王 業(yè)， 曾 京， 楊潤芝， 韓辰辰， 黃 立

(西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室， 成都 610000)

針對機械系統(tǒng)非線性振動的定量分析，國內(nèi)外學(xué)者均展開過大量的研究，但是針對于軌道車輛系統(tǒng)非線性振動的定量分析，目前仍然處于初始階段，研究較少。由于懸掛元件的強非線性特性，會使系統(tǒng)產(chǎn)生次諧波共振、內(nèi)共振、分岔等現(xiàn)象，同時也使得依賴小參數(shù)的傳統(tǒng)解析法，如小參數(shù)法、多尺度法、漸進法等不再適用，可以適用于強非線性系統(tǒng)的諧波平衡法，在求解多自由度問題時，公式推導(dǎo)異常繁瑣，對于某些形式的方程很難得出結(jié)果，采用數(shù)值方法雖然可以得到比較精確的特性曲線，但是數(shù)值方法其參數(shù)的物理意義并不明確。劉世齡、張佑啟等將增量法與諧波平衡法相結(jié)合，針對強非線性系統(tǒng)提出了增量諧波平衡法[1]，同濟大學(xué)的盛云,吳光強[2]曾采用該方法對汽車空氣懸架的二自由度非線性振動進行了分析，該方法是一種半數(shù)值、半解析的方法，既具有數(shù)值方法的精確性的優(yōu)點，也具有解析法具有直觀的表達式的優(yōu)點，其各參數(shù)物理意義明確，有效地解決了強非線性系統(tǒng)振動分析的問題。

1 空氣彈簧剛度特性分析

動車組二系懸掛多為空氣彈簧，理想的空氣彈簧特性曲線如圖1所示，在載荷較小的時候，剛度較小，隨著載荷的增大，剛度逐漸增大，呈現(xiàn)出剛度漸硬的特性，使得空車和重車時車輛的固有頻率基本不變[3]。

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，空氣彈簧壓力與容積的關(guān)系為[4]

(pi+pa)Vn=Const

(1)

其中pi為空氣彈簧內(nèi)壓；pa為空氣彈簧外壓；V為空氣彈簧體積；n為多變指數(shù)。

圖1 空氣彈簧理想特性曲線

空氣彈簧垂向承載力F為式(2)

F=piAe

(2)

式(2)中Ae為空氣彈簧的有效承載面積，是空氣彈簧變形量的線性函數(shù)[5]，設(shè)Ae=Ae0+kax，帶入式(2)，并對其進行求導(dǎo)，可以得出其剛度K式(3)

(3)

從式(3)可以看出，空氣彈簧的剛度為其位移的二次多項式，故采用三次多項式來描述其恢復(fù)力的非線性特性，設(shè)其恢復(fù)力為式(4)

Ff=k2x+kf2x2+kf3x3

(4)

采用試驗數(shù)據(jù)對其剛度進行擬合，試驗用空氣彈簧型號為sys510e型[6]，試驗載荷為空車載荷95 kN，加載幅值為30 mm。

圖2 空氣彈簧剛度特性曲線

擬合結(jié)果為式(5)

Ff=188.7x+0.55x2+0.007x3

(5)

2 1/4車體1/2構(gòu)架二自由度系統(tǒng)的非線性振動特性

2.1 建立車輛二自由度振動模型

圖3 車輛二自由度振動模型

參照文獻[7-8]中的做法，建立1/4車輛的二自由度振動模型，其振動微分方程組為

(6)

式中m1，m2為1/2構(gòu)架質(zhì)量與1/4車體質(zhì)量；k1，k2為一系、二系懸掛的垂向線性剛度；kf2與kf3分別為二系懸掛的二次、三次垂向非線性剛度；c1，c2為一系、二系懸掛垂向阻尼；x0為基礎(chǔ)激勵。

令x1-x0=x，x2-x1=y，并代入式(6)，并化簡，可得

(7)

2.2 增量諧波平衡法(IHB法)

設(shè)激振x0=psin(ωt)，代入式(7)，并將其寫成矩陣形式

(8)

令

則式(8)變?yōu)?/p>

(9)

設(shè)τ=ωt。并帶入式(9)中，則式(9)可以寫為

(10)

(11)

將式(11)帶入式(10)中，并且略去高階小量，可以得到以ΔX，ΔF以及Δω0為未知量的方程

(12)

(13)

IHB法的第2步為諧波平衡過程

因方程同時具有二次、三次非線性，故取三次諧波項，其穩(wěn)態(tài)周期解可假設(shè)為

(14)

(15)

其中

Cs=[sin(τ)，cos(τ)，sin(2τ)，cos(2τ)，sin(3τ)，cos(3τ)]

Ai=[ai1，bi1，ai2，bi2，ai3，bi3]Ti=1，2

ΔAi=[Δai1，Δbi1，Δai2，Δbi2，Δai3，Δbi3]Ti=1，2

令

則

X0=SA，ΔX=SΔA

(16)

將式(16)帶入增量式(12)中，并應(yīng)用Galerkin平均過程

(17)

整理得

KmcΔA=R+RmKcΔω+RfΔF

(18)

(19)

(20)

Rmc=-(2ω0M+C-2ω0F)A

(21)

(22)

其中

若取固定振幅與激勵頻率，則ΔF與Δω為0，式(18)變?yōu)?/p>

KmcΔA=R

(23)

計算過程為：

①指定ω0，與A的初始值，通過式(23)可求得ΔA；

②以A+ΔA代替原來的A進行迭代，直到R足夠小，此時可求出在ω0時對應(yīng)的振幅A；

③給定一個新的ω0，A為上一次的計算結(jié)果，繼續(xù)進行迭代直到R足夠??；

④重復(fù)步驟3，直到得到所需頻域內(nèi)全部幅頻曲線。

上述計算過程為頻率增量/減量法，也可以取振幅、弧長[11]為增量，或者頻率、振幅增量交替使用，文中采用弧長增量法進行計算。

2.3 主共振

取參數(shù)如表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

2.3.1與線性模型的對比

取激勵振幅為5 mm，其余參數(shù)參考表1，采用增量諧波平衡法進行計算非線性模型的幅頻曲線、計算忽略非線性項后計算線性模型的幅頻曲線，得出下面4幅圖圖4～圖7。觀察可得，與線性模型對比，非線性模型在車體固有頻率處的振幅略大，且幅頻曲線峰值向右移動。

圖4 線性與非線性模型車體的幅頻曲線對比

圖5 車體振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

圖6 構(gòu)架振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

圖7 構(gòu)架振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

2.3.2三次非線性剛度大小對主共振的影響

為了對分析三次非線性剛度的大小對幅頻曲線的影響，分別取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ，激勵振幅為5 mm，三次非線性剛度kf3=0.007 N/mm3,kf3=0.07 N/mm3,kf3=0.7 N/mm3,kf3=1.4 N/mm3，其余參數(shù)按照表1中設(shè)置，進行計算，得出圖8～圖11。從圖8中可以看出，在車體固有頻率附近，隨著三次非線性剛度的增大，主共振峰值逐漸增大并且向右移動、曲線骨架發(fā)生彎曲，并且車體與構(gòu)架具有相同的規(guī)律。圖9為圖8中當(dāng)kf3=1.4 N/mm3時曲線的局部放大圖，A、B點之間的虛線為不穩(wěn)定區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)振幅具有三個解，一個為不穩(wěn)定解，兩個為漸進穩(wěn)定解，從而產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，數(shù)值方法是很難追蹤出臨界穩(wěn)定解的曲線的。從圖11中可以看出，在構(gòu)架固有頻率附近，隨著三次非線性剛度的增大，車體振幅略微減小，主共振峰值略向右移動，但影響不大，因為此模型中一系懸掛不具有非線性特性，故不再討論構(gòu)架固有頻率附近的主共振。

圖8 非線性剛度對車體主共振的影響(在車體固有頻率附近)

圖9 kf3=1.4 N/mm3時主共振幅頻曲線

圖10 非線性剛度對構(gòu)架主共振的影響(在車體固有頻率附近)

2.3.3二系阻尼大小對主共振的影響

分別取二系阻尼C2=10 N·s/mm，C2=20 N·s/mm，C2=30 N·s/mm，三次非線性剛度kf3=1.4 N/mm3計算，得出圖13～圖14，從這兩幅圖可以看出，在車體固有頻率附近，隨著阻尼的減小，主共振峰值逐漸右移、峰值逐漸增大，骨架彎曲現(xiàn)象更加明顯，并且產(chǎn)生了不穩(wěn)定區(qū)域即分岔現(xiàn)象，在C2=30 N·s/mm時沒有此類現(xiàn)象發(fā)生，由此可見，大阻尼可有效阻止此類現(xiàn)象的產(chǎn)生。

圖11 非線性剛度對車體主共振的影響(在構(gòu)架固有頻率附近)

圖12 非線性剛度對空簧剛度特性曲線的影響

圖13 阻尼對車體主共振的影響

2.3.4激勵振幅大小對主共振的影響

分別取激振振幅p=1 mm，p=5 mm，p=10 mm，進行計算，得出圖15～圖16。

圖14 阻尼對構(gòu)架主共振的影響

圖15 激勵振幅對車體主共振的影響

圖16 激勵振幅對構(gòu)架主共振的影響

從圖15～圖16中可以看出，隨著激勵幅值的增大，共振曲線骨架線逐漸向右傾斜，共振幅值逐漸增大，并且在激勵幅值為10 mm時產(chǎn)生了跳躍現(xiàn)象。

2.3.5數(shù)值方法驗證

任意取2.3.2節(jié)圖8中曲線kf3=1.4中頻率為4 rad/s與5.05 rad/s兩個頻率進行驗證，數(shù)值方法采用4階龍格庫塔法。觀察圖17與圖18中的穩(wěn)態(tài)振動可以發(fā)現(xiàn)，IHB法精度較高，與數(shù)值方法吻合程度很好。

圖17 數(shù)值法驗證(4 rad/s，圖中紅線為IHB方法)

圖18 數(shù)值法驗證(5.05 rad/s，圖中紅線為IHB方法)

3 超諧共振

3.1 二次超諧共振

取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ，若取系統(tǒng)參數(shù)為表1中的值，激勵振幅為10 mm，觀察系統(tǒng)固有頻率1/2處車體的二次諧波項與基諧波項的幅值，可以發(fā)現(xiàn)此時二次諧波項的幅值為0.000 8 m，產(chǎn)生了微弱的共振，但共振幅值遠遠小于基諧波項的幅值0.001 6 m，即在正常情況下，此系統(tǒng)的二次超諧共振幅值很小。

若想要觀察到比較明顯的2次超諧共振現(xiàn)象，可借鑒文獻[5]的研究成果，文中筆者采用多尺度法對具有二次、三次非線性剛度二自由度汽車振動模型進行了研究，結(jié)果表明此類非線性系統(tǒng)的二次超諧共振主要受到二次非線性剛度與阻尼大小的影響，二次非線性剛度越大、阻尼越小則越容易產(chǎn)生二次超諧共振。此處取激振振幅f=10 mm，2次阻尼C2=4 N·s/mm，二次非線性剛度kf2=5.5 N/mm2進行數(shù)值進行計算，得到如圖20～圖22(此取值不具有實際工程意義，為方便觀察此類系統(tǒng)的非線性振動現(xiàn)象與IHB法優(yōu)勢的研究)，觀察1/2倍車體固有頻率附近的幅頻曲線。圖21～圖22中可以看出，在該頻率附近車體和構(gòu)架也出現(xiàn)了共振峰，產(chǎn)生了二次超諧共振。圖22為各階次諧波的貢獻成分，可以看出產(chǎn)生二次超諧共振的主要原因是2τ項被激發(fā)，結(jié)果與文獻[5]中推論相同。

圖19 車體二次諧波項

圖20 車體二次超諧共振幅頻曲線

圖21 構(gòu)架二次超諧共振幅頻曲線

圖22 車體二次超諧共振諧波分布圖

3.2 三次超諧共振

與二次超諧共振相似，若取表1中的系統(tǒng)參數(shù)，并且取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ，在激勵頻率為系統(tǒng)固有頻率1/3處三次諧波項雖然會產(chǎn)生共振，但其幅值也同樣遠小于基諧波幅值，文獻[5]中同樣指出非線性系統(tǒng)的三次超諧共振主要受到三次非線性剛度與阻尼大小的影響，三次非線性剛度越大、阻尼越小則越容易產(chǎn)生三次超諧共振。若希望觀察到比較明顯的3次超諧共振現(xiàn)象，同樣可以取激振振幅f=10 mm，二次阻尼C2=4 N·s/mm，三次非線性剛度kf3=7.25 N/mm3關(guān)數(shù)值進行計算，得到如圖23～圖25(此取值不具有實際工程意義，為方便觀察此類系統(tǒng)的非線性振動現(xiàn)象與IHB法優(yōu)點的研究)，觀察1/3倍車體固有頻率附近的幅頻曲線。從圖23～圖24中可以看出，在車體1/3倍固有頻率附近車體和構(gòu)架也出現(xiàn)了共振峰，產(chǎn)生了三次超諧共振。圖25為各階次諧波的貢獻成分，可以看出產(chǎn)生三次超諧共振的主要原因是3τ項被激發(fā)，結(jié)果與文獻[5]中推論相同。

圖23 車體三次超諧共振幅頻曲線

圖24 構(gòu)架三次超諧共振幅頻曲線

圖25 車體三次超諧共振諧波分布圖

3.3 數(shù)值方法驗證

取圖20曲線中頻率為2.1 rad/s，圖23曲線中頻率為1.46 rad/s的點進行驗證。從圖26～圖27可以看出，進入穩(wěn)態(tài)振動后數(shù)值方法與IHB法契合度很好。

圖26 車體二次超諧共振數(shù)值驗證(2.1 rad/s)

圖27 車體三次超諧共振數(shù)值驗證(1.46 rad/s)

4 結(jié) 論

建立了二系懸掛同時具有二次、三次非線性剛度的二自由度車輛垂向振動模型。

采用增量諧波平衡法分析了系統(tǒng)的主共振，以及非線性剛度、激振振幅、二系垂向阻尼等系統(tǒng)參數(shù)對于車輛主共振的影響，并采用數(shù)值方法驗證了結(jié)論的準確性。分析表明三次非線性剛度越大、激振振幅越大、二系垂向阻尼越小，則其幅頻曲線非線性程度越明顯，越容易產(chǎn)生分岔現(xiàn)象，并且IHB方法可以輕易追蹤出系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定解的曲線，這是數(shù)值方法不具有的優(yōu)勢。

采用增量諧波平衡法分析了系統(tǒng)的超諧共振現(xiàn)象，并得出系統(tǒng)超諧共振諧波幅值很小，不具有太大的研究價值。但通過對系統(tǒng)超諧共振的分析，得出了IHB方法的優(yōu)越性，即可以清楚地表現(xiàn)出各階諧波的貢獻量以及準確度較高，可以媲美數(shù)值方法的優(yōu)點，這是解析方法不具有的優(yōu)勢。

可以看出，若要減少車輛系統(tǒng)垂向振動中非線性現(xiàn)象的出現(xiàn)，可以通過增大懸掛阻尼、減小激勵振幅與非線性剛度來實現(xiàn)。增量諧波平衡法作為一種兼具解析法與數(shù)值法雙重優(yōu)點的定量分析方法，在非線性振動研究領(lǐng)域有著獨特的作用。