王輝， 石照耀， 林家春， 徐航

(北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

RV減速器是工業(yè)關(guān)節(jié)機器人的核心關(guān)鍵零部件，因其承載能力大、抗沖擊等優(yōu)點通常被用于機器人軀干等關(guān)節(jié)的減速。但是其結(jié)構(gòu)相比其他類型的行星減速器復(fù)雜，因而對于零件的加工精度要求非?？量?，另一方面對其零部件精度檢測的難度也相對較大。RV減速器包括兩級行星減速，第1級是漸開線直齒輪行星傳動，第2級是擺線針輪行星傳動。與普通的擺線行星減速器相比，通過調(diào)節(jié)RV減速器第1級的傳動比就可以使得整體的傳動比變化范圍非常廣泛。因為RV減速器的輸出軸由行星架代替，減少了輸出機構(gòu)的尺寸，所以相比擺線行星減速器，它的軸向尺寸更加緊湊。并且輸出軸采用雙支撐結(jié)構(gòu)，其整體剛性也比普通的擺線減速器提高很多。國內(nèi)外學(xué)者對RV減速器等擺線針輪傳動進(jìn)行了大量研究，其中YANG等[1]針對擺線傳動中的加工誤差、設(shè)計參數(shù)以及傳動性能之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了傳動側(cè)隙和扭矩波動的計算公式。何衛(wèi)東等[2-3]建立了RV減速器的力學(xué)模型，并根據(jù)各齒嚙合時的間隙分布，提出了擺線輪優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。李充寧等[4]量化了擺線齒廓誤差和減速器傳動精度之間的關(guān)系，通過綜合嚙合誤差來評價減速器的傳動性能。Hertz[5]接觸理論是建立擺線針齒接觸模型的一種常用方法，并在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步研究減速器參數(shù)對嚙合剛度的影響。對于齒輪傳動誤差的研究方法除了通過理論分析各個因素的影響外，運用統(tǒng)計學(xué)的方法能夠更直觀地得到齒輪系統(tǒng)傳動誤差的分布情況[6]。SHIN等[7]通過速度瞬心和齊次坐標(biāo)變換的方法分別研究了4種類型的擺線減速器。MENG等[8]建立了2 K-H擺線針輪行星傳動誤差的數(shù)學(xué)模型。單面嚙合測量的方法能夠得到齒輪切向綜合誤差、齒距偏差和偏心等類型的偏差，為研究RV減速器傳動誤差的測試方法提供了參考[9]。RV減速器的傳動精度一直是國內(nèi)外研究的一個熱點，其中擺線針輪傳動是最大的影響因素[10-13]。擺線針輪嚙合時的接觸力和軸承的摩擦力矩對減速器的剛性和回差有重要的影響[14-15]，通過合理地對擺線齒廓修形以形成適當(dāng)?shù)膰Ш祥g隙，可以有效地減小擺線針輪之間的嚙合接觸力[16-17]，進(jìn)一步減少接觸齒面摩擦熱流量的產(chǎn)生[18]。但是很少有文獻(xiàn)針對RV減速器擺線針輪傳動中多齒嚙合過程進(jìn)行單獨分析，從而研究擺線針齒嚙合時接觸力的變化過程對RV減速器傳動精度的影響[19-22]。本文對擺線針輪多齒嚙合過程進(jìn)行了理論分析，建立了RV減速器動力學(xué)仿真模型。通過仿真計算得到了擺線針齒嚙合時各齒接觸點處的法向接觸力、齒面間的摩擦力和擺線齒廓上接觸應(yīng)力的變化過程，并對RV減速器樣機進(jìn)行了傳動性能測試。

RV減速器共包括輸入齒輪軸、輸出軸(行星架)和針輪3個自由度，任意固定其中的一個構(gòu)件可以組成不同傳動比的機構(gòu)，也可以不固定任何構(gòu)件來組成差動機構(gòu)。因為行星直齒輪和曲柄軸用花鍵連接，所以在本文中將其看著一個構(gòu)件。在機器人關(guān)節(jié)中通常將RV減速器用作減速機構(gòu)，一般情況下固定針輪，由電機帶動輸入齒輪軸旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過第一級行星減速后將運動傳遞給曲柄軸，再由曲柄軸帶動擺線輪和針輪嚙合，最終由輸出軸(行星架)將運動輸出。因為擺線針輪傳動級的傳動比大，而且是傳動鏈的末端，所以擺線針輪的運動規(guī)律對整個減速器的傳動精度起著關(guān)鍵作用。因此，本文主要針對擺線針輪的多齒嚙合過程進(jìn)行分析。

1 擺線針輪傳動數(shù)學(xué)模型

1.1 擺線針輪嚙合方程

擺線針輪嚙合時空間坐標(biāo)系中的嚙合點軌跡是針齒圓弧的一部分，所以根據(jù)齒輪的嚙合原理建立如圖1所示坐標(biāo)系。圖中Sf(xf-of-yf)是參考坐標(biāo)系，S1(x1-o1-y1)是針輪坐標(biāo)系，S2(x2-o2-y2)是擺線輪坐標(biāo)系。擺線輪坐標(biāo)系的原點與參考坐標(biāo)系的原點重合，針輪和擺線輪坐標(biāo)原點的偏心距為a,Rp是針齒分布圓半徑，rrp是針齒殼半徑，由幾何關(guān)系可以得到針齒上某點P在針輪坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為：

(1)

圖1 擺線針輪傳動坐標(biāo)系Fig.1 Cycloid-pin drive coordinate system

根據(jù)擺線針輪傳動設(shè)計的傳動比可以將兩者的相對運動關(guān)系表示為：

(2)

式中：φ1是針輪的繞參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角度；φ2是擺線輪繞參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角度；Zp是針輪的齒數(shù)；m是擺線輪和針輪的齒數(shù)差。

iH定義為擺線針輪傳動比：

(3)

通過坐標(biāo)變換可以將針輪齒廓上的P點運動軌跡轉(zhuǎn)換到擺線輪坐標(biāo)系下，從而得到與之共軛的擺線齒廓方程為：

r2(α,φ1)=M21(φ1)·r1(α)

(4)

其中坐標(biāo)變換矩陣M21(φ1)為：

M21(φ1)=M2fMf1=

(5)

因此，已知擺線傳動的設(shè)計參數(shù)a、rrp、Rp、Zp、m，則可得到擺線輪在參考坐標(biāo)系Sf(xf-of-yf)中的實際齒廓方程為：

(6)

式中：K稱為短幅系數(shù)，是針齒節(jié)圓和分布圓半徑之比：

(7)

1.2 擺線針輪多齒接觸模型

在建立擺線針輪嚙合方程的基礎(chǔ)就可以對擺線針輪多齒嚙合的動態(tài)過程進(jìn)行分析，擺線針齒嚙合時的幾何關(guān)系如圖2所示。

圖2 擺線針齒嚙合幾何模型Fig.2 Meshing geometry model of cycloid-pin

圖2中rp和rc分別是針輪和擺線輪嚙合時的節(jié)圓半徑，針輪和擺線輪節(jié)圓圓心分別是O1和O2，點P是兩節(jié)圓的節(jié)點；a是擺線輪和針輪的偏心距；第i個針齒的圓心是Opi；ΔO1POpi稱為嚙合三角形，其中φi是擺線針輪嚙合時的接觸角，ψi是法向角，θi是曲柄軸的旋轉(zhuǎn)角，li是嚙合點的法向力臂長度。當(dāng)擺線針輪嚙合時由于輸出軸受到負(fù)載扭矩作用，擺線輪將向受力方向旋轉(zhuǎn)一個微小的角度Δβ,同時參與嚙合的擺線針齒將產(chǎn)生接觸變形δi，從而產(chǎn)生相應(yīng)的赫茲接觸應(yīng)力來抵抗負(fù)載作用。Δβ與δi用關(guān)系式表示為：

δi=Δβli

(8)

因為擺線針齒嚙合點處的法向力fi與接觸變形δi成正比關(guān)系，因此擺線針齒嚙合點處法向力臂長度最大時其嚙合點處的法向接觸力也最大，法向力臂長度li可以求得：

li=aZcsinφi

(9)

某一擺線針齒嚙合時的法向接觸力為：

(10)

式中：M是負(fù)載扭矩；Zc是擺線輪齒數(shù)。

根據(jù)法向接觸力可以進(jìn)一步求得嚙合點處的赫茲接觸應(yīng)力，其計算式為：

(11)

式中：ρw是擺線針齒的當(dāng)量曲率半徑：

ρw=ρ0+rrp

(12)

式中：ρ0是擺線齒廓的曲率半徑：

(13)

將式(10)、(12)代入式(11)中計算得到接觸齒面赫茲接觸應(yīng)力。

2 RV減速器動力學(xué)仿真

2.1 有限元仿真模型建立

本文根據(jù)RV減速器樣機參數(shù)，使用有限元仿真軟件ANSYS建立了RV減速器動力學(xué)仿真幾何模型，如圖3所示。RV減速器的模型參數(shù)如表1所示，RV減速器有限元仿真時的動力學(xué)參數(shù)設(shè)置如表2所示。采用沖擊函數(shù)迭代計算嚙合點接觸力，接觸單元的剛度和阻尼分別為105N/mm和50 N·s/mm。

圖3 RV減速器有限元仿真幾何模型Fig.3 Finite element simulation geometry model of RV reducer

表1 RV減速器樣機參數(shù)Table 1 Parameters of RV reducer prototype

表2RV減速器有限元模型動力學(xué)參數(shù)

Table2Dynamic parameters of finite element model of RV reducer

參數(shù)數(shù)值擺線輪材料泊松比0.30針輪材料泊松比0.25擺線輪材料彈性模量/MPa2.08×105針輪材料彈性模量/MPa2.09×105曲柄軸轉(zhuǎn)動慣量/(kg·m2)0.002擺線輪轉(zhuǎn)動慣量/(kg·m2)0.022輸出軸轉(zhuǎn)動慣量/(kg·m2)0.1針齒嚙合阻尼/(N·s·m-1)1.2×103軸承阻尼系數(shù)/(N·s·m-1)1.5×103軸承剛度/(N·m-1)8.2×106

基于該有限元仿真模型，本文研究了RV減速器在不同負(fù)載扭矩作用下擺線針齒嚙合時齒面接觸狀態(tài)的變化過程，得到了各嚙合齒面接觸點處的法向接觸力、摩擦力和接觸應(yīng)力分布結(jié)果，從而為合理設(shè)計擺線齒廓和改善擺線針齒嚙合狀況提供參考。

2.2 擺線針齒嚙合時法向接觸力

通過有限元仿真計算得到曲柄軸旋轉(zhuǎn)一周擺線針齒嚙合過程中的法向接觸力曲線如圖4所示。圖4(a)是RV減速器在額定負(fù)載784 N·m時擺線輪齒分別與第5、10、15、20、25、30、35、40個針齒嚙合時的法向接觸力。本文仿真模型中針輪一共有40個針齒，為了便于看清曲線的變化規(guī)律，圖中只顯示了部分?jǐn)[線針齒嚙合時的接觸力。從圖4(a)中曲線分布可以看出，擺線輪齒廓與針輪上各個針齒相繼進(jìn)入嚙合和退出嚙合，理論上未經(jīng)修形的擺線齒廓在任意時刻都會有一半的輪齒參與嚙合傳動，從圖中的仿真結(jié)果可以得到驗證。通過圖4(a)也可以看出每個擺線輪齒只有半個齒廓與針齒嚙合傳動，而且擺線齒廓凸的部分和凹的部分參與嚙合的時間長度不同，擺線凸的齒廓參與嚙合傳動的時間相比凹的齒廓要長。圖4(a)中各個擺線針齒嚙合時的法向接觸力曲線不是很光滑，原因是軸承剛度和阻尼變化所引起的接觸力波動。圖4(b)是負(fù)載扭矩為4 000 N·m時各個擺線針齒嚙合時的法向接觸力，與額定負(fù)載扭矩時的法向接觸力相比曲線上的小波峰減少，曲線相對光滑。此時各擺線針齒嚙合時的最大法向接觸力接近2 500 N·m，增加的幅度幾乎與負(fù)載扭矩的變化成線性關(guān)系。從負(fù)載扭矩分別為784、4 000和8 000 N·m時，第20個擺線針齒嚙合的變化曲線也可以看出(如圖4(c)所示)，隨著負(fù)載扭矩的增加，擺線針齒嚙合時的法向接觸力也線性增加。另外從圖4(c)中也可以看出，3條曲線的起始位置相對零點滯后了一個角度。如果輸出軸在沒有負(fù)載扭矩的情況下，第20個針齒與擺線齒廓會在零點處開始嚙合，但是由于負(fù)載扭矩的作用，擺線輪會因彈性變形旋轉(zhuǎn)一個微小角度，也就是圖4(c)中曲線的滯后角。

圖4 擺線針齒嚙合時法向接觸力Fig.4 Contact force of cycloid-pin

圖4(d)是擺線針齒嚙合時法向接觸力理論公式(10)計算得到的法向接觸力與有限元仿真結(jié)果對比，此時負(fù)載扭矩為RV減速器額定扭矩784 N·m。從圖4(d)可以看出，法向接觸力理論曲線與有限元仿真曲線趨勢基本相同，從而可以驗證理論計算公式的正確性。但是理論公式中沒有考慮擺線針齒嚙合時彈性變形所引起的滯后角影響，所以圖4(d)中法向接觸力理論曲線正好當(dāng)曲柄軸旋轉(zhuǎn)180°范圍內(nèi)有數(shù)值。另外，理論值在擺線齒廓凸的部分與仿真曲線也存在差別，而在擺線齒廓凹的部分理論曲線與仿真曲線相似度較好。

2.3 擺線針齒嚙合時齒面摩擦力

圖5是擺線針齒嚙合時的齒面摩擦力變化曲線，其中圖5(a)是當(dāng)額定負(fù)載扭矩時的各擺線針齒接觸摩擦力，曲線的分布規(guī)律與法向接觸力相似，但與法向接觸力曲線不同的是摩擦力曲線在整個嚙合齒廓部分基本對稱，說明最大摩擦力所在齒廓位置發(fā)生了變化。圖5(b)是負(fù)載扭矩為4 000 N·m時各擺線針齒嚙合時的摩擦力曲線，其曲線的變化趨勢與額定負(fù)載扭矩時的一致，而且其摩擦力最大值基本與輸出軸負(fù)載扭矩的變化成比例關(guān)系，這點從圖5(c)也可以看出。圖5(c)是負(fù)載扭矩分別為784、4 000和8 000 N·m時第20個針齒摩擦力曲線，圖中最大摩擦力的變化基本與負(fù)載扭矩成線性比例，但是由于負(fù)載扭矩增大，也將引起齒面接觸摩擦力的波動。

圖5 擺線針齒嚙合時齒面摩擦力Fig.5 Friction force of cycloid-pin

2.4 擺線針齒嚙合時齒面接觸應(yīng)力

本文通過有限元方法計算得到了某一時刻單個擺線齒面上接觸應(yīng)力的分布，從而更全面地研究擺線針齒嚙合時齒面接觸狀態(tài)的變化規(guī)律。圖6是單個擺線齒廓曲面幾何模型，用齒廓和齒寬方向來描述齒面接觸應(yīng)力的分布規(guī)律。圖7是當(dāng)額定負(fù)載扭矩時，曲柄軸分別旋轉(zhuǎn)270°和330°計算得到的擺線齒廓接觸應(yīng)力分布。

由圖7可以看出，隨著曲柄軸旋轉(zhuǎn)，擺線齒面上的接觸應(yīng)力沿著齒廓方向移動。接觸應(yīng)力沿齒寬方向基本相同，但是由于應(yīng)力集中影響，端面兩側(cè)處的接觸應(yīng)力較大。從圖7中也可以看出，擺線針齒在某一位置嚙合時齒面接觸應(yīng)力的影響區(qū)域約占單個擺線齒廓的1/6區(qū)域，并且所占區(qū)域的大小隨著負(fù)載扭矩的變化而改變。

圖6 單個擺線齒廓曲面Fig.6 Single cycloid tooth profile surface

圖7 擺線齒廓接觸應(yīng)力分布Fig.7 Distribution of contact stress in cycloid tooth profile surface

3 RV減速器傳動性能測試

本文在高精度的RV減速器綜合性能測試平臺上對RV減速器的傳動性能進(jìn)行了測試,測試試驗臺如圖8所示。試驗臺主要配置包括高精度動態(tài)伺服電機及控制系統(tǒng)、加載裝置、高精度編碼器和扭矩傳感器等。RV減速器輸入端和輸出端的角度編碼器檢測精度分別是2.06″和1.13″，滿足RV減速器傳動精度檢測的要求。

3.1 動態(tài)傳動誤差分析

本文在RV減速器綜合測試平臺上對RV減速器樣機進(jìn)行了多項性能測試，其中傳動誤差是RV減速器最重要的一項性能指標(biāo)，其數(shù)值大小對RV減速器的傳動精度起到關(guān)鍵作用。本文所測試的RV減速器樣機傳動誤差如圖9所示，此時RV減速器輸出軸轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速15 rad/min。從測試結(jié)果可以看出被測RV減速器樣機的傳動誤差小于30″,屬于高傳動精度等級的減速器。為了具體分析傳動誤差的來源，本文通過傅里葉變換對傳動誤差曲線進(jìn)行了頻譜分析，其結(jié)果如圖10所示。圖中幅值最大的頻率為10 Hz，另外幾個小峰值也接近其倍頻。通過計算得到輸出軸的旋轉(zhuǎn)頻率為0.25 Hz，而幅值最大的頻率正好是其40倍頻，本文被測樣機的針齒數(shù)Zp為40，當(dāng)輸出軸旋轉(zhuǎn)一周時，擺線輪與針輪嚙合過40個針齒。由于行星齒輪傳動級中沒有對應(yīng)的齒輪嚙合頻率，可以確定10 Hz頻率是擺線針輪嚙合引起。又因為擺線針輪嚙合是RV減速器傳動鏈的末端，其傳動誤差幅值不會經(jīng)過傳動鏈得到衰減，所以會對RV減速器傳動精度產(chǎn)生較大影響。從圖10中也可以看出，10 Hz的頻率所占峰值最大，而其他小的峰值頻率都是經(jīng)過其傳動比衰減后的幅值。

圖8 RV減速器樣機傳動性能測試裝置Fig.8 Transmission performance test device of RV reducer prototype

圖9 RV減速器樣機傳動誤差Fig.9 Transmission error of RV reducer prototype

3.2 多齒嚙合傳動精度評定

通過以上的理論分析可知曲柄軸旋轉(zhuǎn)一圈擺線輪轉(zhuǎn)過一個針齒角度，因此擺線針輪每嚙合一個齒的周期將在傳動誤差曲線中得到反映，所以按照曲柄軸的旋轉(zhuǎn)圈數(shù)將RV減速器傳動誤差等份成相應(yīng)的分段曲線如圖11所示。從圖中可以清楚地看出擺線針輪每個齒嚙合傳動的誤差形狀基本一致，由此可以說明擺線針輪每個齒嚙合的周期在RV減速器傳動誤差中得到了充分反映。在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步計算得到各個擺線針齒嚙合周期時傳動誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分量如圖12所示，從圖中可以看出擺線輪與針輪在后半部分嚙合位置所對應(yīng)傳動誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較大，從而可以間接判斷擺線針輪在此部分位置嚙合時各個擺線針齒之間的匹配性較差，因此可以針對性的提高此部分的齒廓精度。

圖10 RV減速器樣機傳動誤差頻譜Fig.10 Transmission error frequencies of RV reducer prototype

圖11 RV減速器樣機分段傳動誤差Fig.11 Sectional transmission error of RV reducer prototype

圖12 RV減速器分段傳動誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分量Fig.12 Standard deviation component of the sectional transmission error

4 結(jié)論

1)經(jīng)過與仿真結(jié)果對比，理論公式中沒有考慮擺線針輪彈性變形所引起的滯后角影響，而且擺線齒廓凸的部分與仿真結(jié)果存在一些差別。當(dāng)負(fù)載扭矩變化時，擺線針齒嚙合時的法向接觸力和摩擦力基本與輸出軸負(fù)載扭矩成線性比例關(guān)系。

2)擺線齒面上的接觸應(yīng)力在齒寬方向上基本相同，但在兩端面附近的齒廓由于受到應(yīng)力集中的影響會增大。在齒廓方向上，嚙合點附近的齒面區(qū)域都會產(chǎn)生接觸應(yīng)力，而且區(qū)域的大小受到負(fù)載扭矩的影響。

3)被測RV減速器樣機屬于高精度等級的精密減速器，通過對其傳動誤差的頻譜分析驗證了擺線針輪傳動是引起RV減速器傳動誤差的主要原因。通過擺線針輪不同位置嚙合時傳動誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分量可以間接地判斷各擺線針齒嚙合位置的匹配性，從而可以針對誤差較大位置進(jìn)行齒廓修配，進(jìn)一步提高RV減速器整體精度。