羅 奎，冀 偉，張經(jīng)偉

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

波形鋼腹板PC組合箱梁橋是一種鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)橋梁。用波折狀的鋼腹板來(lái)替代傳統(tǒng)的混凝土腹板，使混凝土和鋼材各自的優(yōu)點(diǎn)得到充分的發(fā)揮，即波形鋼腹板主要承擔(dān)剪力，而混凝土板主要承擔(dān)拉、壓力，同時(shí)也使結(jié)構(gòu)變得輕型化且避免腹板開裂，從而降低成本、便于維修、提高預(yù)應(yīng)力的施加效率和橋梁的耐久性[1]。

國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者已經(jīng)在波形鋼腹板PC箱梁橋的靜力和動(dòng)力問題方面開展了大量的理論和試驗(yàn)研究。在靜力問題的分析和計(jì)算方面，Nguyen等[2]研究了不等端彎矩作用及不同約束條件下的波形鋼腹板 Ι 型鋼梁的彎矩修正系數(shù)；Yi等[3]、Eldib[4]和Hassanein等[5]研究了波形鋼腹板的剪切屈服強(qiáng)度；Moon等[6-7]研究了波形鋼腹板 Ι 型鋼梁的屈曲性能和波形鋼腹板的抗剪強(qiáng)度；聶建國(guó)等[8]引入波形鋼腹板剪切變形轉(zhuǎn)角位移函數(shù)，建立了考慮腹板剪切行為的波形鋼腹板理論模型，將波形鋼腹板的彎曲行為分解為桁架作用和彎曲作用，給出了波形鋼腹板簡(jiǎn)支梁端部無(wú)約束和有約束在均布荷載和跨中集中荷載作用下的解析解，隨后根據(jù)變形等效原理，引入影響參數(shù),對(duì)波形鋼腹板梁變形的解析解做了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，給出了鋼腹板剪切變形的簡(jiǎn)化計(jì)算方法——有效剛度法[9]；劉保東等[10]同時(shí)考慮波形鋼腹板PC箱梁的剪力滯效應(yīng)和鋼腹板的剪切變形效應(yīng)，推導(dǎo)出了該橋型的撓度計(jì)算公式。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋的動(dòng)力特性也做了大量的研究。任紅偉等[11]推導(dǎo)了波形鋼腹板梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算公式；張永健等[12]制作了波形鋼腹板混凝土試驗(yàn)梁，并對(duì)其動(dòng)力特性進(jìn)行了測(cè)試；李波等[13]給出了波形鋼腹板PC箱梁橋的等效阻尼比的求解方法，可為此橋型動(dòng)力特性計(jì)算中阻尼的取值提供參考依據(jù)；冀偉等[14-17]考慮箱梁的剪力滯效應(yīng)、波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)及兩者的耦合效應(yīng)，對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋的動(dòng)力特性做了大量的理論和試驗(yàn)研究。

雖然國(guó)內(nèi)外對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋動(dòng)力特性的研究已取得了顯著的成就，但目前對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋動(dòng)力特性的矩陣分析方法的研究成果較少。大多數(shù)學(xué)者推導(dǎo)的理論解析解只適用于特定的邊界條件和荷載，此外采用ANSYS有限元建立實(shí)體模型進(jìn)行分析費(fèi)時(shí)費(fèi)力。因此，本研究運(yùn)用能量變分原理，以波形鋼腹板PC箱梁截面的豎向位移、彎曲角位移及剪切角位移為未知節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)，推導(dǎo)出波形鋼腹板PC箱梁橋考慮鋼腹板剪切變形的單元?jiǎng)偠染仃?。?jù)此，采用MATLAB軟件編制考慮鋼腹板剪切效應(yīng)影響下波形鋼腹板PC箱梁橋自振頻率計(jì)算的求解程序。所編寫程序的計(jì)算結(jié)果得到了實(shí)測(cè)值和三維有限元值的驗(yàn)證?？蓪⒖紤]鋼腹板剪切變形效應(yīng)下該橋型的動(dòng)力分析問題簡(jiǎn)便地納入普通桿系結(jié)構(gòu)矩陣位移體系中，避免了ANSYS有限元模型建立和求解的復(fù)雜性，可為該橋型的自振頻率的計(jì)算和分析提供一定的參考依據(jù)。

1 波形鋼腹板的外形尺寸與有效剪切模量

波形鋼腹板的外形構(gòu)造及尺寸如圖1所示。

圖1 波形鋼腹板的尺寸

Samantn等[18]指出鋼腹板的剪切模量與外形尺寸有關(guān)，并給出鋼腹板有效剪切模量Gs的求解公式：

(1)

式中，α=(D1+D2)/(D1+D3)；D1，D2，D3分別為波形鋼腹板斜板段在水平面的投影長(zhǎng)度、平板段長(zhǎng)度和斜板段的長(zhǎng)度(如圖1所示)；H為波形鋼腹板的波高；Es和νs分別為鋼材的彈性模量和泊松比。

2 波形鋼腹板PC箱梁橋的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣

2.1 基本假定

(1)由于混凝土頂、底板與波形鋼腹板在彈性范圍內(nèi)協(xié)同工作，不考慮波形鋼腹板和與混凝土頂、底板之間的相對(duì)滑移。

(2)不考慮波形鋼腹板PC箱梁的剪力滯效應(yīng)和扭轉(zhuǎn)變形。

(3)由于波形鋼腹板的空間效應(yīng)(即手風(fēng)琴效應(yīng))，忽略其抗彎能力。

在豎向荷載作用下，波形鋼腹板PC箱梁橋的波形鋼腹板產(chǎn)生較大的剪切變形，使得混凝土頂、底板在初等梁理論的基礎(chǔ)上再產(chǎn)生一個(gè)轉(zhuǎn)角η，如圖2所示。ω,ξ,η分別為波形鋼腹板PC箱梁截面的豎向位移、彎曲轉(zhuǎn)角位移和剪切轉(zhuǎn)角位移，3者均是關(guān)于x的函數(shù)。

圖2 波形鋼腹板PC箱梁在豎向荷載作用下的變形

取該橋型橫截面的一半進(jìn)行分析，如圖3所示。bs和bx分別為混凝土頂、底板的寬度的一半；ts，tx和tw分別為混凝土頂、底板和波形鋼腹板的厚度；h1和h2分別為混凝土頂板下邊緣和混凝土底板上邊緣到波形鋼腹板PC箱梁整體截面形心軸的距離；hs和hx分別為混凝土頂、底板形心軸到波形鋼腹板PC箱梁整體截面形心軸的距離。

圖3 波形鋼腹板PC箱梁的截面尺寸

混凝土頂、底板和波形鋼腹板的縱向位移如式(2)～式(5)所示:

us(x,z)=hsξ(x)-(z+hs)η(x)，

(2)

uw(x,z)=[hs-κ(z+h1)]ξ(x)-

(3)

ux(x,z)=-hxξ(x)-(z-hx)η(x)，

(4)

ω=ω(x)，

(5)

2.2 波形鋼腹板PC箱梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)

由基本假設(shè)，波形鋼腹板PC箱梁的混凝土頂、底板和波形鋼腹板的應(yīng)變?nèi)缡?6)～式(10)。

混凝土頂板的正應(yīng)變：

εs=hsξ′(x)-(z+hs)η′(x);

(6)

混凝土頂板的切應(yīng)變：

γs=ω′(x)-η(x);

(7)

波形鋼腹板切應(yīng)變：

γw=ω′(x)-κξ(x)+χη(x);

(8)

混凝土底板的正應(yīng)變：

εx=-hxξ′(x)-(z-hx)η′(x);

(9)

混凝土底板的切應(yīng)變：

γx=ω′(x)-η(x)。

(10)

上述式中,εs和εx分別為波形鋼腹板PC箱梁混凝土頂、底板的正應(yīng)變；γs,γx,γw分別為波形鋼腹板PC箱梁混凝土頂板、底板和波形鋼腹板的切應(yīng)變；ξ′(x),η′(x)和ω′(x)分別為ξ(x),η(x),ω(x)對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)。

波形鋼腹板PC箱梁的應(yīng)變能和外力勢(shì)能如式(11)～式(14)。

混凝土頂板的應(yīng)變能：

(11)

波形鋼腹板的應(yīng)變能：

(12)

混凝土底板的應(yīng)變能：

(13)

外力勢(shì)能：

(14)

人類賴以生存的地球只有一個(gè)，其土地極其有限，且不復(fù)繁殖。所有人都受惠于土地：生者藉之以生產(chǎn)、生活，死者除少數(shù)天葬、海葬，大多則是“入土為安”，筑墓立碑，供眷屬、族人憑吊。生者繁衍不息，死者延綿不斷，人類似乎越來(lái)越感受到土地“供不應(yīng)求”的窘?jīng)r。

(15)

(16)

由式(6)～式(16)得到波形鋼腹板PC箱梁的總勢(shì)能。

q0(ξ′)2-2q0ξ′η′+q1(η′)2+

q0(η′)2-qω]dx，

(17)

波形鋼腹板PC箱梁的梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移如圖4所示。

圖4 梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移

圖4中，ωi和ωj分別為梁?jiǎn)卧猧,j兩端的豎向位移；ξi和ξj分別為在初等梁理論條件下梁?jiǎn)卧猧,j兩端產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角；ηi和ηj分別為由于波形鋼腹板的剪切變形使梁?jiǎn)卧猧,j兩端產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角。采用滿足精度要求的形函數(shù)N(x)進(jìn)行插值，則ω(x)，ξ(x)，η(x)可表示為：

(18)

(19)

(20)

波形鋼腹板PC箱梁的單元?jiǎng)偠确匠炭杀硎緸椋?/p>

Keδe=Fe，

(21)

式中，Ke為單元?jiǎng)偠染仃嚕沪膃和Fe分別為單元節(jié)點(diǎn)位移矢量和節(jié)點(diǎn)力矢量。

將形函數(shù)取為線性函數(shù)，即：

(22)

由式(17)～式(20)和式(22)求得波形鋼腹板PC箱梁的總勢(shì)能П。

Π=Π(ω,ξ,η)。

(23)

根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，波形鋼腹板PC箱梁的總勢(shì)能П取駐值時(shí)需要滿足：

(24)

將(24)的結(jié)果整理成矩陣的形式如式(25)所示：

(25)

結(jié)合式(21)和式(25)可得波形鋼腹板PC箱梁的單元?jiǎng)偠染仃嘖e為：

(26)

(27)

(28)

式中，A11=A12=A13=A14=A15=A16=A21=A24=A31=A34=A35=A41=A42=A43=A44=A45=A46=A51=A53=A54=A61=A64=0;A22=A26=A62=A55=-A23=-A32=-A25=-A52=-A56=-A65=q0;A33=A66=-A36=-A63=(q0+q1)。

式中，B11=B44=-B14=-B41=6(p0+p1)；B12=B21=B15=B51=-B45=-B54=-B24=-B42=3κp0l;B13=B31=B16=B61=-B34=-B43=-B46=-B64=-3(χp0-p1)l;B22=B55=2κ2p0l2;B25=B52=κ2p0l2;B23=B32=B56=B65=-2χκp0l2;B26=B62=B35=B53=-χκp0l2;B33=B36=B63=2(χ2p0+p1)l2;B66=(χ2p0+p1)l2。

2.3 波形鋼腹板PC箱梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣的推導(dǎo)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]，波形鋼腹板PC箱梁的單元質(zhì)量矩陣M可以按式(30)計(jì)算：

(30)

式中，ρ為材料密度；A為波形鋼腹板PC箱梁的橫截面積；l為梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度。

根據(jù)波形鋼腹板PC箱梁的單元?jiǎng)偠染仃嘖e和單元質(zhì)量矩陣M，采用MATLAB有限元軟件編寫了波形鋼腹板PC箱梁橋的自振頻率計(jì)算的求解程序，限于篇幅具體程序不再贅述。

3 算例分析

算例選取2005年在河南省建造的某座等截面波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋。該橋全長(zhǎng)120 m，采用 4×30 m等跨布置，施工方法為先簡(jiǎn)支后連續(xù)，由4片主梁構(gòu)成，單片主梁的截面尺寸如圖5所示。

圖5 單片梁的截面尺寸(單位：mm)

大橋的混凝土頂板、底板及橫隔板的混凝土材料均為C50，混凝土的彈性模量為Ec=3.5×1010Pa，泊松比為vc=0.166 7，混凝土的密度為ρc=2.5×103kg/m3。波形鋼腹板的鋼材為Q355C級(jí)低合金結(jié)構(gòu)鋼，厚度為8 mm，鋼材的彈性模量為Es=2.1×105MPa，泊松比為vs=0.30，鋼材的密度ρs=7.8×103kg/m3。波形鋼腹板的波高取值為150 mm, 波形鋼腹板斜板段在水平方向的投影長(zhǎng)度為200 mm，平板段長(zhǎng)度為250 mm，斜板段長(zhǎng)度為250 mm。

采用ANSYS 18.0有限元軟件建立了大橋的三維有限元模型。橫隔板和混凝土頂板、底板采用SOLID 45實(shí)體單元進(jìn)行模擬，波形鋼腹板采用SHELL 63殼單元進(jìn)行模擬，建立的大橋三維有限元模型如圖6所示。

圖6 大橋的ANSYS模型

采用本研究方法計(jì)算了大橋前5階彎曲振動(dòng)頻率，將其結(jié)果與大橋彎曲振動(dòng)頻率實(shí)測(cè)值[20]及ANSYS空間有限元值進(jìn)行了比較，如表1所示。

表1 大橋彎曲振動(dòng)頻率對(duì)比

注：②差比=|(②-①)/①|(zhì)；③差比=|(③-①)/①|(zhì)。

從表1中可以看出，根據(jù)本研究所推導(dǎo)的波形鋼腹板PC箱梁橋的單元?jiǎng)偠染仃?，采用MATLAB軟件編制的求解程序計(jì)算所得的自振頻率值與實(shí)測(cè)值和ANSYS三維有限元值吻合較好，驗(yàn)證了本研究在考慮波形鋼腹板剪切效應(yīng)下所推導(dǎo)的波形鋼腹板PC箱梁的單元?jiǎng)偠染仃嚨恼_性，同時(shí)也驗(yàn)證了采用MATLAB軟件所編制自振頻率求解程序的適用性。

4 參數(shù)分析

4.1 波折形狀對(duì)彎曲振動(dòng)頻率的影響

假定大橋的梁截面的細(xì)部尺寸和計(jì)算跨徑保持不變，用本研究編寫的MATLAB程序分別計(jì)算了大橋在不同波形鋼腹板形狀下的彎曲振動(dòng)頻率。目前國(guó)內(nèi)外采用的波折形狀主要有4種：1000型、1200型、1600型和2400型，如圖7所示。4種標(biāo)準(zhǔn)形狀波形鋼腹板剪切模量的修正系數(shù)如表2所示，大橋的前5階彎曲振動(dòng)頻率如表3所示。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)形狀的波形鋼腹板(單位：mm)

從表3可以看出，采用不同的波形鋼腹板型號(hào)所計(jì)算的大橋前5階彎曲振動(dòng)頻率的差值在0.55%以內(nèi)，說(shuō)明波形鋼腹板的形狀對(duì)其彎曲振動(dòng)頻率的影響較小，可以將其忽略不計(jì)。

表2 標(biāo)準(zhǔn)形狀的波形鋼腹板的修正系數(shù)

表3 大橋在不同波折形狀下的彎曲振動(dòng)頻率對(duì)比

4.2 波形鋼腹板剪切模量的修正對(duì)彎曲振動(dòng)頻率的影響

采用本研究方法分別計(jì)算了考慮和不考慮修正波形鋼腹板剪切模量?jī)煞N情況下大橋的彎曲振動(dòng)頻率值，如表4所示?？梢钥闯?，不考慮修正剪切模量計(jì)算所得的大橋前5階自振頻率值比考慮修正剪切模量的情況要略微偏大，前5階彎曲振動(dòng)頻率的差值不超過(guò)1.07%。因此，在計(jì)算其彎曲振動(dòng)頻率時(shí)將其忽略不計(jì)。

4.3 波形鋼腹板剪切變形對(duì)彎曲振動(dòng)頻率的影響

采用本研究編寫的MATLAB程序分別對(duì)是否考慮波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)對(duì)大橋的彎曲振動(dòng)頻率進(jìn)行求解，結(jié)果如表5所示。經(jīng)對(duì)比分析可知，不考慮剪切變形計(jì)算所得大橋的前5階彎曲振動(dòng)頻率值比考慮其剪切變形效應(yīng)的計(jì)算值要大，兩者的差值隨著彎曲振動(dòng)頻率階數(shù)的升高而增大，第5階彎曲振動(dòng)頻率值兩者差值已達(dá)到15.52%。因此，波形鋼腹板剪切變形效應(yīng)對(duì)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的彎曲振動(dòng)頻率的影響不可忽略。

表4 剪切模量是否修正所得大橋彎曲振動(dòng)頻率值比較

注：差比=(②-①)/②。

表5 是否考慮剪切變形所得大橋彎曲振動(dòng)頻率對(duì)比

注：差比=(②-①)/②。

4.4 基頻與現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行對(duì)比

我國(guó)2015年發(fā)布的《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》(JTG D60—2015)第4.3.2條給出的連續(xù)梁橋豎向基頻的估算公式為[21]：

(31)

(32)

式中，l為橋梁的計(jì)算跨徑；E為橋梁材料的彈性模量；Ic為橋梁跨中位置的截面慣性矩；mc為橋梁跨中位置單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。

根據(jù)規(guī)范規(guī)定，計(jì)算連續(xù)梁橋的沖擊力所引起的正彎矩效應(yīng)和剪力效應(yīng)時(shí)，采用基頻f11；計(jì)算連續(xù)梁橋的沖擊力引起的負(fù)彎矩效應(yīng)時(shí)，采用基頻f12。采用《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》中的式(31)和式(32)對(duì)大橋的豎向基頻進(jìn)行了計(jì)算，并將其結(jié)構(gòu)與本研究方法所得基頻進(jìn)行比較，結(jié)果如表6所示。

從表6中可以看出，采用本研究程序計(jì)算的豎向基頻與《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》所給公式計(jì)算值相差很大，兩者的差值達(dá)到了37.73%和139.26%。因此，《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》中給出的連續(xù)梁的豎向基頻的估算公式不再適用于波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的豎向基頻的計(jì)算。

表6 大橋豎向基頻的計(jì)算值與規(guī)范對(duì)比

注：②差比=(②-①)/①；③差比=(③-①)/①。

5 結(jié)論

(1)考慮波形鋼腹板剪切效應(yīng)推導(dǎo)了波形鋼腹板PC箱梁橋的單元?jiǎng)偠染仃?，利用MATLAB軟件根據(jù)其單元?jiǎng)偠染仃嚲幹屏说冉孛娌ㄐ武摳拱錚C連續(xù)箱梁橋的自振頻率求解程序。本研究方法可靠性得到了已建實(shí)橋彎曲振動(dòng)頻率實(shí)測(cè)值和ANSYS空間有限元值的驗(yàn)證。

(2)波形鋼腹板的剪切模量是否修正以及波形鋼腹板的型號(hào)對(duì)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋彎曲振動(dòng)頻率的影響較小，且前5階彎曲振動(dòng)頻率的差值在1.07%～0.55%以內(nèi)。因此，在求解等截面波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋自振頻率時(shí)可以不考慮波形鋼腹板剪切模量的修正系數(shù)以及波形鋼腹板型號(hào)。

(3)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋自振頻率的計(jì)算計(jì)入波形鋼腹板剪切變形的影響，采用本研究的方法對(duì)自振頻率的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[20]實(shí)測(cè)值和ANSYS三維有限元值吻合較好。

(4)考慮波形鋼腹板剪切變形，本研究采用MATLAB軟件編制的波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋自振頻率計(jì)算的求解程序具有較高的精度，可指導(dǎo)設(shè)計(jì)和施工。

(5)研究成果可將考慮剪切變形效應(yīng)下波形鋼腹板PC連續(xù)梁橋的動(dòng)力分析問題，方便地納入普通桿系結(jié)構(gòu)矩陣位移體系中，避免了ANSYS有限元模型建立和求解的復(fù)雜性。