周天寵　修春

摘要：論文研究以開路、短路失效作為失效模式，并由相同（串聯(lián)）子系統(tǒng)串、并聯(lián)組成的三狀態(tài)系統(tǒng)模型。由定義得到系統(tǒng)可靠度的計算公式，給出優(yōu)化方法，并驗證優(yōu)化定理。舉例計算兩類系統(tǒng)模型的最優(yōu)部件數(shù)，可靠度。得出結(jié)論：三狀態(tài)系統(tǒng)部件組合，并聯(lián)不一定優(yōu)于串聯(lián)。且在最優(yōu)條件下，三狀態(tài)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度大于三狀態(tài)并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度。

Abstract： This paper studies a three-state system model with open circuit and short circuit failure as failure modes and composed of the same（series） subsystem series and parallel. The formula of system reliability is obtained from the definition， the optimization method is given， and the optimization theorem is verified. An example is used to calculate the optimal number of parts and reliability of the two system models. It is concluded that the combination of parts of a three-state system is not necessarily better in parallel than in series. Under optimal conditions， the reliability of a three-state tandem system is greater than that of a three-state parallel system.

關(guān)鍵詞：三狀態(tài);復(fù)雜系統(tǒng);可靠度

Key words： three-state;complex system;reliability

中圖分類號：O213.2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）05-0219-03

0? 引言

系統(tǒng)可靠性是檢驗產(chǎn)品質(zhì)量的重要屬性。在不考慮約束條件的前提下，如何優(yōu)化部件數(shù)量，成為系統(tǒng)可靠性設(shè)計過程中要考慮的重要問題。而在處理實際問題中，以往論文將系統(tǒng)看作二狀態(tài)，即只有正常和失效兩種狀態(tài)。周天寵，孟憲云等給出了三狀態(tài)系統(tǒng)（正常、開路失效、短路失效）可靠度優(yōu)化方法，應(yīng)用該方法得出優(yōu)化部件數(shù)目。本文將系統(tǒng)模型進(jìn)一步具體化，對相同串聯(lián)子系統(tǒng)分別串、并聯(lián)組合而成的兩類三狀態(tài)混合系統(tǒng)模型，分別定義開路失效、短路失效兩種失效模式，給出可靠度公式及優(yōu)化方法，并用實例驗證。

1? 兩類三狀態(tài)混合系統(tǒng)的可靠性分析

設(shè)n級相同子系統(tǒng)分別串聯(lián)、并聯(lián)組成為兩類三狀態(tài)系統(tǒng)模型，每級子系統(tǒng)由兩個不同元件串聯(lián)組成。兩類系統(tǒng)模型分別如圖1、圖2所示。設(shè)t=0時，各元件均為三種互斥狀態(tài)，即正常、開路失效、短路失效。

定義1 由n個子系統(tǒng)組成的串聯(lián)系統(tǒng)模型，若至少有一個子系統(tǒng)開路失效，則稱系統(tǒng)開路失效。若各子系統(tǒng)均短路失效，則稱系統(tǒng)模型短路失效。

定義2 由n個子系統(tǒng)組成的并聯(lián)系統(tǒng)模型，若各子系統(tǒng)均開路失效，則稱系統(tǒng)開路失效。若至少有一個子系統(tǒng)短路失效，則稱系統(tǒng)模型短路失效。

由定義1、2得圖1系統(tǒng)模型的開路失效概率

短路失效概率

則圖1系統(tǒng)模型的可靠度

式中F0i（t）為第i個元件t時刻開路失效的概率，F(xiàn)si（t）為第i個元件t時刻短路失效的概率（i=1，2）。

由定義1、2得圖2系統(tǒng)模型的開路失效概率

短路失效概率

則圖2系統(tǒng)模型的可靠度

2? 可靠度優(yōu)化方法

三狀態(tài)系統(tǒng)由于具有兩種失效模式，可靠度變化情況比較復(fù)雜。這里通過優(yōu)化子系統(tǒng)個數(shù)，使系統(tǒng)的可靠度達(dá)到最大。亦即求最優(yōu)的n，使式（1）、式（2）的可靠度Rn（t）達(dá)到最大。

定理1? 若令

則使得式（1）的可靠度Rn（t）達(dá)到最大的n是

其中[x]為實數(shù)x的整數(shù)函數(shù)。

證明? 設(shè)n為使得圖1系統(tǒng)模型可靠度Rn（t）達(dá)到最大值的子系統(tǒng)個數(shù)，由已知條件，使得式（1）的可靠度Rn（t）達(dá)到最大，于是：

用式（3）的記號表示n1，由式（5）、（6）得：若n1不是整數(shù)，則取n=[n1]+1，若n1是整數(shù)，則取n=n1或n1+1。因此使可靠度Rn（t）達(dá)到最大的n由式（4）給出，證畢。

實例1：由n級相同子系統(tǒng)組成的三狀態(tài)串聯(lián)系統(tǒng)，每級子系統(tǒng)由兩個不同元件串聯(lián)組成。設(shè)各級子系統(tǒng)中兩個串聯(lián)元件的開路失效率、短路失效率分別為：

根據(jù)定理1，由式（6）可知最優(yōu)解

對于二狀態(tài)系統(tǒng)，相同子系統(tǒng)串聯(lián)個數(shù)越少（即只有一個子系統(tǒng)）時可靠度越高，由本實例可知在三狀態(tài)系統(tǒng)中，與二狀態(tài)同樣，子系統(tǒng)串聯(lián)個數(shù)為1時可靠度最大。

則使得式（2）的Rn（t）達(dá)到最大的n是

其中[x]為實數(shù)x的整數(shù)函數(shù)。

證明? 設(shè)n為使得圖2系統(tǒng)模型可靠度Rn（t）達(dá)到最大值的子系統(tǒng)個數(shù)，由已知條件，使得式（2）的可靠度Rn（t）達(dá)到最大，于是：

兩邊取對數(shù)整理得

用式（7）的記號表示，由式（9）、（10）得：若n2不是整數(shù)，則取，若n2是整數(shù)，則取n=n2或n2+1。因此使Rn（t）達(dá)到最大的n由式（8）給出，證畢。

實例2：由n級相同子系統(tǒng)組成的三狀態(tài)并聯(lián)系統(tǒng)，每級子系統(tǒng)由兩個不同元件串聯(lián)組成。設(shè)各級子系統(tǒng)中兩個串聯(lián)元件的開路失效率、短路失效率分別為：F01=0.45，求最優(yōu)子系統(tǒng)個數(shù)及相應(yīng)的可靠度。

根據(jù)定理2，由式（10）可知最優(yōu)解

對于二狀態(tài)系統(tǒng)，相同子系統(tǒng)并聯(lián)個數(shù)越多時可靠度越高，而由本實例可知在三狀態(tài)系統(tǒng)中，子系統(tǒng)并聯(lián)個數(shù)為3時可靠度最大：。

3? 小結(jié)

根據(jù)實例1、實例2得知，相同子系統(tǒng)分別按照串、并聯(lián)的組成方式，得到的最優(yōu)子系統(tǒng)優(yōu)化數(shù)目是不同的。通過實例比較得由三狀態(tài)元件組成的系統(tǒng)中子系統(tǒng)并聯(lián)個數(shù)多于串聯(lián)個數(shù)，且在最優(yōu)條件下，三狀態(tài)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度大于三狀態(tài)并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].北京：科學(xué)出版社， 1986.

[2]齊蓉，謝利理，李玉忍，林輝.三狀態(tài)飛機(jī)電源系統(tǒng)的可靠性冗余設(shè)計及優(yōu)化[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013：21-24.

[3]周天寵，修春，孟憲云.三狀態(tài)并-串聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)化分配方法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2011：98-103.

[4]周天寵，孟憲云，王守柱，李媛媛.兩類三狀態(tài)系統(tǒng)可靠度優(yōu)化方法[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2009：758-761.

[5]張民悅，陳艷麗.不同類型三部件串并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2011：127-130.

[6]吳志良，姚玉斌，王丹.船舶電器多狀態(tài)并聯(lián)冗余系統(tǒng)可靠性分析與優(yōu)化[J].船舶工程，2016：219-222.

[7]修春，周天寵.三狀態(tài)串、并聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)化分配方法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2014：157-160.

[8]修春，董立偉，周天寵，孟憲云.多約束條件下三狀態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化分配[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2017：283-287.