安清華

摘要：期權(quán)是一重要的衍生產(chǎn)品，為衍生產(chǎn)品定價(jià)成為金融市場(chǎng)討論的熱點(diǎn)話題。本文主要研究帶跳模型下歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，所采用的方法是鞅方法。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)? 鞅方法

帶跳躍模型下歐式期權(quán)定價(jià)模型要建立以下假設(shè)：

一是N（t）是一個(gè)非時(shí)齊Poisson過(guò)程，表示從0時(shí)刻到t時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生跳躍的次數(shù)，對(duì)強(qiáng)度為的Poisson過(guò)程滿足，n=0，1，2，...，并且。

二是股票不支付紅利，且股票價(jià)格S（t）服從幾何布朗（Brown）運(yùn)動(dòng)，其微分形式為，其中是常數(shù)，W（t）是定義在概率空間（）上的布朗運(yùn)動(dòng)并且域流F，是由布朗運(yùn)動(dòng)W（t）生成的。M（t）=N（t）-為補(bǔ)償泊松過(guò)程。

三是交易者之間沒(méi)有任何信用違約風(fēng)險(xiǎn)，股票允許賣空并且交易之間沒(méi)有任何額外費(fèi)用，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是一個(gè)常數(shù)，并且在任何期限的貸款利率都相等。

四是在任何有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，只允許發(fā)生有限多次跳躍，跳過(guò)程是右連續(xù)和適應(yīng)的。

原生資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)和補(bǔ)償泊松過(guò)程：

從而原生資產(chǎn)價(jià)格定義為，其中是股票的平均回報(bào)率，N（t）是定義在概率空間（）上強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，是資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率。其微分形式為，由定義可知M（t）在P下為鞅，表示股票價(jià)格的左連續(xù)。

第一，給定一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，則在下，定義標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格公式，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，且令。

從而

通過(guò)構(gòu)造知，

兩邊在取數(shù)學(xué)期望得，所以是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的貼現(xiàn)價(jià)格，滿足

第二，在風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度下，歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格為

而

=

=

即：V（t，S（t）

由于隨機(jī)變量S（t）是F（t）可測(cè)的，而獨(dú)立于F（t），則

V（t，S（t））

則原生資產(chǎn)服從單個(gè)泊松過(guò)程和布朗運(yùn)動(dòng)的帶跳模型的期權(quán)定價(jià)為：

V（t，x）

邊界條件當(dāng)i=0時(shí)，，當(dāng)t=T時(shí)，V（T，x）=.

參考文獻(xiàn)：

[1]曲天堯.常用的幾個(gè)期權(quán)定價(jià)模型的基本原理及其對(duì)比分析.中國(guó)管理信息化.2018（12）： 117～120.

[2]Steven E.Shreve.金融隨機(jī)分析.陳啟宏，譯.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社.2008.

[3]姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法.高等教育出版社.2003.

[4]王玉文，劉冠琦，王紫，陳婷婷.隨機(jī)金融數(shù)學(xué)引論.科學(xué)出版社.2014.

[5]陳曉航.帶常數(shù)跳躍模型下亞式期權(quán)定價(jià)及在實(shí)物中應(yīng)用.哈爾濱師范大學(xué)碩士學(xué)位論文.2015.

作者單位：黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)