王 業(yè)， 曾 京， 楊潤芝， 韓辰辰， 黃 立

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610000)

針對機(jī)械系統(tǒng)非線性振動(dòng)的定量分析，國內(nèi)外學(xué)者均展開過大量的研究，但是針對于軌道車輛系統(tǒng)非線性振動(dòng)的定量分析，目前仍然處于初始階段，研究較少。由于懸掛元件的強(qiáng)非線性特性，會使系統(tǒng)產(chǎn)生次諧波共振、內(nèi)共振、分岔等現(xiàn)象，同時(shí)也使得依賴小參數(shù)的傳統(tǒng)解析法，如小參數(shù)法、多尺度法、漸進(jìn)法等不再適用，可以適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)的諧波平衡法，在求解多自由度問題時(shí)，公式推導(dǎo)異常繁瑣，對于某些形式的方程很難得出結(jié)果，采用數(shù)值方法雖然可以得到比較精確的特性曲線，但是數(shù)值方法其參數(shù)的物理意義并不明確。劉世齡、張佑啟等將增量法與諧波平衡法相結(jié)合，針對強(qiáng)非線性系統(tǒng)提出了增量諧波平衡法[1]，同濟(jì)大學(xué)的盛云,吳光強(qiáng)[2]曾采用該方法對汽車空氣懸架的二自由度非線性振動(dòng)進(jìn)行了分析，該方法是一種半數(shù)值、半解析的方法，既具有數(shù)值方法的精確性的優(yōu)點(diǎn)，也具有解析法具有直觀的表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)，其各參數(shù)物理意義明確，有效地解決了強(qiáng)非線性系統(tǒng)振動(dòng)分析的問題。

1 空氣彈簧剛度特性分析

動(dòng)車組二系懸掛多為空氣彈簧，理想的空氣彈簧特性曲線如圖1所示，在載荷較小的時(shí)候，剛度較小，隨著載荷的增大，剛度逐漸增大，呈現(xiàn)出剛度漸硬的特性，使得空車和重車時(shí)車輛的固有頻率基本不變[3]。

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，空氣彈簧壓力與容積的關(guān)系為[4]

(pi+pa)Vn=Const

(1)

其中pi為空氣彈簧內(nèi)壓；pa為空氣彈簧外壓；V為空氣彈簧體積；n為多變指數(shù)。

圖1 空氣彈簧理想特性曲線

空氣彈簧垂向承載力F為式(2)

F=piAe

(2)

式(2)中Ae為空氣彈簧的有效承載面積，是空氣彈簧變形量的線性函數(shù)[5]，設(shè)Ae=Ae0+kax，帶入式(2)，并對其進(jìn)行求導(dǎo)，可以得出其剛度K式(3)

(3)

從式(3)可以看出，空氣彈簧的剛度為其位移的二次多項(xiàng)式，故采用三次多項(xiàng)式來描述其恢復(fù)力的非線性特性，設(shè)其恢復(fù)力為式(4)

Ff=k2x+kf2x2+kf3x3

(4)

采用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對其剛度進(jìn)行擬合，試驗(yàn)用空氣彈簧型號為sys510e型[6]，試驗(yàn)載荷為空車載荷95 kN，加載幅值為30 mm。

圖2 空氣彈簧剛度特性曲線

擬合結(jié)果為式(5)

Ff=188.7x+0.55x2+0.007x3

(5)

2 1/4車體1/2構(gòu)架二自由度系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性

2.1 建立車輛二自由度振動(dòng)模型

圖3 車輛二自由度振動(dòng)模型

參照文獻(xiàn)[7-8]中的做法，建立1/4車輛的二自由度振動(dòng)模型，其振動(dòng)微分方程組為

(6)

式中m1，m2為1/2構(gòu)架質(zhì)量與1/4車體質(zhì)量；k1，k2為一系、二系懸掛的垂向線性剛度；kf2與kf3分別為二系懸掛的二次、三次垂向非線性剛度；c1，c2為一系、二系懸掛垂向阻尼；x0為基礎(chǔ)激勵(lì)。

令x1-x0=x，x2-x1=y，并代入式(6)，并化簡，可得

(7)

2.2 增量諧波平衡法(IHB法)

設(shè)激振x0=psin(ωt)，代入式(7)，并將其寫成矩陣形式

(8)

令

則式(8)變?yōu)?/p>

(9)

設(shè)τ=ωt。并帶入式(9)中，則式(9)可以寫為

(10)

(11)

將式(11)帶入式(10)中，并且略去高階小量，可以得到以ΔX，ΔF以及Δω0為未知量的方程

(12)

(13)

IHB法的第2步為諧波平衡過程

因方程同時(shí)具有二次、三次非線性，故取三次諧波項(xiàng)，其穩(wěn)態(tài)周期解可假設(shè)為

(14)

(15)

其中

Cs=[sin(τ)，cos(τ)，sin(2τ)，cos(2τ)，sin(3τ)，cos(3τ)]

Ai=[ai1，bi1，ai2，bi2，ai3，bi3]Ti=1，2

ΔAi=[Δai1，Δbi1，Δai2，Δbi2，Δai3，Δbi3]Ti=1，2

令

則

X0=SA，ΔX=SΔA

(16)

將式(16)帶入增量式(12)中，并應(yīng)用Galerkin平均過程

(17)

整理得

KmcΔA=R+RmKcΔω+RfΔF

(18)

(19)

(20)

Rmc=-(2ω0M+C-2ω0F)A

(21)

(22)

其中

若取固定振幅與激勵(lì)頻率，則ΔF與Δω為0，式(18)變?yōu)?/p>

KmcΔA=R

(23)

計(jì)算過程為：

①指定ω0，與A的初始值，通過式(23)可求得ΔA；

②以A+ΔA代替原來的A進(jìn)行迭代，直到R足夠小，此時(shí)可求出在ω0時(shí)對應(yīng)的振幅A；

③給定一個(gè)新的ω0，A為上一次的計(jì)算結(jié)果，繼續(xù)進(jìn)行迭代直到R足夠?。?/p>

④重復(fù)步驟3，直到得到所需頻域內(nèi)全部幅頻曲線。

上述計(jì)算過程為頻率增量/減量法，也可以取振幅、弧長[11]為增量，或者頻率、振幅增量交替使用，文中采用弧長增量法進(jìn)行計(jì)算。

2.3 主共振

取參數(shù)如表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

2.3.1與線性模型的對比

取激勵(lì)振幅為5 mm，其余參數(shù)參考表1，采用增量諧波平衡法進(jìn)行計(jì)算非線性模型的幅頻曲線、計(jì)算忽略非線性項(xiàng)后計(jì)算線性模型的幅頻曲線，得出下面4幅圖圖4～圖7。觀察可得，與線性模型對比，非線性模型在車體固有頻率處的振幅略大，且幅頻曲線峰值向右移動(dòng)。

圖4 線性與非線性模型車體的幅頻曲線對比

圖5 車體振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

圖6 構(gòu)架振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

圖7 構(gòu)架振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

2.3.2三次非線性剛度大小對主共振的影響

為了對分析三次非線性剛度的大小對幅頻曲線的影響，分別取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ，激勵(lì)振幅為5 mm，三次非線性剛度kf3=0.007 N/mm3,kf3=0.07 N/mm3,kf3=0.7 N/mm3,kf3=1.4 N/mm3，其余參數(shù)按照表1中設(shè)置，進(jìn)行計(jì)算，得出圖8～圖11。從圖8中可以看出，在車體固有頻率附近，隨著三次非線性剛度的增大，主共振峰值逐漸增大并且向右移動(dòng)、曲線骨架發(fā)生彎曲，并且車體與構(gòu)架具有相同的規(guī)律。圖9為圖8中當(dāng)kf3=1.4 N/mm3時(shí)曲線的局部放大圖，A、B點(diǎn)之間的虛線為不穩(wěn)定區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)振幅具有三個(gè)解，一個(gè)為不穩(wěn)定解，兩個(gè)為漸進(jìn)穩(wěn)定解，從而產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，數(shù)值方法是很難追蹤出臨界穩(wěn)定解的曲線的。從圖11中可以看出，在構(gòu)架固有頻率附近，隨著三次非線性剛度的增大，車體振幅略微減小，主共振峰值略向右移動(dòng)，但影響不大，因?yàn)榇四Ｐ椭幸幌祽覓觳痪哂蟹蔷€性特性，故不再討論構(gòu)架固有頻率附近的主共振。

圖8 非線性剛度對車體主共振的影響(在車體固有頻率附近)

圖9 kf3=1.4 N/mm3時(shí)主共振幅頻曲線

圖10 非線性剛度對構(gòu)架主共振的影響(在車體固有頻率附近)

2.3.3二系阻尼大小對主共振的影響

分別取二系阻尼C2=10 N·s/mm，C2=20 N·s/mm，C2=30 N·s/mm，三次非線性剛度kf3=1.4 N/mm3計(jì)算，得出圖13～圖14，從這兩幅圖可以看出，在車體固有頻率附近，隨著阻尼的減小，主共振峰值逐漸右移、峰值逐漸增大，骨架彎曲現(xiàn)象更加明顯，并且產(chǎn)生了不穩(wěn)定區(qū)域即分岔現(xiàn)象，在C2=30 N·s/mm時(shí)沒有此類現(xiàn)象發(fā)生，由此可見，大阻尼可有效阻止此類現(xiàn)象的產(chǎn)生。

圖11 非線性剛度對車體主共振的影響(在構(gòu)架固有頻率附近)

圖12 非線性剛度對空簧剛度特性曲線的影響

圖13 阻尼對車體主共振的影響

2.3.4激勵(lì)振幅大小對主共振的影響

分別取激振振幅p=1 mm，p=5 mm，p=10 mm，進(jìn)行計(jì)算，得出圖15～圖16。

圖14 阻尼對構(gòu)架主共振的影響

圖15 激勵(lì)振幅對車體主共振的影響

圖16 激勵(lì)振幅對構(gòu)架主共振的影響

從圖15～圖16中可以看出，隨著激勵(lì)幅值的增大，共振曲線骨架線逐漸向右傾斜，共振幅值逐漸增大，并且在激勵(lì)幅值為10 mm時(shí)產(chǎn)生了跳躍現(xiàn)象。

2.3.5數(shù)值方法驗(yàn)證

任意取2.3.2節(jié)圖8中曲線kf3=1.4中頻率為4 rad/s與5.05 rad/s兩個(gè)頻率進(jìn)行驗(yàn)證，數(shù)值方法采用4階龍格庫塔法。觀察圖17與圖18中的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)可以發(fā)現(xiàn)，IHB法精度較高，與數(shù)值方法吻合程度很好。

圖17 數(shù)值法驗(yàn)證(4 rad/s，圖中紅線為IHB方法)

圖18 數(shù)值法驗(yàn)證(5.05 rad/s，圖中紅線為IHB方法)

3 超諧共振

3.1 二次超諧共振

取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ，若取系統(tǒng)參數(shù)為表1中的值，激勵(lì)振幅為10 mm，觀察系統(tǒng)固有頻率1/2處車體的二次諧波項(xiàng)與基諧波項(xiàng)的幅值，可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)二次諧波項(xiàng)的幅值為0.000 8 m，產(chǎn)生了微弱的共振，但共振幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于基諧波項(xiàng)的幅值0.001 6 m，即在正常情況下，此系統(tǒng)的二次超諧共振幅值很小。

若想要觀察到比較明顯的2次超諧共振現(xiàn)象，可借鑒文獻(xiàn)[5]的研究成果，文中筆者采用多尺度法對具有二次、三次非線性剛度二自由度汽車振動(dòng)模型進(jìn)行了研究，結(jié)果表明此類非線性系統(tǒng)的二次超諧共振主要受到二次非線性剛度與阻尼大小的影響，二次非線性剛度越大、阻尼越小則越容易產(chǎn)生二次超諧共振。此處取激振振幅f=10 mm，2次阻尼C2=4 N·s/mm，二次非線性剛度kf2=5.5 N/mm2進(jìn)行數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得到如圖20～圖22(此取值不具有實(shí)際工程意義，為方便觀察此類系統(tǒng)的非線性振動(dòng)現(xiàn)象與IHB法優(yōu)勢的研究)，觀察1/2倍車體固有頻率附近的幅頻曲線。圖21～圖22中可以看出，在該頻率附近車體和構(gòu)架也出現(xiàn)了共振峰，產(chǎn)生了二次超諧共振。圖22為各階次諧波的貢獻(xiàn)成分，可以看出產(chǎn)生二次超諧共振的主要原因是2τ項(xiàng)被激發(fā)，結(jié)果與文獻(xiàn)[5]中推論相同。

圖19 車體二次諧波項(xiàng)

圖20 車體二次超諧共振幅頻曲線

圖21 構(gòu)架二次超諧共振幅頻曲線

圖22 車體二次超諧共振諧波分布圖

3.2 三次超諧共振

與二次超諧共振相似，若取表1中的系統(tǒng)參數(shù)，并且取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ，在激勵(lì)頻率為系統(tǒng)固有頻率1/3處三次諧波項(xiàng)雖然會產(chǎn)生共振，但其幅值也同樣遠(yuǎn)小于基諧波幅值，文獻(xiàn)[5]中同樣指出非線性系統(tǒng)的三次超諧共振主要受到三次非線性剛度與阻尼大小的影響，三次非線性剛度越大、阻尼越小則越容易產(chǎn)生三次超諧共振。若希望觀察到比較明顯的3次超諧共振現(xiàn)象，同樣可以取激振振幅f=10 mm，二次阻尼C2=4 N·s/mm，三次非線性剛度kf3=7.25 N/mm3關(guān)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得到如圖23～圖25(此取值不具有實(shí)際工程意義，為方便觀察此類系統(tǒng)的非線性振動(dòng)現(xiàn)象與IHB法優(yōu)點(diǎn)的研究)，觀察1/3倍車體固有頻率附近的幅頻曲線。從圖23～圖24中可以看出，在車體1/3倍固有頻率附近車體和構(gòu)架也出現(xiàn)了共振峰，產(chǎn)生了三次超諧共振。圖25為各階次諧波的貢獻(xiàn)成分，可以看出產(chǎn)生三次超諧共振的主要原因是3τ項(xiàng)被激發(fā)，結(jié)果與文獻(xiàn)[5]中推論相同。

圖23 車體三次超諧共振幅頻曲線

圖24 構(gòu)架三次超諧共振幅頻曲線

圖25 車體三次超諧共振諧波分布圖

3.3 數(shù)值方法驗(yàn)證

取圖20曲線中頻率為2.1 rad/s，圖23曲線中頻率為1.46 rad/s的點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證。從圖26～圖27可以看出，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)振動(dòng)后數(shù)值方法與IHB法契合度很好。

圖26 車體二次超諧共振數(shù)值驗(yàn)證(2.1 rad/s)

圖27 車體三次超諧共振數(shù)值驗(yàn)證(1.46 rad/s)

4 結(jié) 論

建立了二系懸掛同時(shí)具有二次、三次非線性剛度的二自由度車輛垂向振動(dòng)模型。

采用增量諧波平衡法分析了系統(tǒng)的主共振，以及非線性剛度、激振振幅、二系垂向阻尼等系統(tǒng)參數(shù)對于車輛主共振的影響，并采用數(shù)值方法驗(yàn)證了結(jié)論的準(zhǔn)確性。分析表明三次非線性剛度越大、激振振幅越大、二系垂向阻尼越小，則其幅頻曲線非線性程度越明顯，越容易產(chǎn)生分岔現(xiàn)象，并且IHB方法可以輕易追蹤出系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定解的曲線，這是數(shù)值方法不具有的優(yōu)勢。

采用增量諧波平衡法分析了系統(tǒng)的超諧共振現(xiàn)象，并得出系統(tǒng)超諧共振諧波幅值很小，不具有太大的研究價(jià)值。但通過對系統(tǒng)超諧共振的分析，得出了IHB方法的優(yōu)越性，即可以清楚地表現(xiàn)出各階諧波的貢獻(xiàn)量以及準(zhǔn)確度較高，可以媲美數(shù)值方法的優(yōu)點(diǎn)，這是解析方法不具有的優(yōu)勢。

可以看出，若要減少車輛系統(tǒng)垂向振動(dòng)中非線性現(xiàn)象的出現(xiàn)，可以通過增大懸掛阻尼、減小激勵(lì)振幅與非線性剛度來實(shí)現(xiàn)。增量諧波平衡法作為一種兼具解析法與數(shù)值法雙重優(yōu)點(diǎn)的定量分析方法，在非線性振動(dòng)研究領(lǐng)域有著獨(dú)特的作用。