尹 可，馬建敏

(復(fù)旦大學(xué)航空航天系，上海200433)

0 引 言

聲學(xué)隱身是在電磁隱身的基礎(chǔ)上提出的新概念。21 世紀(jì)初，Pendry J B 等[1]和Leonhardt U[2]基于變換電磁波理論和電磁超材料技術(shù)提出了電磁波隱身理論。Cummer S A 等[3]基于聲波方程和麥克斯韋(Maxwell)方程的形式相似性，將變換理論和超材料技術(shù)應(yīng)用于二維聲場(chǎng)，開啟了對(duì)聲隱身的探索。隨后，Chen H Y 等[4]將聲學(xué)隱身擴(kuò)展到三維空間，擴(kuò)大了聲學(xué)隱身的應(yīng)用范圍。聲學(xué)隱身技術(shù)可以通過控制聲波繞射來減弱聲波的散射，引起了人們廣泛的關(guān)注和極大的興趣，大量學(xué)者圍繞隱身層的隱身機(jī)理和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等方面展開了研究，已經(jīng)取得有價(jià)值的成果，開辟了許多新的研究方向和領(lǐng)域[5-11]。

由變換聲學(xué)理論計(jì)算得到的理想聲學(xué)隱身層的物性參數(shù)(密度和體彈性模量)是各向異性、連續(xù)變化和奇異的，在工程上很難實(shí)現(xiàn)。Huang Y 等[12]提出利用由兩種不同的均勻各向同性材料交替分布組成的多層隱身層，利用有效介質(zhì)近似理論等效出物性參數(shù)是各向異性和連續(xù)性分布的理想電磁隱身層材料，實(shí)現(xiàn)電磁波隱身。Daniel T 等[13]首次將介質(zhì)層多層結(jié)構(gòu)應(yīng)用到聲隱身領(lǐng)域，等效出密度各向異性的聲學(xué)隱身層，實(shí)現(xiàn)了聲隱身。為在設(shè)計(jì)和應(yīng)用中簡(jiǎn)化聲學(xué)隱身層的結(jié)構(gòu)和降低隱身層制備成本，有必要研究隱身層結(jié)構(gòu)對(duì)隱身層性能的影響。近年來，對(duì)不同隱身層結(jié)構(gòu)的聲學(xué)隱身性能的研究，已經(jīng)取得了一系列有價(jià)值的成果。Daniel T等[14]研究了介質(zhì)層的不同層厚比對(duì)介質(zhì)層的材料物性參數(shù)的影響。Wei Q 等[15]研究了隱身層結(jié)構(gòu)和聲波頻率對(duì)聲學(xué)隱身性能和雙工通信能力的影響。Jo C 等[16]在考慮了聲速和阻抗匹配的情況下，研究了非完美隱身層結(jié)構(gòu)的改變對(duì)聲學(xué)隱身性能的影響。Zhang X D 等[17]研究了五模超材料的隱身層性能與層數(shù)和層厚的關(guān)系。Dutrion C 等[18]嘗試應(yīng)用雙層彈性材料圓柱殼，通過降低散射的方法來實(shí)現(xiàn)聲隱身。

本文首先基于變換聲學(xué)和等效介質(zhì)理論計(jì)算出聲學(xué)隱身層的各層介質(zhì)層的密度和聲速，然后利用COMSOL 軟件仿真了不同聲學(xué)隱身層結(jié)構(gòu)的散射聲場(chǎng)，最后通過計(jì)算不同聲學(xué)隱身層結(jié)構(gòu)的散射截面來定量評(píng)估聲學(xué)隱身層的隱身性能，并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 隱身層材料密度及聲速的計(jì)算

變換聲學(xué)理論是通過不同空間之間的坐標(biāo)變換關(guān)系，求出不同空間之間的物性參數(shù)變換關(guān)系，從而根據(jù)隱身物體的外形來設(shè)計(jì)聲學(xué)隱身層[19-20]。如果要將一個(gè)半徑為a 的剛性球通過內(nèi)外半徑分別為a 和b 的隱身層覆蓋，并實(shí)現(xiàn)剛性球?qū)β暡ǖ碾[身，需要做如圖1 所示的坐標(biāo)變換，得到坐標(biāo)變換關(guān)系r ′= f (r )。圖中的f 變換表示將左圖半徑為b的圓形區(qū)域映射壓縮到右圖內(nèi)、外半徑分別為a 和b 的環(huán)形區(qū)域，隱身層分布區(qū)域即為此環(huán)形區(qū)域。左圖為虛擬空間，坐標(biāo)描述為( r ,θ )，右圖為物質(zhì)空間，坐標(biāo)描述為(r' ,θ')。

圖1 坐標(biāo)變換從O 到O'Fig.1 Transformation of coordinates from O to O'

兩個(gè)區(qū)域都取極坐標(biāo)系，它們之間的坐標(biāo)變換f 可以描述為

原虛擬空間中極坐標(biāo)系下的聲學(xué)方程為

空間映射后物理空間中極坐標(biāo)系下的聲學(xué)方程為

從上面的式(1)、(2)和(3)，可以得到物理空間和虛擬空間之間密度和體彈性模量的變換關(guān)系，如式(4)、(5)所示：

其中：hr,hθ和 hr', hθ'是坐標(biāo)系的比例因子。極坐標(biāo)系是正交坐標(biāo)系，所以比例因子是hr=1 ，hθ= r = f (r')，且 hr' =1 , hθ'=r′。

將比例因子代入式(6)，可得：

將式(7)代入式(4)和式(5)，得到：

式(8)和(9)是矩陣形式的隱身層物性參數(shù)表達(dá)式，其標(biāo)量形式的表達(dá)式如式(10)～(12)所示：

式(10)～(12)描述的聲學(xué)隱身層物性參數(shù)(包括密度和體彈性模量)是非均勻、連續(xù)變化和各向異性的，在工程上很難實(shí)現(xiàn)，可通過多層結(jié)構(gòu)等效得到，其等效物性參數(shù)可以利用等效介質(zhì)理論近似計(jì)算得到[14]。隱身層由多層構(gòu)成，其中每一層隱身層由兩層不同材料參數(shù)的各向同性介質(zhì)層組成。通過等效介質(zhì)理論計(jì)算，多層的各向同性介質(zhì)層可以等效出方向?yàn)閞'和θ '的隱身層的有效密度ρr'和ρθ'，有效體彈性模量κ'。等效介質(zhì)層組合示意圖如圖2 所示。

圖2 等效介質(zhì)層組合示意圖Fig.2 The schematic diagram of equivalent medium layer combination

圖2(a)描述了每一層隱身層由一層介質(zhì)層A 和一層介質(zhì)層B 組合而成。圖2(b)描述了剛性球上覆蓋的隱身層由多層介質(zhì)層組成。第i 層隱身層中介質(zhì)層A (i )和介質(zhì)層 B (i )的密度和體彈性模量是ρA(i), ρB(i)和 κA(i),κB(i)。由介質(zhì)層A 和B 組合而成的隱身層的有效密度和體彈性模量可以通過式(13)～(15)計(jì)算：

式中：η(i)=dA(i)/dB(i)，dA(i)和dB(i)分別是介質(zhì)層A (i)和介質(zhì)層 B (i)的厚度。

本文中取η(i)為常數(shù)，即η(i)=1，表示介質(zhì)層A 和介質(zhì)層B 的厚度相等。聯(lián)立式(10)～(15)進(jìn)行求解，可求得如式(16)～(18)所描述的每層隱身層的有效密度和體彈性模量：

進(jìn)而可以求得介質(zhì)層中的聲速：

式(16)～(19)中：ρA(i)和ρB(i)分別是第i 層介質(zhì)的第A 層和第B 層的密度；cA(i)和cB(i)分別是第i 層介質(zhì)的第A 層和第B 層的聲速；ρ0是隱身層的外部介質(zhì)密度；c0是隱身層的外部介質(zhì)中聲波傳播的速度。rA(i)和rB(i)分別是第i 層介質(zhì)的第A 層和第B 層半徑，rA(i)、rB(i)取值范圍是 a ≤rA(i),rB(i)≤b ，其中a為隱身層內(nèi)徑，b 為隱身層外徑；κA(i)、κB(i)是隱身層的第i 層的第A 層和第B 層的體彈性模量。式(16)～(20)可以精確求得不同隱身層設(shè)計(jì)的每層介質(zhì)層的有效密度、體彈性模量和聲速。

2 計(jì)算分析模型和計(jì)算結(jié)果

2.1 計(jì)算分析模型

利用有限元軟件COMSOL 對(duì)不同的聲學(xué)隱身層結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析，研究隱聲層的結(jié)構(gòu)對(duì)聲學(xué)隱身性能的影響。建立的COMSOL 計(jì)算分析模型如圖3 所示，模型中障礙物是半徑為a 的無限長(zhǎng)圓柱，聲學(xué)隱身層內(nèi)外半徑分別為a 和b。聲學(xué)隱身層覆蓋在無限長(zhǎng)圓柱表面，由多層介質(zhì)層構(gòu)成。介質(zhì)層的密度和聲速通過式(16)，(17)和(20)計(jì)算得到。示意圖中半徑為c 的圓環(huán)為設(shè)定的遠(yuǎn)場(chǎng)邊界，半徑為d 的圓環(huán)為計(jì)算區(qū)域邊界。遠(yuǎn)場(chǎng)邊界與計(jì)算區(qū)域邊界之間的圓環(huán)區(qū)域?yàn)橥昝榔ヅ鋵印?/p>

圖3 計(jì)算模型示意圖Fig.3 The schematic diagram of calculation model

計(jì)算分析模型中入射聲波是平面簡(jiǎn)諧波，入射方向?yàn)閺淖笙蛴?。各個(gè)模型的入射波頻率范圍通過計(jì)算各個(gè)模型的kb 參數(shù)獲得，參數(shù)取值范圍是從kb=0.5 到kb=10(k 為波數(shù)，b 為聲隱身層的外半徑)，間隔取為0.5。在kb=0.5 到kb=10 的取值范圍內(nèi)，聲學(xué)隱身層是有效的[21]。

分析模型中聲學(xué)隱身層的周圍介質(zhì)是空氣，密度ρ0是1.25 kg·m-3，空氣中的聲速c0是343 m·s-1，計(jì)算網(wǎng)格大小是0.000 1λ0(λ0是空氣中聲波的波長(zhǎng))。本文中隱身層覆蓋的障礙物為半徑為a=1 m，隱身層半徑b 在不同的算例中取不同的數(shù)值，遠(yuǎn)場(chǎng)邊界半徑在圖3 中取為c=2.5 m，在計(jì)算中設(shè)定為40 m，計(jì)算區(qū)域邊界的半徑在圖3 中取為d=3 m。

對(duì)聲散射的減縮效應(yīng)進(jìn)行定量分析的指標(biāo)很多，包括散射截面、散射形函數(shù)和平均可視度[22]。本文中，用散射截面來定量評(píng)估隱身層的隱身性能。

無限長(zhǎng)圓柱的散射截面定義為

其中， pi是入射聲壓， ps是散射聲壓。

2.2 計(jì)算結(jié)果

基于第1 節(jié)中的計(jì)算公式和分析模型，研究隱身層結(jié)構(gòu)的總厚度、層厚和層厚分布等因素對(duì)隱身性能的影響。計(jì)算分析模型包括以下幾種聲學(xué)隱身層結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案：(1) 不同隱身層總厚度、相同層厚；(2) 相同隱身層總厚度、不同層厚；(3) 相同隱身層總厚度和相同層數(shù)而不同層厚分布。在每種方案中，分析模型參數(shù)值如表1、2 和3 所示。隱身層各介質(zhì)層的密度和聲速通過式(16)、(17)和(20)求得。把求得的密度和聲速輸入COMSOL 軟件，計(jì)算不同聲學(xué)隱身層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案中的聲場(chǎng)分布。利用計(jì)算得到的聲場(chǎng)分布，通過散射截面的計(jì)算公式，計(jì)算每個(gè)聲學(xué)隱身層結(jié)構(gòu)周圍聲場(chǎng)的散射截面，并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。散射截面對(duì)比圖中的橫坐標(biāo)為參數(shù)kb。

2.2.1 總厚度對(duì)聲學(xué)隱身層性能的影響

材料成本、制備難度或空間限制會(huì)影響隱身層的設(shè)計(jì)參數(shù)，是在隱身層應(yīng)用中需要考慮的重要因素。下面對(duì)無限長(zhǎng)圓柱覆蓋4種不同厚度隱身層的聲場(chǎng)分布進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)隱身層的散射截面進(jìn)行對(duì)比分析。計(jì)算分析模型的參數(shù)如表1 所示。

表1 不同總厚度隱身層的參數(shù)Table 1 Parameters of cloaking cover with different total thickness

圖4 不同總厚度的隱身層的總聲壓場(chǎng)(kb=10)Fig.4 Total sound pressure fields of different total cloaking covering thicknesses (kb=10)

圖4 為kb=10，b 從0.25～1.0 m 變化時(shí)的聲場(chǎng)聲壓分布，b 從0.25 m 變化至1.0 m，相應(yīng)的聲波頻率從440 Hz 變化至280 Hz。

圖5 顯示了4 種不同總厚度的隱身層的散射截面的對(duì)比結(jié)果。

圖5 不同總厚度的隱身層的散射截面對(duì)比Fig.5 Comparison between average visibilities of different total cloaking covering thicknesses

由圖5 可知，1 m 厚度的隱身層的散射截面最??；0.75 m 和0.5 m 厚度隱身層的散射截面次之；0.25 m 厚度隱身層的散射截面最大。說明對(duì)于不同厚度的隱身層，厚度越大對(duì)聲場(chǎng)的散射程度越弱，隱身性能越好，厚度越小對(duì)聲場(chǎng)的散射程度越強(qiáng)，隱身性能越差。

2.2.2 層厚對(duì)聲學(xué)隱身層性能的影響

為了在相同隱身層厚度條件下獲得更好的聲學(xué)隱身性能，需要研究在隱身層的總厚度不變情況下，改變各層厚度和層數(shù)對(duì)隱身層性能的影響。下面對(duì)5 種具有相同厚度、層厚均勻但不同層數(shù)的隱身層的聲場(chǎng)聲壓分布進(jìn)行計(jì)算分析。計(jì)算分析模型的參數(shù)取值如表2 所示。

表2 相同總厚度而不同層厚隱身層的參數(shù)Table 2 Parameters of cloaking cover with the same total thickness and different layer thicknesses

圖6 為kb=10，b 保持0.5 m 不變，層數(shù)由20變化至80 時(shí)的聲場(chǎng)聲壓分布。

圖7 顯示了相同總厚度情況下，5 種不同層厚和層數(shù)的隱身層的散射截面及對(duì)比。

由圖7 可知，分層數(shù)為80 層的隱身層的散射截面最小，散射截面隨層數(shù)減小逐漸變大，20 層介質(zhì)層的隱身層的散射截面最大。說明對(duì)于總厚度確定、層數(shù)不同而層厚均勻的隱身層，層數(shù)越多對(duì)聲場(chǎng)的散射程度越弱，隱身性能越好，層數(shù)越少對(duì)聲場(chǎng)的散射程度越強(qiáng)，隱身性能越差。

圖6 相同總厚度不同層厚的隱身層的總聲壓場(chǎng)(kb=10)Fig.6 Total sound pressure fields of the same total cloaking covering thickness and different layer thicknesses (kb=10)

圖7 相同總厚度而不同層厚的隱身層的散射截面對(duì)比Fig.7 Comparison bwtween average visibilities of the same total cloaking covering thickness but different layer thicknesses

2.2.3 層厚分布對(duì)聲學(xué)隱身層性能的影響

增加隱身層的厚度意味著增加聲學(xué)超材料的使用量，增大隱身層的分層數(shù)目意味著增大隱身層的制備復(fù)雜度。對(duì)于確定的隱身層厚度和層數(shù)的隱身層，研究如何在不增加聲學(xué)超材料使用量和不增加制備復(fù)雜度的情況下，使隱身層具有更優(yōu)良的隱身性能，在隱身層實(shí)際應(yīng)用中具有重要的意義。下面對(duì)3 個(gè)具有相同總厚度和層數(shù)但不同層厚分布的隱身層的聲場(chǎng)分布進(jìn)行計(jì)算分析。

計(jì)算分析模型的參數(shù)如表3 所示。

表3 相同總厚度和層數(shù)而不同層厚分布隱身層的參數(shù)Table 3 Parameters of cloaking cover with the same total thickness and layer number but different arrangements of layer thickness

圖8 為kb=10、b=0.5 m、層數(shù)=20、不同層厚分布時(shí)的聲場(chǎng)聲壓分布。

圖9 顯示了相同總厚度和層數(shù)情況下，3 種不同層厚分布的隱身層的散射截面及對(duì)比。

由圖9 可知，相同總厚度和層數(shù)的情況下，外部層厚較薄而內(nèi)部層厚較厚的隱身層散射截面最小，均勻?qū)雍穹植嫉碾[身層散射截面次之，外部層厚較厚而內(nèi)部層厚較薄的隱身層散射截面最大。說明對(duì)于總厚度和層數(shù)都確定的隱身層，層厚分布外部越薄的隱身層，隱身性能越好，層厚分布外部越厚的隱身層，隱身性能越差。

圖8 相同總厚度和層數(shù)，不同層厚分布的隱身層的總聲壓場(chǎng)(kb=10)Fig.8 The total sound pressure fields of the same total thickness and layer number but different arrangements of layer thickness (kb=10)

圖9 相同總厚度和層數(shù)而不同層厚分布的隱身層的散射截面對(duì)比Fig.9 Comparison between average visibilities of the same total thickness and layer number but different arrangements of layer thickness

3 結(jié) 論

本文根據(jù)變換聲學(xué)和等效介質(zhì)理論，計(jì)算出隱身層各介質(zhì)層的密度和聲速，然后利用得到的密度和聲速計(jì)算了不同隱身層結(jié)構(gòu)的外部聲場(chǎng)分布和散射截面。從計(jì)算結(jié)果可以得出以下主要結(jié)論：

(1) 隱身層的總厚度越大，隱身性能越好，總厚度越小，隱身性能越差。通過增大總厚度，可以提高隱身層的隱身性能。

(2) 總厚度確定而層數(shù)不同的隱身層，層數(shù)越多隱身性能越好，層數(shù)越少隱身性能越差。這是由于隨著層數(shù)的增多，隱身層性能趨近于具有連續(xù)物性參數(shù)分布的理想隱身層性能。當(dāng)隱身層厚度確定后，可以通過增加層數(shù)來增加隱身層隱身性能。

(3) 總厚度和層數(shù)都確定的隱身層，層厚分布外部越薄，隱身性能越好，層厚分布外部越厚，隱身性能越差，外層層厚對(duì)隱身性能影響更大。當(dāng)隱身層厚度和層數(shù)一定時(shí)，在不增大聲學(xué)材料用量和增加制備難度的情況下，可以通過降低隱身層的外部介質(zhì)層厚度來提高隱身層的隱身性能。