李 奇，李成群，李 牧

（華北理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

0 引言

伸縮貨叉是堆垛機上常用的執(zhí)行裝置，其傳動方式大致分為兩種：鏈條傳動和齒輪齒條傳動。齒輪齒條式伸縮貨叉一般為三級貨叉，即上、中、底三個叉體疊加在一起。齒輪齒條式伸縮貨叉的一級驅(qū)動是底叉和中叉之間的齒輪齒條機構(gòu)，齒條安裝在中叉下面，三個相互嚙合的齒輪則安裝在底叉上，中間齒輪作為主動輪與伺服電機、減速器相連，兩個從動齒輪帶動齒條移動，實現(xiàn)中叉平移；二級驅(qū)動是中叉的左右側(cè)各布置有一個同步帶輪，這兩個同步帶輪相當(dāng)于滑輪組的兩個動滑輪［1］，同步帶分別連接底叉和上叉的同一側(cè)，繞過中叉另一側(cè)的同步帶輪，由中叉平移帶動上叉平移，實現(xiàn)差動。

齒輪齒條式伸縮貨叉的一級驅(qū)動是由三個齒輪和一個齒條構(gòu)成的閉合傳動機構(gòu)，要使伸縮貨叉正常運行，齒輪之間、齒輪和齒條之間就必須準(zhǔn)確嚙合。齒輪的嚙合條件是模數(shù)相等、壓力角相等，但是該閉合傳動機構(gòu)只滿足這兩個條件無法實現(xiàn)正確嚙合，存在輪齒之間相互干涉的情況，說明閉合齒輪齒條之間還需滿足其他條件才能正確嚙合。本文結(jié)合Wolfram Mathematica、SolidWorks和AutoCAD軟件進行計算和虛擬樣機試驗，通過原理推導(dǎo)提出了一種能夠準(zhǔn)確裝配齒輪齒條的方法。

1 閉合齒輪齒條正確嚙合條件的相關(guān)推導(dǎo)

齒輪齒條式伸縮貨叉的整體結(jié)構(gòu)如圖1所示，驅(qū)動機構(gòu)嚙合示意圖如圖2所示。圖2中，主動齒輪1的齒數(shù)、模數(shù)和壓力角分別為Z1、m1和α1，從動齒輪2、3的齒數(shù)、模數(shù)和壓力角分別為Z2、m2和α2，齒條的模數(shù)和壓力角分別為m3和α3，l為兩從動齒輪軸心O2O3之間的中心距，h為驅(qū)動齒輪1與從動齒輪2、3軸心連線O2O3之間的垂直距離，夾角x為驅(qū)動齒輪1與兩從動齒輪2、3軸心連線O1O2、O1O3之間的夾角，夾角γ1、γ2分別為兩從動齒輪2、3軸心到齒條的垂線與連線O1O2、O1O3之間的夾角。

圖1 齒輪齒條式伸縮貨叉整體結(jié)構(gòu)

圖2 驅(qū)動機構(gòu)嚙合示意圖

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系可知，從動齒輪2、3之間的齒頂圓不能相互接觸，驅(qū)動齒輪1的齒頂圓與齒條的齒頂線不能相互接觸。根據(jù)伸縮貨叉驅(qū)動機構(gòu)的幾何條件及齒輪嚙合條件可以得出以下關(guān)系［2］：

其中：ha1、ha2、ha3分別為齒輪Z1、Z2和齒條Z3的齒頂高。

使用標(biāo)準(zhǔn)齒輪的條件下，壓力角α＝20°，齒頂高ha＝h＊am［3］（h＊a為齒頂高系數(shù)，h＊a＝1），所以由式（4）、式（5）得：

兩個從動輪之間的中心距l(xiāng)和其中心連線與驅(qū)動齒輪軸心的垂直距離h為：

將式（8）、式（9）代入式（6）、式（7），解得關(guān)于夾角x的不等式如下：

在驅(qū)動齒輪1的分度圓上，設(shè)定點A與點B的夾角x之間具有n1個整周節(jié)，兩個端點分別具有a和b個非整周節(jié)（即0≤a＜1，0≤b＜1）。從動齒輪2在端點B存在對應(yīng)的b個非整周節(jié)，從動齒輪3在端點A存在對應(yīng)的a個非整周節(jié)。設(shè)定從動齒輪2和從動齒輪3分別在角γ1、γ2內(nèi)具有n2和n3個整周節(jié)，在點C與點D分別存在c和d個非整周節(jié)，所以齒條在分度線端點存在c和d個非整周節(jié)，并在點C和點D之間具有n4個整周節(jié)。周節(jié)數(shù)相當(dāng)于圖2實線范圍內(nèi)所占的齒數(shù)。AB段、CD段、BC段、AD段的周節(jié)數(shù)分別為：

其中：n 取正整數(shù)［4－5］。

又根據(jù)周節(jié)的定義和驅(qū)動齒輪齒條之間的嚙合關(guān)系得：

其中：p為周節(jié)，mm。

周節(jié)是齒輪相鄰兩輪齒之間沿節(jié)圓量得的距離，是節(jié)圓上的一段圓弧［6］。對一個齒數(shù)為Z的齒輪來說，共有Z個周節(jié)，那么對于前述的四段圓弧，其對應(yīng)的周節(jié)數(shù)可以表示為：

所以，將式（12）～式（14）代入式（11）得：

將式（8）代入式（15）整理得：

2 關(guān)于夾角x的計算方法及其案例

根據(jù)式（16）可知，夾角x與模數(shù)m 無關(guān)，所以相同模數(shù)的條件下不同齒數(shù)的齒輪齒條之間相互配合的夾角x和總周節(jié)數(shù)n是可以直接使用的。

已知齒數(shù)Z1和Z2，根據(jù)式（10）可以求出夾角x的具體范圍，再將邊界值代入式（16），求出n的具體范圍；在n的范圍內(nèi)任意選一個正整數(shù)，即可得到關(guān)于夾角x的一個超越方程。解這個超越方程需要用二分法或牛頓迭代法進行計算，可以使用 Wolfram Mathematica和MATLAB［7］等數(shù)學(xué)軟件進行計算。此處給出 Wolfram Mathematica 9.0的具體算法。

Wolfram Mathematica中有專門的函數(shù)FindRoot語句求超越方程的根，此處采用FindRoot［f（x）＝＝0，｛x，x0，xmin，xmax｝］語句進行求解，但如果迭代超過了區(qū)間［xmin，xmax］就會停止［8］，所以區(qū)間選擇比夾角x的范圍稍微大一點的正整數(shù)即可。另外還需注意夾角x的取值是弧度制，可以通過轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)成習(xí)慣使用的角度制，如下：

具體案例如下，已知主動輪Z1＝60，兩個從動輪Z2＝46，齒輪齒條模數(shù)m＝1.5，求出夾角x和兩個從動輪之間的中心距l(xiāng)。根據(jù)式（10）計算夾角x的范圍是：

即n∈［78，126］，n∈N＊。取n＝115，初值設(shè)x0＝53.85，Wolfram Mathematica 9.0的程序界面如圖3所示。

具體程序如下：

In［1］＝FindRoot［（60＋46）＊x／360＋（60＋46）／

Pi＊Sin［x／2Degree］＋46＝ ＝115，｛x，53.85，53，161｝，WorkingPrecision→12］

f［x＿］：＝（60＋46）＊x／360＋（60＋46）／Pi＊Sin［x／2Degree］＋46－115

Plot［f［x］，｛x，53.85，161｝］

Out［1］＝｛x130.340822234｝

程序中WorkingPrecision語句用于規(guī)定結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，Plot語句則是生成關(guān)于該超越方程根的圖像。此外，還可以在程序中加入MaxIterations語句來控制整個計算過程的迭代次數(shù)，用來提高計算精度。根據(jù)計算結(jié)果可知，當(dāng)n＝115時，x130.340 822 235°，該結(jié)果取12位有效數(shù)字?？筛鶕?jù)實際安裝條件來規(guī)定取幾位有效數(shù)字，但根據(jù)實際嚙合情況來看，取得的x值所計算的n值越接近于正整數(shù)，各齒輪齒條之間嚙合點的嚙合情況越好。同時還應(yīng)考慮實際嚙合時齒側(cè)間隙的允許范圍，盡可能消除齒側(cè)間隙，合理選擇夾角x的具體數(shù)值。

圖3 Wolfram Mathematica 9.0相應(yīng)的程序界面

此處x取值為130.35°，根據(jù)式（8）可計算出兩個從動齒輪之間的中心距l(xiāng)＝144.307 505mm，取l值為144.31mm，利用SolidWorks16.0進行擬合裝配，如圖4所示。

圖4 SolidWorks2016的擬合裝配

由圖4可以看出，A、B、C、D四個嚙合點之間并沒有明顯的干涉情況出現(xiàn)。A、B、C、D嚙合點之間的間隙測量如圖5所示。兩個從動齒輪之間的中心距l(xiāng)和夾角x的測量值如圖6所示。

3 結(jié)論

作為精密的傳動裝置，齒輪齒條之間的準(zhǔn)確裝配能夠提高齒輪齒條傳動的嚙合效率，提高齒輪齒條的使用壽命。本文通過理論推導(dǎo)、軟件計算和虛擬樣機試驗，得出以下結(jié)論：

（1）針對標(biāo)準(zhǔn)漸開線圓柱齒輪，在給定齒數(shù)模數(shù)的條件下，推導(dǎo)出了齒輪齒條裝配的關(guān)系式，使各齒輪齒條之間能夠準(zhǔn)確嚙合，防止出現(xiàn)輪齒干涉情況。

（2）夾角x具體值的選擇應(yīng)根據(jù)所得出的總周節(jié)數(shù)n是否最接近正整數(shù)，再根據(jù)實際裝配過程中齒側(cè)間隙的大小進行微調(diào)，盡可能消除齒側(cè)間隙。

（3）相同模數(shù)不同齒數(shù)的齒輪齒條之間，夾角x和總周節(jié)數(shù)n可以直接使用。

圖5 A、B、C、D各嚙合點之間的間隙

圖6 兩從動齒輪中心距l(xiāng)和夾角x的測量值