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        一種直接利用連續(xù)時間非周期信號的頻譜計算相應周期序列的頻譜的方法*

        2020-03-25 07:34:24陳紹榮陳柏良薛在陽
        通信技術(shù) 2020年1期
        關(guān)鍵詞:離散性計算公式頻域

        陳紹榮,陳柏良,何 健,薛在陽

        (1.陸軍工程大學通信士官學校,重慶 400035;2.深圳市惟新科技股份有限公司,廣州 深圳 518000;3.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室,四川 成都 610041;4.奧特斯科技(重慶)有限公司,重慶 401133)

        0 引 言

        在國內(nèi)外《信號與系統(tǒng)》著作[1-2]中,對連續(xù)時間非周期信號、非周期序列和周期序列的頻譜,依據(jù)各自的定義,研究其性質(zhì)、定理,一般僅研究了兩種信號頻譜之間的關(guān)系?;凇缎盘柵c系統(tǒng)》著作[3]和《數(shù)字信號處理》著作[4],本文利用函數(shù)逼近沖激函數(shù)時,其曲線下的面積保持不變的特性,證明了周期沖激信號的頻譜具有離散性、諧波性和均勻性。以此為基礎(chǔ),導出了連續(xù)時間非周期信號頻域分解的表達式及其頻譜計算公式。然后分別導出了非周期序列的頻域分解表達式及其頻譜計算公式。最后不僅給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應周期序列的頻譜的方法,而且還給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應周期序列的頻譜的實例。

        1 連續(xù)時間非周期信號的頻譜

        由式(1)可知,x(t)是周期為T0的連續(xù)時間周期信號,并且t=mT0(m為整數(shù))時,將出現(xiàn)沖激函數(shù)Aδ(t-mT0),因此,由式(2)可以得到:

        式中,第二項是第一項當t→mT0時的結(jié)果??紤]到函數(shù)逼近沖激函數(shù)時,其曲線下的面積具有保持不變的特性,若m=0,則沖激函數(shù)Aδ(t)的強度A為:

        考慮到式(1)、式(3)、式(4)及單位沖激函數(shù)δ(t)為偶函數(shù),則有:

        式(6)表明,周期沖激信號δT0(t)可以分解成無窮次諧波kΩ0(k=0,±1,±2,…)之和,并且各次諧波的幅度都為1/T0(均勻性)。由于在頻域上角頻率Ω取值不連續(xù)(離散性),按kΩ0(k=0,±1,±2,…)的方式取值(諧波性),因此,通常用X(kΩ0)表示周期沖激信號δT0(t)的頻譜,即X(kΩ0)=1/T0。

        考慮到式(1),則有:

        考慮到式(7),則連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻域分解可以表示為:

        式中,稱Xa(jΩ)為連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜,并且,可以表示為:

        式(9)表明,連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)是頻率Ω的連續(xù)函數(shù)。

        若以等間隔T對連續(xù)時間非周期信號xa(t)進行抽樣,則樣值信號xs(t)可以表示為:

        式中,x(n)=xa(nT),稱x(n)為非周期序列。

        考慮到式(9)、式(10)及式(6),則樣值信X號xs(t)的頻譜Xs(jΩ)可以表示為:

        式(11)表明,時域上以等間隔T對連續(xù)時間非周期信號xa(t)進行抽樣,得到了樣值信號xs(t),則頻域上以Ωs為周期對連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)做周期延拓,再除以T,就得到了樣值信號 xs(t)的頻譜 Xs(jΩ)。

        2 非周期序列的頻譜

        考慮到式(8)及式(11),則非周期序列x(n)=xa(nT)的頻域分解可以表示為:

        式中,數(shù)字角頻率ω=ΩT。X(ejω)稱為非周期序列x(n)的頻譜,并且,可以表示為:

        式(13)表明,非周期序列x(n)的頻譜X(ejω)不僅是數(shù)字角頻率ω的連續(xù)函數(shù),而且是周期為2π的周期函數(shù)。

        3 周期序列的頻譜

        考慮到式(6),即:

        考慮到式(18)、式(12)、式(17)及周期函數(shù)在一周期內(nèi)的積分與起點無關(guān),則一個周期為N的周期序列x~(n)的頻域分解可以表示為:

        4 基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜計算相應周期序列的頻譜

        考慮到式(20)、式(13)及式(11),則有:

        式(21)是直接利用連續(xù)時間信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)來計算相應周期序列的頻譜的依據(jù)。

        (1)試直接利用連續(xù)時間信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)計算相應周期序列的頻譜

        解:(1)考慮到

        式 中,G2Ωc(Ω)=ε(Ω+Ωc)-ε(Ω-Ωc),ε(Ω)為 單 位階躍函數(shù)。

        在式(22)中,令Ωc=π/2,可得:

        考慮到式(23),則連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜為:

        定義矩形窗:

        式中,ε(k)為單位階躍序列。

        考慮到式(24)及式(25),則有:

        5 結(jié) 語

        本文證明了周期沖激信號的頻譜具有離散性、諧波性和均勻性。以此為基礎(chǔ),導出了連續(xù)時間非周期信號頻域分解的表達式及其頻譜計算公式。然后分別導出了非周期序列的頻域分解表達式及其頻譜計算公式。最后不僅給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應周期序列的頻譜的方法,而且還給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應周期序列的頻譜的實例。

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