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        鐵道車輛二自由度系統(tǒng)非線性振動定量分析*

        2020-03-23 06:35:30楊潤芝韓辰辰
        鐵道機車車輛 2020年1期
        關(guān)鍵詞:構(gòu)架車體共振

        王 業(yè), 曾 京, 楊潤芝, 韓辰辰, 黃 立

        (西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室, 成都 610000)

        針對機械系統(tǒng)非線性振動的定量分析,國內(nèi)外學者均展開過大量的研究,但是針對于軌道車輛系統(tǒng)非線性振動的定量分析,目前仍然處于初始階段,研究較少。由于懸掛元件的強非線性特性,會使系統(tǒng)產(chǎn)生次諧波共振、內(nèi)共振、分岔等現(xiàn)象,同時也使得依賴小參數(shù)的傳統(tǒng)解析法,如小參數(shù)法、多尺度法、漸進法等不再適用,可以適用于強非線性系統(tǒng)的諧波平衡法,在求解多自由度問題時,公式推導(dǎo)異常繁瑣,對于某些形式的方程很難得出結(jié)果,采用數(shù)值方法雖然可以得到比較精確的特性曲線,但是數(shù)值方法其參數(shù)的物理意義并不明確。劉世齡、張佑啟等將增量法與諧波平衡法相結(jié)合,針對強非線性系統(tǒng)提出了增量諧波平衡法[1],同濟大學的盛云,吳光強[2]曾采用該方法對汽車空氣懸架的二自由度非線性振動進行了分析,該方法是一種半數(shù)值、半解析的方法,既具有數(shù)值方法的精確性的優(yōu)點,也具有解析法具有直觀的表達式的優(yōu)點,其各參數(shù)物理意義明確,有效地解決了強非線性系統(tǒng)振動分析的問題。

        1 空氣彈簧剛度特性分析

        動車組二系懸掛多為空氣彈簧,理想的空氣彈簧特性曲線如圖1所示,在載荷較小的時候,剛度較小,隨著載荷的增大,剛度逐漸增大,呈現(xiàn)出剛度漸硬的特性,使得空車和重車時車輛的固有頻率基本不變[3]。

        根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程,空氣彈簧壓力與容積的關(guān)系為[4]

        (pi+pa)Vn=Const

        (1)

        其中pi為空氣彈簧內(nèi)壓;pa為空氣彈簧外壓;V為空氣彈簧體積;n為多變指數(shù)。

        圖1 空氣彈簧理想特性曲線

        空氣彈簧垂向承載力F為式(2)

        F=piAe

        (2)

        式(2)中Ae為空氣彈簧的有效承載面積,是空氣彈簧變形量的線性函數(shù)[5],設(shè)Ae=Ae0+kax,帶入式(2),并對其進行求導(dǎo),可以得出其剛度K式(3)

        (3)

        從式(3)可以看出,空氣彈簧的剛度為其位移的二次多項式,故采用三次多項式來描述其恢復(fù)力的非線性特性,設(shè)其恢復(fù)力為式(4)

        Ff=k2x+kf2x2+kf3x3

        (4)

        采用試驗數(shù)據(jù)對其剛度進行擬合,試驗用空氣彈簧型號為sys510e型[6],試驗載荷為空車載荷95 kN,加載幅值為30 mm。

        圖2 空氣彈簧剛度特性曲線

        擬合結(jié)果為式(5)

        Ff=188.7x+0.55x2+0.007x3

        (5)

        2 1/4車體1/2構(gòu)架二自由度系統(tǒng)的非線性振動特性

        2.1 建立車輛二自由度振動模型

        圖3 車輛二自由度振動模型

        參照文獻[7-8]中的做法,建立1/4車輛的二自由度振動模型,其振動微分方程組為

        (6)

        式中m1,m2為1/2構(gòu)架質(zhì)量與1/4車體質(zhì)量;k1,k2為一系、二系懸掛的垂向線性剛度;kf2與kf3分別為二系懸掛的二次、三次垂向非線性剛度;c1,c2為一系、二系懸掛垂向阻尼;x0為基礎(chǔ)激勵。

        令x1-x0=x,x2-x1=y,并代入式(6),并化簡,可得

        (7)

        2.2 增量諧波平衡法(IHB法)

        設(shè)激振x0=psin(ωt),代入式(7),并將其寫成矩陣形式

        (8)

        則式(8)變?yōu)?/p>

        (9)

        設(shè)τ=ωt。并帶入式(9)中,則式(9)可以寫為

        (10)

        (11)

        將式(11)帶入式(10)中,并且略去高階小量,可以得到以ΔX,ΔF以及Δω0為未知量的方程

        (12)

        (13)

        IHB法的第2步為諧波平衡過程

        因方程同時具有二次、三次非線性,故取三次諧波項,其穩(wěn)態(tài)周期解可假設(shè)為

        (14)

        (15)

        其中

        Cs=[sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)]

        Ai=[ai1,bi1,ai2,bi2,ai3,bi3]Ti=1,2

        ΔAi=[Δai1,Δbi1,Δai2,Δbi2,Δai3,Δbi3]Ti=1,2

        X0=SA,ΔX=SΔA

        (16)

        將式(16)帶入增量式(12)中,并應(yīng)用Galerkin平均過程

        (17)

        整理得

        KmcΔA=R+RmKcΔω+RfΔF

        (18)

        (19)

        (20)

        Rmc=-(2ω0M+C-2ω0F)A

        (21)

        (22)

        其中

        若取固定振幅與激勵頻率,則ΔF與Δω為0,式(18)變?yōu)?/p>

        KmcΔA=R

        (23)

        計算過程為:

        ①指定ω0,與A的初始值,通過式(23)可求得ΔA;

        ②以A+ΔA代替原來的A進行迭代,直到R足夠小,此時可求出在ω0時對應(yīng)的振幅A;

        ③給定一個新的ω0,A為上一次的計算結(jié)果,繼續(xù)進行迭代直到R足夠??;

        ④重復(fù)步驟3,直到得到所需頻域內(nèi)全部幅頻曲線。

        上述計算過程為頻率增量/減量法,也可以取振幅、弧長[11]為增量,或者頻率、振幅增量交替使用,文中采用弧長增量法進行計算。

        2.3 主共振

        取參數(shù)如表1。

        表1 系統(tǒng)參數(shù)

        2.3.1與線性模型的對比

        取激勵振幅為5 mm,其余參數(shù)參考表1,采用增量諧波平衡法進行計算非線性模型的幅頻曲線、計算忽略非線性項后計算線性模型的幅頻曲線,得出下面4幅圖圖4~圖7。觀察可得,與線性模型對比,非線性模型在車體固有頻率處的振幅略大,且幅頻曲線峰值向右移動。

        圖4 線性與非線性模型車體的幅頻曲線對比

        圖5 車體振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

        圖6 構(gòu)架振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

        圖7 構(gòu)架振幅放大圖(在車體固有頻率附近)

        2.3.2三次非線性剛度大小對主共振的影響

        為了對分析三次非線性剛度的大小對幅頻曲線的影響,分別取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ,激勵振幅為5 mm,三次非線性剛度kf3=0.007 N/mm3,kf3=0.07 N/mm3,kf3=0.7 N/mm3,kf3=1.4 N/mm3,其余參數(shù)按照表1中設(shè)置,進行計算,得出圖8~圖11。從圖8中可以看出,在車體固有頻率附近,隨著三次非線性剛度的增大,主共振峰值逐漸增大并且向右移動、曲線骨架發(fā)生彎曲,并且車體與構(gòu)架具有相同的規(guī)律。圖9為圖8中當kf3=1.4 N/mm3時曲線的局部放大圖,A、B點之間的虛線為不穩(wěn)定區(qū)域,在此區(qū)域內(nèi)振幅具有三個解,一個為不穩(wěn)定解,兩個為漸進穩(wěn)定解,從而產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,數(shù)值方法是很難追蹤出臨界穩(wěn)定解的曲線的。從圖11中可以看出,在構(gòu)架固有頻率附近,隨著三次非線性剛度的增大,車體振幅略微減小,主共振峰值略向右移動,但影響不大,因為此模型中一系懸掛不具有非線性特性,故不再討論構(gòu)架固有頻率附近的主共振。

        圖8 非線性剛度對車體主共振的影響(在車體固有頻率附近)

        圖9 kf3=1.4 N/mm3時主共振幅頻曲線

        圖10 非線性剛度對構(gòu)架主共振的影響(在車體固有頻率附近)

        2.3.3二系阻尼大小對主共振的影響

        分別取二系阻尼C2=10 N·s/mm,C2=20 N·s/mm,C2=30 N·s/mm,三次非線性剛度kf3=1.4 N/mm3計算,得出圖13~圖14,從這兩幅圖可以看出,在車體固有頻率附近,隨著阻尼的減小,主共振峰值逐漸右移、峰值逐漸增大,骨架彎曲現(xiàn)象更加明顯,并且產(chǎn)生了不穩(wěn)定區(qū)域即分岔現(xiàn)象,在C2=30 N·s/mm時沒有此類現(xiàn)象發(fā)生,由此可見,大阻尼可有效阻止此類現(xiàn)象的產(chǎn)生。

        圖11 非線性剛度對車體主共振的影響(在構(gòu)架固有頻率附近)

        圖12 非線性剛度對空簧剛度特性曲線的影響

        圖13 阻尼對車體主共振的影響

        2.3.4激勵振幅大小對主共振的影響

        分別取激振振幅p=1 mm,p=5 mm,p=10 mm,進行計算,得出圖15~圖16。

        圖14 阻尼對構(gòu)架主共振的影響

        圖15 激勵振幅對車體主共振的影響

        圖16 激勵振幅對構(gòu)架主共振的影響

        從圖15~圖16中可以看出,隨著激勵幅值的增大,共振曲線骨架線逐漸向右傾斜,共振幅值逐漸增大,并且在激勵幅值為10 mm時產(chǎn)生了跳躍現(xiàn)象。

        2.3.5數(shù)值方法驗證

        任意取2.3.2節(jié)圖8中曲線kf3=1.4中頻率為4 rad/s與5.05 rad/s兩個頻率進行驗證,數(shù)值方法采用4階龍格庫塔法。觀察圖17與圖18中的穩(wěn)態(tài)振動可以發(fā)現(xiàn),IHB法精度較高,與數(shù)值方法吻合程度很好。

        圖17 數(shù)值法驗證(4 rad/s,圖中紅線為IHB方法)

        圖18 數(shù)值法驗證(5.05 rad/s,圖中紅線為IHB方法)

        3 超諧共振

        3.1 二次超諧共振

        取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ,若取系統(tǒng)參數(shù)為表1中的值,激勵振幅為10 mm,觀察系統(tǒng)固有頻率1/2處車體的二次諧波項與基諧波項的幅值,可以發(fā)現(xiàn)此時二次諧波項的幅值為0.000 8 m,產(chǎn)生了微弱的共振,但共振幅值遠遠小于基諧波項的幅值0.001 6 m,即在正常情況下,此系統(tǒng)的二次超諧共振幅值很小。

        若想要觀察到比較明顯的2次超諧共振現(xiàn)象,可借鑒文獻[5]的研究成果,文中筆者采用多尺度法對具有二次、三次非線性剛度二自由度汽車振動模型進行了研究,結(jié)果表明此類非線性系統(tǒng)的二次超諧共振主要受到二次非線性剛度與阻尼大小的影響,二次非線性剛度越大、阻尼越小則越容易產(chǎn)生二次超諧共振。此處取激振振幅f=10 mm,2次阻尼C2=4 N·s/mm,二次非線性剛度kf2=5.5 N/mm2進行數(shù)值進行計算,得到如圖20~圖22(此取值不具有實際工程意義,為方便觀察此類系統(tǒng)的非線性振動現(xiàn)象與IHB法優(yōu)勢的研究),觀察1/2倍車體固有頻率附近的幅頻曲線。圖21~圖22中可以看出,在該頻率附近車體和構(gòu)架也出現(xiàn)了共振峰,產(chǎn)生了二次超諧共振。圖22為各階次諧波的貢獻成分,可以看出產(chǎn)生二次超諧共振的主要原因是2τ項被激發(fā),結(jié)果與文獻[5]中推論相同。

        圖19 車體二次諧波項

        圖20 車體二次超諧共振幅頻曲線

        圖21 構(gòu)架二次超諧共振幅頻曲線

        圖22 車體二次超諧共振諧波分布圖

        3.2 三次超諧共振

        與二次超諧共振相似,若取表1中的系統(tǒng)參數(shù),并且取Cs=[1,sin(τ),cos(τ),sin(2τ),cos(2τ),sin(3τ),cos(3τ)] ,在激勵頻率為系統(tǒng)固有頻率1/3處三次諧波項雖然會產(chǎn)生共振,但其幅值也同樣遠小于基諧波幅值,文獻[5]中同樣指出非線性系統(tǒng)的三次超諧共振主要受到三次非線性剛度與阻尼大小的影響,三次非線性剛度越大、阻尼越小則越容易產(chǎn)生三次超諧共振。若希望觀察到比較明顯的3次超諧共振現(xiàn)象,同樣可以取激振振幅f=10 mm,二次阻尼C2=4 N·s/mm,三次非線性剛度kf3=7.25 N/mm3關(guān)數(shù)值進行計算,得到如圖23~圖25(此取值不具有實際工程意義,為方便觀察此類系統(tǒng)的非線性振動現(xiàn)象與IHB法優(yōu)點的研究),觀察1/3倍車體固有頻率附近的幅頻曲線。從圖23~圖24中可以看出,在車體1/3倍固有頻率附近車體和構(gòu)架也出現(xiàn)了共振峰,產(chǎn)生了三次超諧共振。圖25為各階次諧波的貢獻成分,可以看出產(chǎn)生三次超諧共振的主要原因是3τ項被激發(fā),結(jié)果與文獻[5]中推論相同。

        圖23 車體三次超諧共振幅頻曲線

        圖24 構(gòu)架三次超諧共振幅頻曲線

        圖25 車體三次超諧共振諧波分布圖

        3.3 數(shù)值方法驗證

        取圖20曲線中頻率為2.1 rad/s,圖23曲線中頻率為1.46 rad/s的點進行驗證。從圖26~圖27可以看出,進入穩(wěn)態(tài)振動后數(shù)值方法與IHB法契合度很好。

        圖26 車體二次超諧共振數(shù)值驗證(2.1 rad/s)

        圖27 車體三次超諧共振數(shù)值驗證(1.46 rad/s)

        4 結(jié) 論

        建立了二系懸掛同時具有二次、三次非線性剛度的二自由度車輛垂向振動模型。

        采用增量諧波平衡法分析了系統(tǒng)的主共振,以及非線性剛度、激振振幅、二系垂向阻尼等系統(tǒng)參數(shù)對于車輛主共振的影響,并采用數(shù)值方法驗證了結(jié)論的準確性。分析表明三次非線性剛度越大、激振振幅越大、二系垂向阻尼越小,則其幅頻曲線非線性程度越明顯,越容易產(chǎn)生分岔現(xiàn)象,并且IHB方法可以輕易追蹤出系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定解的曲線,這是數(shù)值方法不具有的優(yōu)勢。

        采用增量諧波平衡法分析了系統(tǒng)的超諧共振現(xiàn)象,并得出系統(tǒng)超諧共振諧波幅值很小,不具有太大的研究價值。但通過對系統(tǒng)超諧共振的分析,得出了IHB方法的優(yōu)越性,即可以清楚地表現(xiàn)出各階諧波的貢獻量以及準確度較高,可以媲美數(shù)值方法的優(yōu)點,這是解析方法不具有的優(yōu)勢。

        可以看出,若要減少車輛系統(tǒng)垂向振動中非線性現(xiàn)象的出現(xiàn),可以通過增大懸掛阻尼、減小激勵振幅與非線性剛度來實現(xiàn)。增量諧波平衡法作為一種兼具解析法與數(shù)值法雙重優(yōu)點的定量分析方法,在非線性振動研究領(lǐng)域有著獨特的作用。

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