彭 英，楊?yuàn)^林

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

1 問(wèn)題的提出

圖像去噪是從已知的噪聲圖像z中提取近似于z的光滑圖像u.基于梯度模|u|的L2范數(shù)的模型具有較好的平滑效果，但邊緣會(huì)模糊.1992年，Rudin等[1]構(gòu)造出用|u|的L1范數(shù)做正則項(xiàng)的TV模型，該模型雖能很好地保持圖像的邊緣，但圖像的光滑過(guò)渡部分會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng).1997年，Blomgren等[2]構(gòu)造出自適應(yīng)TVp模型

其中p(·)是單調(diào)遞減且值域?yàn)閰^(qū)間[1,2]的函數(shù).該模型在|u|較小時(shí)近似于L2正則，而在|u|很大時(shí)接近于TV正則，因此它能有效減少TV模型的階梯效應(yīng).但是，因TVp模型正則項(xiàng)的核函數(shù)是冪指函數(shù)，故求解十分困難.2010年，Chen等[3]將能較好地區(qū)分噪聲圖像的邊緣部分、光滑部分和噪聲的差分曲率

引入到自適應(yīng)TVp模型中，建立了核函數(shù)指數(shù)部分只與z有關(guān)的自適應(yīng)TVp模型

為了更有效地降低TVp模型的非線性程度，筆者擬在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上對(duì)離散的TVp模型進(jìn)行改進(jìn).

2 改進(jìn)的離散TVp模型

為了降低離散TV模型的非線性程度，滕鮮等[4]提出用梯度的向前、向后差分的幾何平均

(1)

來(lái)代替像素點(diǎn)(i,j)的梯度模

建立了帶Nuemann邊界條件的四方向TV模型.筆者將(1)式運(yùn)用到離散的TVp模型中以降低TVp模型的非線性程度，建立了MTVp模型，即

其中

MTVp模型的求解可以轉(zhuǎn)化為求解Euler-Lagrange方程

(ui,j-zi,j)=0,i,j=1,2，…，n.

(2)

采用z滯后非線性方程組(2)中的分母使其線性化，求解線性方程得到u(1)；再將u(1)滯后(2)式中的分母使其線性化，求解得到u(2)；……依此步驟繼續(xù)，得到序列{u(k)}.當(dāng){u(k)}前后2項(xiàng)相差很小或者k達(dá)到預(yù)先設(shè)定的最大迭代次數(shù)時(shí)，終止并返回u(k).

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

利用TV模型、TVp模型與MTVp模型對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的256×256Boat圖像(圖1)和含有較多細(xì)節(jié)、光滑過(guò)渡部分的400×400Barbara圖像(圖2)進(jìn)行去噪.3種模型的求解均采用最大迭代次數(shù)為10的滯后分母的不動(dòng)點(diǎn)迭代方法，線性方程組的求解采用預(yù)處理共軛梯度(Preconditioned Conjugate Gradient，PCG)法.圖3和圖4分別是Boat和Barbara的恢復(fù)圖像.

圖1 Boat圖像

圖2 Barbara圖像

圖3 Boat的恢復(fù)圖像

圖4 Barbara的恢復(fù)圖像

圖3顯示3種模型恢復(fù)的圖像的邊緣都很清晰，但TV模型恢復(fù)的Boat圖像的船底部分能看到明顯的階梯效應(yīng)，而TVp模型和MTVp模型恢復(fù)的圖像更光滑.圖4顯示MTVp模型和TVp模型恢復(fù)的Barbara圖像的臉蛋和手臂部分都比TV模型的更光滑，MTVp模型恢復(fù)的背景和圍巾部分的紋理細(xì)節(jié)都比TV模型和TVp模型的更好.

表1記錄了利用3種模型求解2幅圖像的耗時(shí)、PCG迭代次數(shù)和恢復(fù)圖像的信噪比.

表1 TV模型、TVp模型與MTVp模型的耗時(shí)、PCG迭代次數(shù)和信噪比

由表1可知，MTVp模型耗時(shí)最少，PCG迭代次數(shù)是TV模型的1/10～1/6，是TVp模型的1/3～1/2，但信噪比明顯高于TV模型和TVp模型.

4 結(jié)語(yǔ)

圖像去噪中兼顧保持圖像邊緣清晰和畫(huà)面光滑是比較困難的，TVp模型能減輕TV模型的階梯效應(yīng)，保持圖像光滑，但保持邊緣清晰的效果不及TV模型.筆者通過(guò)引入四方向梯度模建立了MTVp模型，它能有效降低TVp模型的非線性程度，且信噪比更高.接下來(lái)，筆者將圍繞在采用滯后不動(dòng)點(diǎn)迭代方法求解MTVp模型的過(guò)程中，如何進(jìn)一步提高滯后不動(dòng)點(diǎn)迭代方法的收斂性展開(kāi)研究.