù)據(jù)重新布置2.1 節(jié)復(fù)合板的纖維位置后得到變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板，并對其進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析。表3 給出兩種載荷下纖維的橫截面最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力、基體中最大第一主應(yīng)力以及板的最大撓度wmax。

表2 變間距纖維分布中的纖維位置

與等間距纖維分布相比，變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中的纖維橫截面最大正應(yīng)力分別降低了16%和30%，最小正應(yīng)力分別降低了16%和29%，基體中最大第一主應(yīng)力分別減低了16% 和37%，板的最大撓度分別減低了16%和24%。

表3 變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中纖維和基體中的主要應(yīng)力以及板的最大撓度

由此可見，采用上述方法設(shè)計(jì)出的變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的強(qiáng)度和剛度得到了顯著提高。

3 結(jié)論

本文在等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，采用等強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)了變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板，有效降低了復(fù)合板中的應(yīng)力和變形，增強(qiáng)了復(fù)合板的強(qiáng)度和剛度。主要結(jié)論如下：

(1)變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的纖維分布函數(shù)可由等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板受載時(shí)的纖維橫截面正應(yīng)力擬合得到；

(2)針對具體作用載荷的變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板設(shè)計(jì)，該方法方便有效；

(3)變間距纖維分布函數(shù)的具體形式與作用在復(fù)合板上的具體載荷有關(guān)。如文中纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板，受均布壓應(yīng)力作用和受中心局部壓應(yīng)力作用時(shí)的變間距纖維分布函數(shù)分別為公式(4)和(5)；

(4)與等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板相比，變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板受均布壓應(yīng)力和中心局部壓應(yīng)力作用時(shí)的纖維應(yīng)力、基體應(yīng)力和板的變形都有很大程度地減低。