寧藝文，張健滔，張 佳，方 舟

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072)

0 引 言

隨著微電子技術(shù)和無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷發(fā)展，微電子設(shè)備、微傳感器等微機(jī)電系統(tǒng)的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大[1-3]。這些微機(jī)電系統(tǒng)大多仍采用傳統(tǒng)的化學(xué)電池供電，而傳統(tǒng)電池存在著體積大、壽命有限、可能致使環(huán)境污染等缺陷，制約了微機(jī)電系統(tǒng)進(jìn)一步的發(fā)展。從環(huán)境中收集能量為微機(jī)電系統(tǒng)供電，是一種替代傳統(tǒng)電池供電的有效方法。該研究領(lǐng)域不但得到了越來(lái)越多人的關(guān)注，而且已取得了快速的發(fā)展[4-5]。

環(huán)境中可收集的能源主要包括太陽(yáng)能、風(fēng)能和振動(dòng)能等[6-9]，其中風(fēng)能是一種分布廣泛、取之不盡、清潔可再生的能源，其備受研究人員關(guān)注。壓電風(fēng)能發(fā)電裝置將風(fēng)能轉(zhuǎn)換為機(jī)械振動(dòng)能，并基于壓電元件的壓電效應(yīng)將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能。其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能量密度高、易于集成化、無(wú)電磁干擾等優(yōu)點(diǎn)，已成為能量收集領(lǐng)域重要的研究方向之一[10-12]。

研究者們開(kāi)發(fā)了不同類型的壓電風(fēng)能發(fā)電裝置，其中懸臂梁式的最為常見(jiàn)。Zhao Liya等人設(shè)計(jì)了一款二自由度的壓電風(fēng)能發(fā)電裝置，磁鐵的相互作用導(dǎo)致了系統(tǒng)剛度的非線性，其受風(fēng)速的大小、外接阻流體的形狀、磁鐵性能的影響，通過(guò)這種非線性提高了發(fā)電裝置的輸出功率[13]。Zhu等人開(kāi)發(fā)了一種多沖擊壓電風(fēng)能發(fā)電裝置，其H型的梁可以將低頻風(fēng)致振動(dòng)轉(zhuǎn)換為高頻振動(dòng)，從而可實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電懸臂梁進(jìn)行多次撞擊，并提高其輸出效率[14]。懸臂梁式壓電能量發(fā)電裝置的剛度對(duì)輸出性能有重要的影響，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者嘗試通過(guò)改變懸臂梁的剛度來(lái)提高發(fā)電裝置的輸出特性。Paquin等人研究了一種變厚度的懸臂梁式壓電能量發(fā)電裝置，懸臂梁固定端的厚度較厚，厚度沿長(zhǎng)度方向逐漸變小。其研究表明，當(dāng)其懸臂梁傾角為0.94°時(shí)，發(fā)電裝置的能量收集效率約是普通等厚度梁的3.6倍[15]。Jedol Dayou等人比較了單一壓電懸臂梁、二等分壓電懸臂梁、三等分壓電懸臂梁的輸出性能，研究表明，在相同的激勵(lì)條件下，三等分壓電懸臂梁的輸出電壓和輸出功率明顯大于前兩者[16]。

為了能提高懸臂梁式聚偏氟乙烯(以下簡(jiǎn)稱PVDF)壓電能量發(fā)電裝置的輸出特性，本文提出了改變其懸臂梁剛度的設(shè)計(jì)，并建立了懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置參數(shù)化有限元模型，同時(shí)以風(fēng)能發(fā)電裝置輸出電壓最大化為目標(biāo)，分別利用序列二次規(guī)劃算法和自適應(yīng)模擬退火算法對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后，對(duì)風(fēng)能發(fā)電裝置進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，檢驗(yàn)其結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的有效性。

1 壓電風(fēng)能發(fā)電裝置的結(jié)構(gòu)及有限元模型

傳統(tǒng)的單一PVDF壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，其中間為一層PVDF材料，上、下兩層為聚乙烯塑料薄膜。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),當(dāng)在低風(fēng)速下時(shí)，傳統(tǒng)壓電懸臂梁的輸出電壓隨風(fēng)速增加而增加；但在高風(fēng)速下，其輸出電壓反而減小了。這是由于單一PVDF的壓電懸臂梁在高風(fēng)速下，風(fēng)的作用力過(guò)大致使其彎曲但不能恢復(fù)到未變形狀態(tài)，因此其輸出電壓反而減小了。

為了能提高單一PVDF壓電懸臂梁發(fā)電裝置的輸出特性，提出了改變其懸臂梁剛度的設(shè)計(jì)，如圖1所示。該結(jié)構(gòu)由銅片基底和PVDF壓電元件粘接而成，通過(guò)粘接銅片可以改善PVDF壓電懸臂梁的剛度，銅片厚度越厚，PVDF壓電懸臂梁增加的剛度越大。但壓電懸臂梁發(fā)電裝置的輸出特性并不是剛度越大越好，其存在一個(gè)最佳值。本文將通過(guò)最優(yōu)設(shè)計(jì)方法來(lái)確定銅片的尺寸，以使懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置有更佳的輸出特性。

圖1 懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置結(jié)構(gòu)示意圖

建立懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置有限元模型是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，為了在優(yōu)化過(guò)程中對(duì)發(fā)電裝置模型進(jìn)行自動(dòng)重構(gòu)，需要對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化建模，如圖2所示。

圖2 懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置參數(shù)化建模

為了簡(jiǎn)化處理，兩層的聚乙烯薄膜合并為一層。其中L5用來(lái)調(diào)節(jié)懸臂梁的固定位置，懸臂梁的右端裝有質(zhì)量塊，它的尺寸為5 mm×5 mm×5 mm，其位置由L7，W6來(lái)決定。設(shè)計(jì)參數(shù)取值如表1所示，銅片、聚乙烯薄膜、PVDF壓電材料與質(zhì)量塊的材料參數(shù)如表2所示。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)的取值

表2 風(fēng)能發(fā)電裝置材料參數(shù)

建立的懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置有限元模型并進(jìn)行仿真分析，懸臂梁左端L5寬的平面被約束固定，右端為自由狀態(tài)，懸臂梁表面施加一定的等價(jià)風(fēng)作用力壓強(qiáng)，該壓強(qiáng)通過(guò)伯努利方程來(lái)確定[17]：

Wp=0.5rov2

(1)

式中：Wp是風(fēng)壓；ro是空氣密度；v是風(fēng)速。

定義PVDF壓電材料的下表面的電勢(shì)為零，上表面電壓耦合。圖3為懸臂梁式PVDF能量發(fā)電裝置在風(fēng)速10m/s時(shí)沿厚度方向的位移云圖及輸出電壓云圖。從圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)，發(fā)電裝置的左端的位移為0，右端的位移最大，從右端到左端逐漸減小，其中沿厚度方向的最大位移為-6.945mm。從圖3(b)的局部放大視圖可以發(fā)現(xiàn)，壓電材料下表面的電勢(shì)為0，電壓沿壓電材料的厚度方向逐漸增大，其上表面的電壓最大值為-3.792V。

(a) 位移云圖

(b) 電壓云圖

懸臂梁式PVDF能量發(fā)電裝置利用銅片增加了系統(tǒng)的剛度，同時(shí)也增加了風(fēng)作用面積，但并不是大的風(fēng)作用面積就一定能獲取高的輸出電能。下面將利用優(yōu)化算法對(duì)該發(fā)電裝置進(jìn)行優(yōu)化，以確定結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的最佳值。

2 懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 優(yōu)化方法

本文將采用序列二次規(guī)劃(以下簡(jiǎn)稱NLPQL)算法和自適應(yīng)模擬退火(以下簡(jiǎn)稱ASA)算法對(duì)風(fēng)能發(fā)電裝置進(jìn)行優(yōu)化，并將兩種方法得出的結(jié)果進(jìn)行比較，以確定設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)值。

(1)NLPQL算法

NLPQL算法是以二次連續(xù)規(guī)劃法為核心的一種算法，其使用二次泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)目標(biāo)函數(shù)并且線性化約束條件，這樣原非線性問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)求解二次規(guī)劃得到下一個(gè)迭代點(diǎn)。該方法的突出優(yōu)點(diǎn)是具有良好的全局收斂性和局部超一次收斂性，求解過(guò)程迭代次數(shù)少。

一般形式的非線性約束最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型[18]：

(2)

式中：x為自變量；F(x)為目標(biāo)函數(shù)；En為n維歐氏空間。當(dāng)j∈E時(shí)，gj(x)為等式約束；當(dāng)j∈I時(shí)，gj(x)為不等式約束，E為等式約束條件的下標(biāo)集合，I為不等式約束條件的下標(biāo)集合。

序列二次規(guī)劃法利用了一個(gè)類牛頓矩陣Bk作為拉格朗日函數(shù)L(x,u)的黑塞矩陣的逼近，于是得到一個(gè)二次序列規(guī)劃的子問(wèn)題[19]：

(3)

通過(guò)求解二次規(guī)劃子問(wèn)題，確定新的搜索方向dk，并沿dk進(jìn)行一維搜索確定最佳步長(zhǎng)αk，以獲得新的近似極小點(diǎn)。如此重復(fù)，以得到原問(wèn)題的最優(yōu)解。

(2)ASA算法

ASA算法具有優(yōu)良的全局求解能力和計(jì)算效率，適用于求解高度非線性優(yōu)化問(wèn)題。在ASA算法中，對(duì)于不同敏感度的參數(shù)采用不同的退火方式，其降溫方式如下[20]：

Ti(k)=Ti0exp(-cjk1/N)

(4)

式中:Ti0為初始溫度；cj為退火控制參數(shù)；k為溫度迭代次數(shù)；N為參數(shù)變量個(gè)數(shù)。

ASA通過(guò)對(duì)當(dāng)前參數(shù)進(jìn)行擾動(dòng)而獲得新變量，如下：

(5)

該算法由于隨機(jī)擾動(dòng)為柯西分布，當(dāng)高溫時(shí)，其在解空間內(nèi)進(jìn)行大范圍搜索；當(dāng)?shù)蜏貢r(shí)，其在當(dāng)前模型附近區(qū)域搜索。因此，算法搜索不易落入局部最優(yōu)解，而且提高了收斂的速度。

根據(jù)參數(shù)不同的敏感度，ASA算法通過(guò)周期性地改變退火時(shí)間來(lái)實(shí)現(xiàn)重退火。此外，其還進(jìn)行有條理的淬火來(lái)提高算法的自適應(yīng)性。

2.2 優(yōu)化目標(biāo)及流程

優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是在相同激勵(lì)條件下使懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置的輸出電壓最大化。PVDF壓電的尺寸固定不變，而銅片的尺寸對(duì)改變懸臂梁的剛度起決定性作用。因此，設(shè)定銅片的長(zhǎng)度L4、寬度W4和厚度H3為設(shè)計(jì)變量，其初值及取值范圍如表3所示，其余參數(shù)的取值如表1所示。

表3 設(shè)計(jì)變量初值及取值范圍

懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置優(yōu)化設(shè)計(jì)的流程圖如圖4所示。

圖4 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

優(yōu)化分析的迭代步驟如下：

1) 進(jìn)行設(shè)計(jì)變量參數(shù)的攝動(dòng)。

2) 將攝動(dòng)參數(shù)代入發(fā)電裝置參數(shù)化有限元模型，進(jìn)行有限元建模。

3) 設(shè)置邊界條件，進(jìn)行有限元靜力學(xué)分析。

4) 提取分析得到的壓電元件輸出電壓的最小值或最大值，以絕對(duì)值作為目標(biāo)函數(shù)。

5) 分析目標(biāo)函數(shù)，滿足收斂精度，則停止迭代；否則轉(zhuǎn)到下一步。

6) 利用NLPQL算法或ASA算法計(jì)算更新設(shè)計(jì)變量，返回到步驟(2)。

在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，程序執(zhí)行一系列的分析-評(píng)估-修正的循環(huán)過(guò)程，循環(huán)過(guò)程重復(fù)，直到滿足設(shè)計(jì)要求為止。

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

1) 采用NLPQL算法優(yōu)化

利用NLPQL算法對(duì)懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，得到輸出電壓隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖5所示。優(yōu)化迭代了9次后停止，優(yōu)化后的輸出電壓比優(yōu)化前的輸出電壓有了明顯的提升，優(yōu)化后的輸出電壓為15.80 V。設(shè)計(jì)變量隨迭代步數(shù)的變化曲線如圖6所示，計(jì)算得到L4×W4×H3的最佳尺寸為80 mm×20 mm×0.1 mm。

圖5 NLPQL算法輸出電壓隨迭代次數(shù)的變化曲線

圖6 NLPQL算法設(shè)計(jì)變量隨迭代次數(shù)的變化曲線

2)采用ASA算法優(yōu)化

利用ASA算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，得到了輸出電壓隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖7所示。從圖7可以看出，輸出電壓隨著迭代次數(shù)的增加而漸進(jìn)式地增加，一共優(yōu)化運(yùn)算了107次，優(yōu)化后的輸出電壓比優(yōu)化前的輸出電壓有了明顯的提升，最優(yōu)的輸出電壓值為15.26V。圖8為設(shè)計(jì)變量隨迭代次數(shù)的變化曲線。從圖8可以看出，L4在迭代過(guò)程中變動(dòng)不是很大，而W4在迭代過(guò)程中不時(shí)有較大的跳動(dòng)，H3在迭代過(guò)程中不時(shí)有較大的數(shù)值波動(dòng)，但隨著迭代次對(duì)比兩種優(yōu)化算法的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，NLPQL算法的計(jì)算結(jié)果更優(yōu)些。而且采用NLPQL算法計(jì)算9次后就收斂了，采用ASA算法需要計(jì)算107次才收斂?？梢?jiàn)，采用NLPQL算法來(lái)優(yōu)化懸臂梁式PVDF壓電發(fā)電裝置的計(jì)算效率更高、計(jì)算時(shí)間更少，而優(yōu)化效果更佳。

圖7 ASA算法輸出電壓隨迭代次數(shù)的變化曲線

圖8 ASA算法設(shè)計(jì)變量隨迭代次數(shù)的變化曲線

數(shù)的增加逐漸減小。計(jì)算獲得L4×W4×H3最佳尺寸為79.86 mm×19.67 mm×0.12 mm。

3 實(shí)驗(yàn)研究

根據(jù)優(yōu)化后的結(jié)果，制作了兩款懸臂式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置樣機(jī)，并將其置于微型風(fēng)洞中測(cè)試其輸出性能。實(shí)驗(yàn)裝置如圖9所示，利用TASI-8818數(shù)字風(fēng)速計(jì)測(cè)量風(fēng)速，利用TBS 1102型數(shù)字存儲(chǔ)示波器測(cè)量發(fā)電裝置的輸出電壓。

圖9 壓電風(fēng)能發(fā)電裝置實(shí)驗(yàn)裝置

3.1 發(fā)電裝置開(kāi)路輸出特性

測(cè)試了懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置優(yōu)化前、優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在不同風(fēng)速下的開(kāi)路輸出電壓，如圖10和圖11所示。當(dāng)風(fēng)速為6 m/s、10 m/s時(shí)，優(yōu)化后輸出開(kāi)路電壓明顯比優(yōu)化前的大。當(dāng)風(fēng)速為14 m/s時(shí)，優(yōu)化前輸出開(kāi)路電壓最大峰峰值和優(yōu)化后差別不是很明顯，但優(yōu)化后輸出電壓峰峰值維持較大的值，波動(dòng)小，更為平穩(wěn)。

(a) v=6 m/s (b) v=10 m/s (c) v=14 m/s

(a) v=6 m/s (b) v=10 m/s (c) v=14 m/s

為了更有效地比較優(yōu)化前、優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的風(fēng)能收集能力，測(cè)試出5 s時(shí)間的輸出電壓有效值(均方根)，并和單一PVDF壓電發(fā)電裝置一起比較，如圖12所示。當(dāng)風(fēng)速為6～14 m/s時(shí)，優(yōu)化后的輸出電壓有效值要明顯優(yōu)于優(yōu)化前結(jié)構(gòu)與單一PVDF結(jié)構(gòu)。特別地，當(dāng)風(fēng)速由10 m/s增加到14 m/s時(shí)，優(yōu)化前的發(fā)電裝置輸出的電壓有效值增加較小，而優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的輸出電壓有效值卻有較大的增長(zhǎng)。當(dāng)風(fēng)速為14 m/s時(shí)，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)輸出的電壓有效值約為18.6 V，而單一PVDF發(fā)電裝置與優(yōu)化前結(jié)構(gòu)發(fā)電裝置輸出的電壓有效值約為6 V，前者是后者的3倍左右。

圖12 發(fā)電裝置在不同風(fēng)速下輸出的開(kāi)路電壓

3.2 風(fēng)速為10m/s時(shí)不同負(fù)載電阻的輸出特性

測(cè)試了優(yōu)化前、優(yōu)化后的懸臂梁式風(fēng)能發(fā)電裝置在風(fēng)速為10 m/s時(shí)100～1 MΩ負(fù)載電阻下的輸出功率，如圖13和圖14所示。可以看出，優(yōu)化后的能量發(fā)電裝置輸出功率要優(yōu)于優(yōu)化前的結(jié)果。優(yōu)化前的能量發(fā)電裝置在負(fù)載電阻為1 MΩ時(shí)的輸出功率最大，為0.32 μW。優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在負(fù)載電阻為800 kΩ時(shí)達(dá)到最大功率為1.3 μW，優(yōu)化后的輸出功率提高了約3倍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)了懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性。

圖13 優(yōu)化前結(jié)構(gòu)在不同電阻下的輸出功率

圖14 優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在不同電阻下的輸出功率

4 結(jié) 語(yǔ)

恰當(dāng)?shù)膽冶哿簞偠仍O(shè)計(jì)能較好地提高懸臂梁式壓電能量發(fā)電裝置的輸出性能，本文建立了懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置參數(shù)化有限元模型，以風(fēng)能發(fā)電裝置輸出電壓最大化為目標(biāo)，分別利用序列二次規(guī)劃算法和自適應(yīng)模擬退火算法對(duì)發(fā)電裝置進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。計(jì)算結(jié)果表明，序列二次規(guī)劃算法的計(jì)算結(jié)果更優(yōu)，而且計(jì)算時(shí)間少、效率高，獲得了懸臂梁式PVDF壓電風(fēng)能發(fā)電裝置的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)。實(shí)驗(yàn)表明，優(yōu)化后的發(fā)電裝置輸出性能要高于優(yōu)化前結(jié)構(gòu)的輸出性能，優(yōu)化后的最大輸出功率較優(yōu)化前提高了3倍。