黃文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，洛陽 471023)

0 引 言

適合于控制應(yīng)用的超聲波電動機數(shù)學(xué)模型，是超聲波電動機伺服控制系統(tǒng)設(shè)計與分析的必要基礎(chǔ)。為滿足不斷提高的控制性能要求，需要更好表述超聲波電動機運行特征的數(shù)學(xué)模型作為支撐。超聲波電動機內(nèi)部機電能量轉(zhuǎn)換過程所具有的本質(zhì)非線性，采用適當(dāng)形式的非線性模型進行超聲波電動機系統(tǒng)建模，有可能得到更高精度的模型。

Hammerstein模型是眾多非線性模型形式中較為常用的一種。文獻[1-7]嘗試建立超聲波電動機Hammerstein模型，表明這種非線性模型形式適用于表述超聲波電動機系統(tǒng)的運行過程。文獻[1-5]直接將模型中的動態(tài)線性環(huán)節(jié)設(shè)定為一階慣性環(huán)節(jié)，這顯然不足以表述超聲波電動機的動態(tài)運行過程。文獻[6-7]采用不同的優(yōu)化算法進行辨識建模，分別建立了用于轉(zhuǎn)速、位置控制的超聲波電動機Hammerstein模型，所建模型的非線性環(huán)節(jié)均采用傳統(tǒng)的多項式形式，受限于多項式的項數(shù)及具體建模方法，可能降低模型對電動機非線性特性的表述精度。

本文以電動機驅(qū)動電壓的幅值(峰峰值)和頻率為輸入變量，轉(zhuǎn)速為輸出變量，基于實測數(shù)據(jù)，采用改進差分進化算法建立超聲波電動機Hammerstein非線性模型。模型計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的對比表明，所建模型精度較高。

1 實驗數(shù)據(jù)測試與預(yù)處理

為進行辨識建模，首先需要測取能夠反映超聲波電動機驅(qū)動電壓幅值、頻率與轉(zhuǎn)速之間特性關(guān)系的實驗數(shù)據(jù)。實驗用超聲波電動機為Shinsei USR60型超聲波電動機，驅(qū)動主電路為H橋結(jié)構(gòu)，采用相移PWM控制方式和PI轉(zhuǎn)速控制器，同時包含兩相驅(qū)動電壓幅值的閉環(huán)控制以使其為期望值，并設(shè)定兩相驅(qū)動電壓之間的相位差為固定的90°。

分別設(shè)定驅(qū)動電壓幅值(峰峰值)給定值為240 V，260 V，280 V，300 V，320 V，在電動機允許的調(diào)速范圍0～120 r/min內(nèi)，間隔10 r/min設(shè)定轉(zhuǎn)速階躍給定值，測取不同驅(qū)動電壓情況下的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)實驗數(shù)據(jù)。通過上述實驗，得到51組實測階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用于辨識建模。另外，在轉(zhuǎn)速階躍給定值分別為30 r/min，60 r/min，90 r/min，120 r/min的情況下，各設(shè)置兩組不同于前述實驗的PI控制參數(shù)取值，進行階躍響應(yīng)實驗，得到8組階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用于模型校驗。

提取每組階躍響應(yīng)實驗數(shù)據(jù)中的動態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)，用于Hammerstein模型動態(tài)線性環(huán)節(jié)的建模。同時，求取各組剩余的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)的頻率、轉(zhuǎn)速平均值，如圖1中方形點所示。

圖1 穩(wěn)定實驗數(shù)據(jù)的擬合

2 模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)表達式的確定

圖1給出了對應(yīng)不同驅(qū)動電壓值的穩(wěn)態(tài)頻率-轉(zhuǎn)速實驗數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映了超聲波電動機驅(qū)動電壓幅值、頻率與轉(zhuǎn)速之間非線性關(guān)系的主要方面，可用作建立Hammerstein模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的主要依據(jù)。下面嘗試分別對各個驅(qū)動電壓值情況下的“頻率-轉(zhuǎn)速”關(guān)系數(shù)據(jù)進行一輸入一輸出的函數(shù)擬合，研究不同驅(qū)動電壓值的擬合函數(shù)之間的相似性與差異，探究以驅(qū)動電壓幅值和頻率為輸入的“二輸入一輸出”非線性函數(shù)的恰當(dāng)形式。

對不同擬合函數(shù)形式的嘗試表明，采用Gauss函數(shù)，不同電壓幅值的數(shù)據(jù)均能實現(xiàn)良好擬合，擬合曲線如圖1所示。所得擬合表達式分別如下：

240 V：x=9.050 9+65.077e-2.318 7(u-42.864)2(1)

260 V：x=8.462 6+88.651e-1.124 6(u-42.537)2(2)

280 V：x=6.435 9+185.79e-0.429 58(u-41.561)2(3)

300 V：x=7.077 8+188.34e-0.395 91(u-41.514)2(4)

320 V：x=7.582 5+216.46e-0.326 71(u-41.279)2(5)

式中:x為圖1穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速值，此處亦為模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的輸出變量；u為電動機的驅(qū)動頻率，是模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的一個輸入變量。

為得到適用于不同驅(qū)動電壓情況的統(tǒng)一表達式，將上述擬合函數(shù)式(1)～式(5)寫為一般形式：

x=r1+r2er3(u-r4)2

(6)

式中：r1，r2，r3，r4為系數(shù)。

對比式(1)～(5)可知，不同驅(qū)動電壓情況下的r1，r2，r3，r4值各不相同。下面以驅(qū)動電壓值為自變量，分別對式(1)～式(5)中的r1，r2，r3，r4值進行擬合，得各系數(shù)擬合表達式：

(7)

(8)

(9)

(10)

至此，得到以驅(qū)動電壓幅值、頻率為自變量的Hammerstein模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)為式(6)，式中系數(shù)采用式(7)～式(10)計算。

3 確定優(yōu)化算法參數(shù)

采用改進的差分進化算法，對模型動態(tài)線性環(huán)節(jié)式(11)中的未知參數(shù)a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb進行辨識，得到使目標(biāo)函數(shù)值最小的模型參數(shù)值，即完成了建模。

(11)

式中：a1,a2,…,ana,b0,b1,…,bnb為待定系數(shù)，由辨識確定；na和nb為模型階次。

取如下均方差函數(shù)為表征模型與實驗數(shù)據(jù)之間差異大小的目標(biāo)函數(shù)：

(12)

式中：m為建模數(shù)據(jù)的組數(shù)；h為每組建模數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)點數(shù)；y為模型計算值；ye為實測值。

模型辨識所用改進差分進化算法與標(biāo)準(zhǔn)差分進化算法的區(qū)別在于，改進變異操作如式(13)，并引入自適應(yīng)變異算子F和F2，使優(yōu)化進程中側(cè)重于全局搜索還是局部搜索變?yōu)榭煽乜烧{(diào)。

Vi(t+1)=Xi(t)+F[Xbest(t)-Xi(t)]+

F2[Xr1(t)-Xr2(t)]

(13)

式中：r1,r2∈{1,2,3,…,Np}為隨機選取的互不相同的數(shù)，且均與i不同；Np為初始種群個體數(shù)量；Xi(t)為第t代種群中的目標(biāo)個體矢量；Vi(t+1)為目標(biāo)矢量所對應(yīng)的變異個體矢量；Xbest(t)為第t代種群中的最優(yōu)個體矢量。

優(yōu)化算法參數(shù)的取值是否合適，直接決定了能否得到準(zhǔn)確的辨識結(jié)果。在差分進化算法中，需要確定的算法參數(shù)包括Np、變異算子F和F2、交叉算子CR、模型參數(shù)初始值上下限maxbound及minbound、最大迭代次數(shù)Gm等。其中，最大迭代次數(shù)用作優(yōu)化計算的終止條件。算法參數(shù)選擇過程中，為避免隨機產(chǎn)生的不同初始種群影響算法參數(shù)對比結(jié)果，不同算法參數(shù)值的辨識過程都采用同一初始種群。以“na=4,nb=1”為例，通過嘗試不同參數(shù)值進行優(yōu)化辨識，以最優(yōu)目標(biāo)值小、迭代用時少為依據(jù)，確定適合于本文建模問題的優(yōu)化算法參數(shù)值：Np=50，maxbound=1，minbound=-1，Gm=100，CR=0.95，F(xiàn)2=0.55，并設(shè)置變異算子F：

(14)

4 確定模型階次

在合理范圍內(nèi)，設(shè)定不同的模型階次，利用改進差分進化算法進行模型參數(shù)辨識，并采用校驗數(shù)據(jù)對辨識所得模型進行校驗。經(jīng)模型參數(shù)辨識，得到優(yōu)化建模與校驗結(jié)果如表1所示。 優(yōu)化所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值和校驗?zāi)繕?biāo)函數(shù)值分別除以各自數(shù)據(jù)組數(shù)并求和，得到表1所示綜合誤差，以此作為確定模型階次的依據(jù)?？紤]電動機實測階躍響應(yīng)曲線的表征及控制性能要求，在3到4階之間選擇模型階次。

表1 不同模型階次情況下的優(yōu)化結(jié)果和校驗結(jié)果對比

對比表1數(shù)據(jù)可知，第6組模型階次所得綜合誤差值最小，但第6組三次優(yōu)化進程所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值存在明顯差異，優(yōu)化進程表現(xiàn)不夠穩(wěn)健。前述優(yōu)化算法參數(shù)的確定過程，是在設(shè)定模型階次為na=4，nb=1的情況下進行的。表1中，第1、2和4組三次所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值都相同，而其它組三次所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值都存在差異，因為這些組需辨識的模型參數(shù)個數(shù)均大于na=4，nb=1的情況，優(yōu)化問題的復(fù)雜度增加了。由此可知，在問題復(fù)雜度增加的情況下，需調(diào)整優(yōu)化參數(shù)值，以保證算法的穩(wěn)健性。

模型階次越高，所需辨識的模型參數(shù)個數(shù)越多，可行解空間維數(shù)越高，復(fù)雜度越高。對于差分進化算法而言，可按照下列原則來調(diào)整參數(shù)以保證找到最優(yōu)解，一是調(diào)整變異算子值，加強全局搜索；二是增大初始種群數(shù)量，借助算法的隨機性質(zhì)，可擴大搜索范圍；三是增大迭代次數(shù)。這是因為，在其它參數(shù)不變的情況下，問題復(fù)雜度增加，則最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值下降速度將減慢，算法需更多次迭代才能達到最優(yōu)解。增大迭代次數(shù)將增加優(yōu)化時間，同時可能因變異算子值不合適而得不到全局最優(yōu)解，故應(yīng)首先考慮加強全局搜索和增大初始種群數(shù)量。

表1數(shù)據(jù)表明，模型階次為na=4，nb=3時，綜合誤差值較小，更適合于本文所述超聲波電動機，故設(shè)定na=4，nb=3，調(diào)整變異算子值。加強全局搜索，可通過增大F2值或減小F值來實現(xiàn)。不同算法參數(shù)值嘗試過程表明問題復(fù)雜度增加，可通過加強全局搜索和初始種群數(shù)量來提高優(yōu)化算法的穩(wěn)健性，確定將初始種群數(shù)量和變異算子值調(diào)整為Np=100，F(xiàn)2=0.55，并減小變異算子F：

(15)

采用調(diào)整后的參數(shù)值，嘗試不同的模型階次，得到優(yōu)化辨識結(jié)果如表2所示。觀察表2數(shù)據(jù)可知，調(diào)整參數(shù)值后，不同模型階次情況下，三次優(yōu)化結(jié)果都各自相同，且三次辨識所得模型參數(shù)值相同，算法穩(wěn)健性提高。根據(jù)表2的綜合誤差值，選定超聲波電動機Hammerstein模型動態(tài)線性環(huán)節(jié)的模型階次為na=4，nb=3，表達式：

(16)

表2 不同模型結(jié)構(gòu)下的優(yōu)化結(jié)果對比

為驗證所建模型的準(zhǔn)確度，將本文模型與文獻[6]所建超聲波電動機二輸入一輸出Hammerstein非線性模型進行對比。圖2、圖3給出了兩種模型的模型計算數(shù)據(jù)與實測電動機階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)的對比圖，可以看出，本文模型計算數(shù)據(jù)更接近實驗數(shù)據(jù)。對于51組建模數(shù)據(jù)，使用式(12)計算得到本文模型的計算輸出與實驗數(shù)據(jù)之間的總均方差值為16.29；采用8組校驗數(shù)據(jù)進行比對，對應(yīng)的總均方差值為4.68。而文獻[6]模型的上述兩個總均方差值依次為574.86和109.76，可見本文所建模型精度明顯高于文獻[6]模型。

(a) U=240 V

(b) U=300 V

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)的校驗數(shù)據(jù)對比(120 r/min)

5 結(jié) 語

為給超聲波電動機控制系統(tǒng)的設(shè)計與分析提供必要基礎(chǔ)，采用改進差分進化算法進行辨識建模，建立以驅(qū)動電壓幅值(峰峰值)和頻率為輸入變量、電動機轉(zhuǎn)速為輸出變量的超聲波電動機二輸入一輸出Hammerstein非線性模型?；趯嶒灁?shù)據(jù)分析，模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)設(shè)計為Gauss函數(shù)，函數(shù)中各系數(shù)為關(guān)于驅(qū)動電壓幅值的多項式，以求更準(zhǔn)確地表述超聲波電動機的實際非線性特性。模型計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的對比表明，所建模型精度較高，建模方法有效。同時，給出了改進差分進化算法參數(shù)的調(diào)整原則，以提高優(yōu)化算法的穩(wěn)健性，保證建模過程的有效性并提高建模效率。

非線性模型建模方法與優(yōu)化算法參數(shù)調(diào)整原則，不僅適用于超聲波電動機，也適用于其它種類電動機的建模。