曾凱鋒 劉華北

(華中科技大學土木工程與力學學院， 武漢 430074， 中國)

0 引 言

鈣質(zhì)砂通常是指富含碳酸鈣或其他難溶碳酸鹽類物質(zhì)的特殊介質(zhì)，是海洋沉積物的一種，廣泛分布于我國南海諸島附近，其特殊的形成環(huán)境導致其顆粒疏松多孔、形狀不規(guī)則、易發(fā)生破碎(劉崇權(quán)等， 1995； 汪稔等， 2019)。而由于顆粒破碎的存在，鈣質(zhì)砂的力學性質(zhì)與普通陸源砂有很大差異。

現(xiàn)今，在顆粒破碎對巖土材料力學性質(zhì)影響方面，國內(nèi)外學者進行了大量的試驗研究。吳京平等(1997)對鈣質(zhì)砂進行了三軸剪切試驗，發(fā)現(xiàn)顆粒破碎將使得鈣質(zhì)砂剪脹性減小，體積收縮應變增大，峰值強度降低。Jia et al. (2017)發(fā)現(xiàn)顆粒破碎改變了堆石料的結(jié)構(gòu)，并且對其剪脹性、摩擦角、強度、滲透性以及在地震荷載下的變形有較大的影響。陳火東等(2018)發(fā)現(xiàn)顆粒破碎使鈣質(zhì)砂體應變從剪脹逐漸發(fā)展到剪縮，且使得鈣質(zhì)砂峰值摩擦角減小，抗剪強度降低。由于顆粒破碎對材料的強度和變形有很大的影響。徐永福(2018)采用離散單元軟件PFC2D模擬了考慮顆粒破碎影響的粗粒土的直剪試驗，發(fā)現(xiàn)顆粒破碎對剪切強度的破碎準則有影響，顆粒破碎試樣的強度包絡線是冪函數(shù)關系。因此使用本構(gòu)模型來模擬易碎材料的行為時，顆粒破碎是一個不可忽略的因素。

目前，將顆粒破碎考慮進本構(gòu)模型的方法主要有以下幾種：(1)通過考慮顆粒破碎來修正塑性硬化和剪脹關系。如：Sun et al. (2007)基于劍橋模型，考慮了顆粒破碎對等向壓縮變形、應力-剪脹方程和剪切強度特性的影響，提出了一種用于顆粒材料的彈塑性本構(gòu)模型。(2)基于損傷力學引入損傷因子。如：汪稔等(2002)采用邊界面模型，在彈性應力-應變關系上引入顆粒破碎損傷因子，提出了一個損傷-滑移耦合作用力學模型。(3)考慮顆粒破碎對臨界狀態(tài)線的影響。如：Liu et al. (2013)基于臨界狀態(tài)土力學，通過采用臨界狀態(tài)線漂移的方法來描述顆粒破碎及其影響，并通過雙曲函數(shù)使顆粒破碎與消耗的塑性功相關，提出一個考慮顆粒破碎的彈塑性本構(gòu)模型。

現(xiàn)有的考慮顆粒破碎的本構(gòu)模型大多采用隱式方法，通過將顆粒破碎與流動規(guī)則，屈服函數(shù)，損傷指數(shù)，臨界狀態(tài)線的形狀或模型參數(shù)相結(jié)合來建立本構(gòu)模型。只有很少的研究者在他們的模型中直接引入顆粒破碎，將模型行為與破碎指數(shù)，限制圍壓或輸入能量聯(lián)系起來。此外，用于鈣質(zhì)砂的考慮顆粒破碎的本構(gòu)模型也較少。

在眾多本構(gòu)模型中，鄧肯-張模型具有參數(shù)確定方便，使用簡單等優(yōu)點，故本文基于鄧肯-張模型進行顆粒破碎修正。本文首先對某種鈣質(zhì)砂(鈣質(zhì)砂1)進行了一系列不同圍壓下的常規(guī)三軸排水試驗，然后通過試驗數(shù)據(jù)分析了相對破碎Br對鄧肯-張模型參數(shù)的影響規(guī)律，將顆粒破碎直接引入鄧肯-張模型中，建立了一個考慮顆粒破碎的鈣質(zhì)砂修正鄧肯-張模型。為驗證修正后模型的準確性，最后本文還使用該模型對文獻中其他3種鈣質(zhì)砂(鈣質(zhì)砂2、鈣質(zhì)砂3以及鈣質(zhì)砂4，具體參數(shù)見表1)的常規(guī)三軸排水行為進行了模擬，結(jié)果表明擬合較好，并在顆粒破碎較大的情況下明顯優(yōu)于傳統(tǒng)鄧肯-張模型。

表1 鈣質(zhì)砂基本性質(zhì)Table 1 The basic properties of calcareous sands

圖1 鈣質(zhì)砂1 ε1/(σ1-σ3)-ε1曲線Fig. 1 The ε1/(σ1-σ3)-ε1 relations of calcareous sand No.1

1 考慮顆粒破碎的鄧肯-張E-B模型

當鄧肯-張E-B模型直接應用于鈣質(zhì)砂等易碎材料時，由于顆粒破碎的存在，模型將存在諸多問題。例如，鄧肯-張模型假設應力-應變關系為雙曲線，因此試驗結(jié)果整理成形式ε1/(σ1-σ3)-ε1將呈線性關系，并以此來確定切線模量Et所需的參數(shù)。但當顆粒破碎存在時，ε1/(σ1-σ3)-ε1將不為線性，圖1為鈣質(zhì)砂1在不同圍壓下的ε1/(σ1-σ3)-ε1曲線。而且當顆粒破碎較大時，Ei、B與圍壓的關系不再為Knpa(σ3/pa)n的形式，若依舊使用該形式進行擬合，不僅擬合度很低而且n將小于0。因此，要將鄧肯-張模型應用于鈣質(zhì)砂，必須要對其進行顆粒破碎方面的修正。

1.1 顆粒破碎的度量

為了準確度量顆粒破碎的大小，大量學者進行了研究并提出了各種顆粒破碎指標。Lee et al. (1967)使用B15=D15i/D15f(D15為級配曲線上重量百分比為15%時所對應的顆粒粒徑大小，其中下標i、f對應試驗前后的級配曲線)來描述顆粒破碎的大小。Marsal(1967)使用Bm來表示描述顆粒破碎大小(Bm=∑|Bmai-Bmbi|，其中，Bmbi、Bmai分別表示試驗前后某一粒組含量)。Lade et al. (1996)基于有效粒徑D10提出了破碎指標B10的概念(B10=1-D10f/D10i，D10為重量百分比為10%時的顆粒粒徑大小，其中下標i、f對應試驗前后的級配曲線)。Hardin(1985)采用相對破碎Br=Bt/Bp來度量顆粒破碎的大小。Bp為破碎潛能(即0.074imm的粒徑線與初始級配曲線與之間的面積)；Bt為總破碎量(即試驗前后兩級配曲線之間的面積)。

其中Hardin提出的相對破碎Br這一指標很好地克服了單獨考慮某一粒徑或含量的缺點，對于不同材料在破碎過程中抓住了整體級配的變化。因此，在本文使用Br來度量顆粒破碎的大小。

1.2 E-B模型

鄧肯-張E-B模型建立在廣義虎克定律的彈性理論基礎上，因為其可以反映土的非線性，加之其參數(shù)不多且易確定，故其成為土的最為普及的本構(gòu)模型之一。

常規(guī)三軸排水試驗中，模型描述的應力-應變關系為(Duncan et al.，1970)：

(1)

式中，σ1、σ3為最大、小主應力；a、b為試驗常數(shù)；ε1為軸向應變。

在常規(guī)三軸壓縮實驗中，切線模量Et表達式為：

(2)

對于粗粒土，普遍認為黏聚力c為0，內(nèi)摩擦角φ隨圍壓的增加而減小(Duncan et al.，1980)，表達式為：

φ=φ0-Δφlg(σ3/pa)

(3)

式中，φ0與Δφ為內(nèi)摩擦角相關的材料常數(shù)。

E-B模型中使用體積模量B來近似描述土的體變特性。體積模量B的定義為：

(4)

式中， (σ1-σ3)70%與(εv)70%為(σ1-σ3)達到70%qf時的偏應力和相應的體應變的試驗值。體積模量B與圍壓的關系為：

(5)

式中，Km、m為與體積模量相關的材料常數(shù)。

整個E-B模型共有7個參數(shù)，分別為：Kn、n、Rf、Km、m以及φ、c(或φ0、Δφ)。

1.3 修正E-B模型

基于鄧肯張E-B模型，采用相對破碎Br度量顆粒破碎大小，綜合考慮顆粒破碎對其相關參數(shù)的影響，本文提出了一個考慮顆粒破碎的鈣質(zhì)砂修正E-B模型。具體如下：

由于E-B模型中Ei由ε1/(σ1-σ3)-ε1直線的截距確定，但顆粒破碎的存在會導致其不為直線，故本文模型中采用偏應力為50%qf時的割線模量E50代替Ei進行分析。E50與Ei的關系為：

(6)

張家銘等(2008)研究發(fā)現(xiàn)顆粒破碎將導致鈣質(zhì)砂的強度降低，壓縮性增加。Yu(2017)對珊瑚砂進行了一系列三軸排水剪切試驗后發(fā)現(xiàn)顆粒破碎導致峰值狀態(tài)摩擦角減小。因此，假定相同圍壓下E50、φ與B隨Br的增加而減小。本文通過對鈣質(zhì)砂1進行一系列常規(guī)三軸排水試驗并對E50、φ與B進行分析后發(fā)現(xiàn)，E50、φ、B與σ3及Br的關系為：

(7)

φ=φ0-Δφ1lg(σ3/pa)-Δφ2Br

(8)

(9)

鈣質(zhì)砂1采用式(7)～式(9)計算的E50、φ與B與通過試驗結(jié)果計算的E50、φ與B對比如圖2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，擬合較好?？疾旃?7)～公式(9)可以發(fā)現(xiàn)，當無顆粒破碎時(Br=0)，模型退化為初始的E-B模型。

對于破壞比Rf，由于顆粒破碎對其影響不大。為簡化模型，故不考慮顆粒破碎對破壞比Rf的影響。

同時，由于無法直接確定各應力狀態(tài)下的相對破碎Br，因此Br必須使用另一狀態(tài)量來描述。有研究表明顆粒破碎與輸入土體的能量密切相關(Lade et al.，1996)，而輸入能量可以通過應力及應變計算。故假定相對破碎Br是輸入能量E函數(shù)。本文通過對鈣質(zhì)砂1進行一系列不同試驗條件的三軸試驗和側(cè)限試驗后發(fā)現(xiàn)，鈣質(zhì)砂1相對破碎Br與輸入能量E的關系如圖3所示。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，當輸入能量E較小時Br與E的關系為雙曲線關系，較大時為指數(shù)關系，且這種關系受實驗條件影響不大。由于雙曲線關系只在輸入能量很小時存在，為簡化模型，假定相對破碎Br與輸入能量E呈指數(shù)關系并認為鈣質(zhì)砂初始存在一定的破碎。故鈣質(zhì)砂相對破碎Br與輸入能量E的關系表達式為：

Br=abE

(10)

式中，a、b為描述土體顆粒破碎的模型參數(shù)。

在常規(guī)三軸排水試驗中每個計算點的輸入能量E與應力及應變的關系為：

(11)

圖2 鈣質(zhì)砂1 E50、摩擦角、B與圍壓及Br關系圖Fig. 2 The E50、friction angle and B-confining pressure and Br relationships of calcareous sand No.1

圖3 鈣質(zhì)砂1相對破碎Br與輸入能量E關系曲線Fig. 3 The Br-E relationship curve of calcareous sand No.1

式中， dε1， dεv為軸向應變增量與體應變增量；SOT為試驗開始點；POT為當前計算點。

最終，切線模量Et按式(12)計算，體積模量B按式(9)計算。

(12)

2 模型參數(shù)的確定方法

本文提出的考慮顆粒破碎的鈣質(zhì)砂修正鄧肯-張模型共有12個參數(shù)，分別為：與E50相關的3個常數(shù)Kn1、Kn2、n； 與內(nèi)摩擦角相關的3個常數(shù)φ0、Δφ1、Δφ2； 與體積模量相關的3個常數(shù)Km1、Km2、m； 用于描述顆粒破碎的兩個常數(shù)a、b； 破壞比Rf。模型的常數(shù)大多具有明確的物理意義，可以通過傳統(tǒng)的實驗室試驗進行校準。為保證Br-E擬合的準確性，需要進行至少一組圍壓較低的常規(guī)三軸排水試驗。但圍壓較低時，鈣質(zhì)砂容易發(fā)生剪脹，剪脹將導致體積模量B偏大。故為保證B擬合的準確性還需進行3組圍壓較高不存在剪脹的常規(guī)三軸排水試驗。故本模型參數(shù)確定總共需要進行至少4組常規(guī)三軸排水試驗。后文將以鈣質(zhì)砂4(翁貽令， 2017)為例詳細介紹模型參數(shù)的確定方法。鈣質(zhì)砂4進行的一組圍壓較低的常規(guī)三軸排水試驗的圍壓為50ikPa，進行的3組圍壓較高的常規(guī)三軸排水試驗的圍壓分別為100ikPa、200ikPa以及400ikPa。

2.1 顆粒破碎相關常數(shù)a、b

首先通過式(11)與試驗前后級配曲線計算出試驗結(jié)束時的輸入能量E以及相對破碎Br。不同圍壓下鈣質(zhì)砂4試驗結(jié)束時的(E，Br)分別為(44.￣85， 0.￣0372)、(74.￣47， 0.￣0536)、(124.￣47， 0.￣0876)及(190.￣62， 0.￣1129)。然后按式(10)對Br及E進行擬合即可得到參數(shù)a、b。對于鈣質(zhì)砂4，函數(shù)關系式為Br=0.￣033i65×1.￣006i55E，a、b分別為0.￣033i65、1.￣006i55。

2.2 內(nèi)摩擦角相關常數(shù)φ0、Δφ1、Δφ2

首先按應力-應變曲線有峰值時取峰值，無峰值時取軸向應變15%時的應力點的原則，尋找破壞時的偏應力qf，再通過qf計算出內(nèi)摩擦角。不同圍壓下鈣質(zhì)砂4內(nèi)摩擦角分別為46.97°、43.52°、41.19°以及35.39°。然后按式(11)計算破壞時輸入能量E，并通過E與Br的關系計算出破壞時的相對破碎Br。對于鈣質(zhì)砂4，Br分別為0.041i182、0.050i718、0.075i828以及0.116i782。最后將摩擦角φ作為應變量，破壞時的相對破碎Br與lg(σ3/pa)作為自變量按式(8)形式進行雙變量線性擬合即可得到參數(shù)φ0、Δφ1、Δφ2。對于鈣質(zhì)砂4，φ0、Δφ1、Δφ2分別為48.02、6.04以及75.1。

2.3 E50相關常數(shù)Kn1、Kn2、n

首先確定各圍壓下50%qf對應的割線模量E50。對于鈣質(zhì)砂4，其分別為136ikPa、221ikPa、386ikPa以及550ikPa。然后按式(11)計算50%qf時的輸入能量E，并通過E與Br的關系計算出50%qf時的相對破碎Br。對于鈣質(zhì)砂4，其分別為0.034i12、0.034i61、0.038i16以及0.045i57。最后按式(7)形式對E50、Br及σ3進行雙變量非線性擬合即可得到參數(shù)Kn1、Kn2、n。對于鈣質(zhì)砂4，Kn1、Kn2、n分別為91.98、0.233以及264。

2.4 體積模量相關的3個常數(shù)Km1、Km2、m

首先通過試驗數(shù)據(jù)找到偏應力為70%qf對應的偏應力以及體應變，按式(3)計算出各圍壓下的體積模量B。對于鈣質(zhì)砂4，由于圍壓50ikPa時發(fā)生剪脹，故只使用圍壓100ikPa、200ikPa以及400ikPa的數(shù)據(jù)來確定參數(shù)Km1、Km2、m。各圍壓下體積模量B分別為2991ikPa、3104ikPa以及2792ikPa。然后按式(11)計算70%qf時的輸入能量E，并通過E與Br的關系計算出70%qf時的相對破碎Br。對于鈣質(zhì)砂4，Br分別為0.￣037i24、0.￣044i05以及0.￣059i26。最后按式(9)形式對B、Br及σ3進行雙變量非線性擬合即可得到參數(shù)Km1、Km2、m。對于鈣質(zhì)砂4，Km1、Km2、m分別為29.￣98、0.￣079以及0.￣2211。

2.5 破壞比Rf

破壞比Rf的確定方法與鄧肯-張模型相同。首先通過式(13)計算出極限偏應力qult。對于鈣質(zhì)砂4，其分別為311ikPa、546ikPa、1074ikPa以及1891ikPa。然后通過式(14)計算出每組實驗的破壞比。對于鈣質(zhì)砂4，破壞比Rf分別為0.875、0.809、0.718以及0.582。最后對不同圍壓下的破壞比求平均得到破壞比Rf，鈣質(zhì)砂4的破壞比為0.746。

(13)

(14)

式中， 70%、95%為偏應力為70%qf及95%qf時的相關試驗數(shù)據(jù)。

3 試驗驗證

本節(jié)中使用本文提出的修正鄧肯-張模型對4種鈣質(zhì)砂的常規(guī)三軸排水行為進行了模擬。表1列出了4種鈣質(zhì)砂的基本性質(zhì)以及數(shù)據(jù)來源。表2列出了4種鈣質(zhì)砂的模型參數(shù)。模型參數(shù)的確定基于上一節(jié)中闡述的方法進行。

表2 模型參數(shù)Table 2 Model constants

由于鄧肯-張模型無法考慮應力軟化現(xiàn)象，因此模擬只模擬到應力峰值點。另外，模擬結(jié)果還與原始鄧肯-張E-B模型模擬結(jié)果進行了對比。由于顆粒破碎導致4種鈣質(zhì)砂的原始鄧肯-張E-B模型的體積模量B不再為Kmpa(σ3/pa)m的形式，若依舊使用該形式進行擬合，不僅擬合度很低而且m將小于0，因此本文未給出修正前后模型的體應變模擬的對比。

3.1 鈣質(zhì)砂1

本文對鈣質(zhì)砂1進行了300～1000ikPa不同圍壓的常規(guī)三軸排水試驗。 對于鈣質(zhì)砂1， 由于其應力沒有峰值， 因此取15%軸向應變對應的數(shù)據(jù)點作為破壞點， 圖4為鈣質(zhì)砂1的模擬結(jié)果。 從圖中可以看到， 修正模型對鈣質(zhì)砂1的常規(guī)三軸排水行為模擬較好。 由于鈣質(zhì)砂1粒徑較大、 圍壓較大， 顆粒破碎明顯， 使得Ei與圍壓的關系不再為Knpa(σ3/pa)n的形式，若依舊使用該形式進行擬合，不僅擬合度很低而且n將小于0，故原始鄧肯-張模型無法對鈣質(zhì)砂1的常規(guī)三軸排水行為進行模擬，因此本文也未給出修正模型與原始鄧肯-張模型的對比結(jié)果。

圖4 鈣質(zhì)砂1試驗驗證Fig. 4 Model verification with calcareous sand No.1

3.2 鈣質(zhì)砂2(張家銘， 2004)

張家銘(2004)對鈣質(zhì)砂2進行了100～3200ikPa不同圍壓的常規(guī)三軸排水試驗。圖5為鈣質(zhì)砂2的模擬結(jié)果。從圖5a中可以看出，雖然原始鄧肯-張模型的Ei仍為Knpa(σ3/pa)n的形式，但擬合效果隨著顆粒破碎的增加逐漸下降，而使用本文提出的修正鄧肯-張模型擬合度較好。確定鈣質(zhì)砂2的模型參數(shù)時，發(fā)現(xiàn)1600ikPa時摩擦角反而比800ikPa時大，因此推測1600ikPa時數(shù)據(jù)可能有誤，故圍壓1600ikPa時應力擬合相差較大。

圖5 鈣質(zhì)砂2試驗驗證Fig. 5 Model verification with calcareous sand No.2

從圖5b中可以看出，在低圍壓下，體應變擬合效果不理想，這是由于低圍壓下鈣質(zhì)砂發(fā)生剪脹，而鄧肯-張模型無法模擬剪脹導致的，而當圍壓大于400ikPa時，剪脹基本消失，體應變也擬合較好。

3.3 鈣質(zhì)砂3(王剛等， 2018)

王剛等(2018)對鈣質(zhì)砂3進行了200～1600ikPa不同圍壓的常規(guī)三軸排水試驗。圖6為鈣質(zhì)砂3的模擬結(jié)果。可以看出，使用本文提出的修正鄧肯-張模型擬合度較好，但使用原始鄧肯-張模型擬合的效果隨著顆粒破碎的增加逐漸變差。

圖6 鈣質(zhì)砂3試驗驗證Fig. 6 Model verification with calcareous sand No.3

3.4 鈣質(zhì)砂4(翁貽令， 2017)

翁貽令(2017)對鈣質(zhì)砂4進行了50～400ikPa不同圍壓的常規(guī)三軸排水試驗。鈣質(zhì)砂4為單一粒徑，只有2～5imm的顆粒，顆粒較大，故在試驗圍壓不大時，破碎量依然較大。圖7為鈣質(zhì)砂4的模擬結(jié)果?？梢钥吹剑疚奶岢龅男拚嚳?張模型擬合度較好。由于Ei與圍壓的關系不為Knpa(σ3/pa)n的形式，若依舊使用該形式進行擬合，不僅擬合度很低而且n將小于0，故未給出修正模型與原始鄧肯-張模型的對比結(jié)果。

圖7 鈣質(zhì)砂4試驗驗證Fig. 7 Model verification with calcareous sand No.4

4 結(jié)論與討論

本文通過考慮相對破碎Br對鄧肯-張E-B模型參數(shù)的影響規(guī)律，建立了一個考慮顆粒破碎的鈣質(zhì)砂修正鄧肯-張E-B模型。關于修正模型的相關結(jié)論如下：

(1)顆粒破碎將導致鈣質(zhì)砂的強度降低以及壓縮性增加，反映到鄧肯-張模型中為切線模量Et、內(nèi)摩擦角φ和體積模量B隨相對破碎Br的增加而減小。

(2)對于鈣質(zhì)砂，相對破碎Br與輸入能量E呈指數(shù)關系，且其關系受試驗條件的影響不大。輸入能量E可以通過應力及應變計算得到，因此通過輸入能量E可以將顆粒破碎引入鄧肯-張模型中。

(3)本文使用修正鄧肯-張模型對4種鈣質(zhì)砂的常規(guī)三軸排水行為進行了模擬，發(fā)現(xiàn)擬合效果較好，驗證了修正模型的合理性。并且當顆粒破碎較大時，修正后模型明顯優(yōu)于原始鄧肯-張模型。

同時，本文提出的修正模型基于顆粒破碎與輸入能量呈指數(shù)關系。但實際顆粒破碎不會隨輸入能量無限增加，推測輸入能量達到一定程度，顆粒破碎的增加趨勢將趨于平穩(wěn)，但由于儀器限制以及工程上一般不會超過本文研究的應力范圍，故本文未對更高圍壓下鈣質(zhì)砂顆粒破碎規(guī)律做詳細研究。因此，本文提出的考慮顆粒破碎的鈣質(zhì)砂修正鄧肯-張模型可能不適用于模擬更高應力水平下鈣質(zhì)砂的行為，更高應力水平下鈣質(zhì)砂行為模擬有待進一步研究探討。