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0 引言

無線能量傳輸是利用某種介質(zhì)（電磁場、激光、超聲波等）替代導(dǎo)線進行能量傳遞的一種技術(shù)。無線能量傳輸技術(shù)由于采用非接觸式傳輸能量，彌補了傳統(tǒng)直接接觸式能量傳輸方式的弊端，具有很多優(yōu)點。

近幾年，隨著新的研究方法的應(yīng)用及新理論的突破，無線輸電技術(shù)越來越受到人們的關(guān)注。文獻[1]介紹，2007 年7 月6 日，基于電磁諧振原理成功地“隔空”點亮了離電源2 m 多遠處的一個60 W 燈泡。在該實驗中，發(fā)射器發(fā)射的能量有40%～50%傳輸?shù)截撦d，無線傳輸裝置工作的有效距離最遠達到2.74 m。實驗的依據(jù)是2 個具有相同諧振頻率的物體能夠耦合，而與環(huán)境中的其他非諧振物體的相互作用很小，它的理論分析框架是“耦合模理論”。通過理論與實驗驗證，實現(xiàn)了中距離高效率的無線電能傳輸，這引起了全球的廣泛關(guān)注，再一次掀起了對于無線電能傳輸技術(shù)的研究熱潮。

目前，根據(jù)無線能量傳輸原理，可將其按傳輸方式分為三類[2-7]：電磁感應(yīng)式無線能量傳輸技術(shù)、輻射式無線能量傳輸技術(shù)和磁耦合諧振式無線能量傳輸技術(shù)。

而新型的磁耦合諧振式無線能量傳輸技術(shù)是利用2 個具有相同特定諧振頻率的電磁系統(tǒng)在相距一定的距離時，由于電磁耦合產(chǎn)生諧振，進行能量傳遞。一般來說，2 個有一定距離的電磁系統(tǒng)，相互之間是弱耦合；但若2 個系統(tǒng)的固有諧振頻率相同，則會產(chǎn)生強磁諧振；如果一方不斷為系統(tǒng)提供能量，而另一方消耗能量，則實現(xiàn)了能量的傳輸。由于采用共振原理[8-9]，與共振系統(tǒng)以外的物體之間相互作用很小，所以磁耦合諧振式無線能量傳輸技術(shù)是世界上無線輸電領(lǐng)域的前沿課題。雖然目前國內(nèi)外無線電能傳輸系統(tǒng)的產(chǎn)品已進入產(chǎn)業(yè)化階段，但遠距離、大功率以及高效率的產(chǎn)品尚處于基礎(chǔ)理論和實驗研究階段，若能研究出集安全、遠距離、大功率及高效率于一體的傳輸裝置，則該技術(shù)應(yīng)用前景將會更加巨大。本文主要研究基于磁耦合諧振的無線能量傳輸系統(tǒng)基本原理并建立無線能量傳輸?shù)南到y(tǒng)模型，確定數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出系統(tǒng)效率表達式；通過MATLAB/Simulink 仿真討論系統(tǒng)傳輸效率的影響因素，為后續(xù)實驗研究提供一定的參考。

1 磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)建模

線圈的等效電路是建立系統(tǒng)等效電路的基礎(chǔ)。本節(jié)建立通入高頻電流后的線圈等效電路模型，并確定各參數(shù)的計算方法，從而建立系統(tǒng)等效電路。

1.1 線圈等效電路

設(shè)線圈匝數(shù)為N，線圈半徑為r，線徑為a，當其中通過角頻率為ω 的交流電時，可將其等效為如圖1 所示的電路[10]。

圖1 線圈等效電路模型

線圈的電參數(shù)可分為電感量L，線路損耗R以及分布電容C。其中以電感量為主要參數(shù)，在實際應(yīng)用中要盡量減小損耗R；分布電容往往較小，只有在較高頻時才較為顯著。在采用集總參數(shù)進行計算時，也可將圖1 的電路簡化為電感與電阻的串聯(lián)電路。

改變線圈形狀（如方形、螺旋形等）、匝數(shù)、線圈材質(zhì)以及線徑，即可改變等效電路中的各參數(shù)，同時影響到交流電產(chǎn)生的磁場分布，其等效電感與等效電容根據(jù)電磁理論可分別通過式（1）、式（2）計算[11]：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；J（s）和J（s′）分別為場點和源點的空間電流密度；P（s）和P（s′）分別為場點和源點的電壓密度；ε0為真空介電常數(shù)；s 為場點到坐標原點的距離；s′為源點到坐標原點的距離；I0為電流強度；q0為點電荷。但是利用這種方法往往難于計算，對于特定形狀線圈可通過經(jīng)驗公式進行簡化運算。本文僅對多匝圓形線圈進行各個參數(shù)的計算。

對于N 匝線圈可通過式（3）計算電感：

對于高頻下的線圈而言，電路中電阻可分為兩部分，一部分是電流流經(jīng)線圈時發(fā)熱造成的電阻熱損耗；另一部分是交變電流產(chǎn)生交變電磁場，類似天線一樣，線圈會向外輻射電磁能，造成能量損失，此損耗亦可通過阻抗形式表現(xiàn)計算，稱為輻射電阻。

考慮到集膚效應(yīng)，損耗電阻計算表達式為[12]：

輻射電阻計算表達式為[11]：

式中：σ 為電導(dǎo)率；λ 為電磁波波長；l 為線圈長度。取N=4，r=0.2 m，輻射電阻Rard=97（f/108）4，當f=1 MHz 時，Rard=0.97×10-6Ω；當f=10 MHz時，Rard=9.7×10-3Ω；當f=50 MHz 時，Rard=6 Ω；當f=100 MHz 時，Rard=97 Ω?？梢?，頻率越高，線圈的輻射性越大，所以在通信領(lǐng)域，一般頻率都很高。由于本系統(tǒng)在實際運行中頻率范圍為1～10 MHz，輻射電阻非常小，因此相對線路損耗電阻往往可以忽略[13]。

1.2 系統(tǒng)等效電路

在2 個線圈形成的共振系統(tǒng)中，通過磁場共振，可以實現(xiàn)線圈之間的能量傳遞。利用線圈的電感與分布電容或是外加電容可以形成諧振回路。發(fā)射線圈與接收線圈設(shè)計為相同結(jié)構(gòu)，即使參數(shù)不完全相同，通過電容補償，接收線圈的自諧振頻率與發(fā)射線圈也保持一致。發(fā)射裝置與接收裝置中電感與電容均可為串聯(lián)諧振或并聯(lián)諧振電路。

圖2 串聯(lián)模式的磁場諧振耦合系統(tǒng)

串聯(lián)模式的磁耦合諧振式無線電能傳輸裝置系統(tǒng)模型如圖2 所示。其中，高頻電源產(chǎn)生與發(fā)射裝置所需的諧振頻率相同的正弦電流，并向發(fā)射裝置提供能量。高頻電流流經(jīng)發(fā)射線圈時，在其周圍產(chǎn)生與電流相同頻率的交變磁場，從而在接收線圈中感應(yīng)生成相同頻率的電流。由于接收線圈的自諧振頻率與產(chǎn)生的感應(yīng)電流頻率相同，從而接收線圈發(fā)生自諧振，同樣在接收線圈周圍產(chǎn)生交變的磁場，此磁場與發(fā)射線圈產(chǎn)生的磁場疊加，兩線圈之間通過磁場建立耦合關(guān)系，發(fā)射線圈與接收線圈形成共振系統(tǒng)，能量由發(fā)射線圈源源不斷傳遞到接收線圈，為了保證磁場可以盡可能穿過接收線圈，兩線圈應(yīng)同軸。

由于本文中關(guān)注的是能量從發(fā)射線圈到接收線圈之間的轉(zhuǎn)換效率，不考慮電源部分的損耗，因此在下面的分析中，將電源假想為理想電源，無損耗，那么就可以將系統(tǒng)中的功率分為3 部分：發(fā)射端的損耗功率PT，接收端的損耗功率PR，負載消耗功率PL，由此可以得出系統(tǒng)傳輸效率表達式為：

式（6）適用于各種耦合系統(tǒng)，由式（6）可知，提高耦合系數(shù)與損耗率的比例，有助于提高系統(tǒng)傳輸效率，但并不能得出影響效率的具體因素。下面從等效電路模型著手對其效率進行深入分析。

首先建立系統(tǒng)的等效電路模型[14]。1.1 小節(jié)已建立單個線圈模型，為便于計算，在以下分析中，采用集總參數(shù)，不考慮雜散參數(shù)，因此線圈等效為一個電感與電阻的串聯(lián)，通過外加電容形成諧振電路。本系統(tǒng)利用共振原理使發(fā)射線圈、接收線圈達到自諧振。其等效電路模型如圖3 所示。

圖3 等效電路模型

圖3 中，US表示高頻電源；Rt，Rr分別為發(fā)射線圈、接收線圈等效電阻；Lt，Lr為分別為發(fā)射線圈、接收線圈等效電感；Ct，Cr分別為發(fā)射線圈、接收線圈等效外加電容；RL為負載電阻；d為兩線圈之間的距離。

1.3 系統(tǒng)傳輸效率的影響因素

設(shè)發(fā)射線圈、接收線圈匝數(shù)分別為nt和nr，半徑分別為rt和rr，兩線圈各參數(shù)可一致，也可不同。

發(fā)射線圈與接收線圈阻抗分別為：

兩線圈之間會產(chǎn)生互感，軸心線同軸時其值可近似計算為[15]：

當線圈參數(shù)一致時，rt=rr=r，D=。

由此可計算兩線圈中電流：

進一步可得到效率計算表達式：

當兩線圈發(fā)生共振時，因為各個線圈自諧振，可得：

下面就從多個方面分析影響效率的因素，為便于分析，以下的運算中，認為發(fā)射線圈、接收線圈各參數(shù)一致，即Rt=Rr=R0。假設(shè)線圈參數(shù)、電流頻率與傳輸距離保持不變，則存在唯一變量RL，很容易求得最大效率條件：

此時最大效率表達式為：

最大效率條件也稱為阻抗匹配，最優(yōu)阻抗值取決于線圈阻抗損耗以及互感、頻率的大小，可見，在R0較小而ωM 較大即強耦合時，其最大效率可接近100%。通過對線圈選用合適的材料、尺寸，線路損耗R0往往相對負載較小，因此效率表達式可進一步近似為：

將互感表達式帶入式（16）可得：

由式（16）、式（17）知，除負載之外，影響系統(tǒng)效率的因素主要有系統(tǒng)頻率、線圈匝數(shù)、線圈半徑、線圈線徑（線圈損耗電阻）以及傳輸距離[16-17]。下面分析每個因素的影響效果[18-19]。

（1）由式（16）可知，當負載相對線路損耗較大時，負載電阻越大，系統(tǒng)的傳輸效率越低。

（2）隨著傳輸距離d 的增大，耦合系數(shù)減小，傳輸效率也降低。D6=r6（1+d2/r2）3，固定線圈半徑不變，改變傳輸距離。當d/r=1 時，D=8r6；當d/r=2時，D=125r6；當d/r=3 時，D=1 000r6?？梢?，隨著傳輸距離的增加，尤其在傳輸距離為半徑的2 倍之后，距離的變化會對效率產(chǎn)生較大的影響。

（3）當頻率以及距離一定時，對效率影響較大的參數(shù)就是線圈的線徑以及匝數(shù)。線圈的線徑主要影響線圈損耗電阻，受集膚效應(yīng)的影響，線圈中電流主要分布在線圈表層，線徑越大，線圈截面積越大，損耗電阻越小。由式（17）可知，K值的大小與匝數(shù)的4 次方、半徑的8 次方成正比，這2 個參數(shù)的變化會明顯改變K 值，繼而影響效率?？梢姡黾泳€徑和匝數(shù)是最為有效的提高效率的辦法。

（4）由式（17）可知，提高系統(tǒng)頻率也有利于提高傳輸效率。對于串聯(lián)線圈模型，其固有諧振頻率值取決于線圈等效電感以及外加串聯(lián)電容，其關(guān)系為f0=1/2π，所以對于不同的線圈，可以利用不同的外加補償電容來實現(xiàn)頻率的一致。

（5）從效率表達式中不能明顯地看出線圈位置對于系統(tǒng)傳輸效率的影響。基于磁耦合諧振的無線能量傳輸依靠的是磁場這一介質(zhì)，這個磁場由發(fā)射線圈與接收線圈共同產(chǎn)生的。由于磁場不是均勻分布在空間中，2 個線圈的位置必然影響到系統(tǒng)的傳輸效果。對于圓形線圈，磁場主要分布在線圈中心軸線上，因此，發(fā)射線圈與接收線圈平行同軸更有利于能量的傳輸。

2 MATLAB/Simulink 仿真分析

2.1 負載大小對效率的影響

由式（16）可知，負載電阻相對線路損耗較大時，負載電阻越大，系統(tǒng)的傳輸效率越低。現(xiàn)利用MATLAB/Simulink 對負載變化時的系統(tǒng)進行仿真，分析其效率，驗證理論分析的正確性。

取線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，線圈匝數(shù)N=4，外加電容C=1.0 nF。

根據(jù)式（3）—式（5）和式（9），計算得線圈電感值：

線圈損耗電阻：

輻射電阻：

接收線圈與發(fā)射線圈之間的互感：

由此得到不同傳輸距離d 對應(yīng)的M 值，如表1 所示。

表1 不同傳輸距離d 對應(yīng)的互感M 值

由ω0=得電源頻率f=0.945 9 MHz，仿真電源電壓峰值取100 V。

當傳輸距離d=30 cm，負載RL變化時，系統(tǒng)傳輸效率η 的理論值和仿真值如表2 所示，轉(zhuǎn)換成效率曲線如圖4 所示。

表2 負載變化時效率的理論值與仿真值

圖4 負載變化時效率的理論值和仿真值曲線

由圖4 可知，負載變化時，傳輸效率的理論值和仿真值具有很好的一致性，尤其是在負載電阻相對較大時，仿真結(jié)果驗證了理論分析的正確性。另外，從圖4 中還可以明顯看出負載對效率的影響關(guān)系，即負載電阻越大，系統(tǒng)效率越低。

2.2 傳輸距離對效率的影響

由式（16）知，隨著傳輸距離的增大，由于耦合系數(shù)減小，系統(tǒng)的傳輸效率也降低。尤其在傳輸距離為半徑的2 倍之后，距離的變化會對效率產(chǎn)生較大的影響?，F(xiàn)對傳輸距離變化時的系統(tǒng)進行仿真，分析其傳輸效率，驗證理論分析的正確性。

假設(shè)其他因素不變，改變系統(tǒng)傳輸距離，仿真時即是改變線圈間的互感M。負載RL取10 Ω，傳輸距離d 變化時，系統(tǒng)傳輸效率η 的理論值和仿真值結(jié)果如表3 所示，轉(zhuǎn)換成效率曲線如圖5所示。

表3 傳輸距離變化時效率的理論值與仿真值

圖5 傳輸距離變化時效率的理論值與仿真值曲線

由圖5 可知，傳輸距離變化時系統(tǒng)傳輸效率的理論值和仿真值具有很好的一致性，尤其是在傳輸距離較大時，仿真結(jié)果驗證了理論分析的正確性。另外，由圖5 還可以明顯地看出傳輸距離對系統(tǒng)傳輸效率的影響關(guān)系，即傳輸距離越大，系統(tǒng)的傳輸效率越低，特別是在傳輸距離大于2倍線圈半徑時，系統(tǒng)傳輸效率下降尤其明顯。

2.3 系統(tǒng)頻率對效率的影響

系統(tǒng)頻率對效率的影響分為系統(tǒng)電源頻率與系統(tǒng)自然諧振頻率相同和不同2 種情況。

2.3.1 電源頻率與系統(tǒng)自然諧振頻率相同

取線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，線圈匝數(shù)N=4。通過改變外加電容的值改變系統(tǒng)自然共振頻率。傳輸距離取40 cm，負載RL取30 Ω，電源電壓峰值為100 V，電源頻率同系統(tǒng)自然諧振頻率。不同外加電容時諧振頻率值見表4。

表4 不同外加電容時諧振頻率

諧振頻率變化時效率的理論值與仿真值如表5 所示，轉(zhuǎn)換成效率曲線如圖6 所示。

表5 諧振頻率變化時效率的理論值和仿真值

由圖6 可知，傳輸距離變化時系統(tǒng)傳輸效率的理論值和仿真值具有非常好的一致性，仿真結(jié)果驗證了理論分析的正確性。另外，從圖6 中還可以明顯地看出系統(tǒng)頻率對系統(tǒng)傳輸效率的影響關(guān)系，即系統(tǒng)頻率越大，系統(tǒng)的傳輸效率越高。

圖6 諧振頻率變化時效率的理論值和仿真值曲線

2.3.2 電源頻率與系統(tǒng)自然諧振頻率不同

取線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，線圈匝數(shù)N=4。外加電容的值取1 nF，系統(tǒng)的自然諧振頻率固定為0.945 9 MHz。傳輸距離取40 cm，負載RL取30 Ω，電源電壓峰值取100 V。

仿真時改變系統(tǒng)電源頻率，經(jīng)過仿真與計算，得到不同電源頻率時傳輸效率的仿真值如表6 所示，轉(zhuǎn)換成效率曲線如圖7 所示。

表6 系統(tǒng)電源頻率變化時效率的仿真值

圖7 電源頻率變化時系統(tǒng)傳輸效率仿真值曲線

由圖7 可知，電源頻率變化時，傳輸效率變化十分明顯。圖7 中效率極大值點是電源頻率與系統(tǒng)自然諧振頻率相等時取得。當電源頻率與系統(tǒng)自然諧振頻率不等時，兩者之差有些微小變化，傳輸效率就急劇下降。所以，系統(tǒng)運行過程中保持電源頻率與諧振頻率相等是十分必要的。

2.4 線圈尺寸對效率的影響

線圈尺寸參數(shù)包括線圈形狀、線圈半徑、線圈匝數(shù)、線圈材料、線徑以及線圈實現(xiàn)方式（單股、多股并聯(lián)）等。線圈形狀影響了磁場的分布情況及電感，線圈材料以及線圈實現(xiàn)方式會影響線圈等效阻抗（線圈的電路品質(zhì)因數(shù)）。前文1.4 小節(jié)的理論分析均是基于單股多匝圓形線圈模型，所以仿真中只討論線徑、線圈半徑以及線圈匝數(shù)對系統(tǒng)傳輸效率的影響。

2.4.1 線圈匝數(shù)、半徑及線徑對線圈參數(shù)的影響

保持頻率為0.945 9 MHz 不變，線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，改變線圈匝數(shù)N。改變線圈匝數(shù)會改變線圈電感，因此要進行電容匹配。傳輸距離取40 cm，線圈匝數(shù)變化時各相關(guān)參數(shù)變化情況如表7 所示。

表7 線圈匝數(shù)變化時各相關(guān)參數(shù)值

保持頻率為0.945 9 MHz 不變，線圈線徑a=1.4 mm，線圈匝數(shù)N=4，改變線圈半徑r。改變線圈半徑會改變線圈電感，因此要進行電容匹配。傳輸距離取40 cm，線圈半徑變化時各相關(guān)參數(shù)變化情況如表8 所示。

表8 線圈半徑變化時各相關(guān)參數(shù)值

當保持頻率為0.945 9 MHz 不變時，取線圈半徑r=20 cm，線圈匝數(shù)N=4，改變線圈線徑a。改變線圈線徑會改變線圈損耗電阻，因此要進行電容匹配。傳輸距離取40 cm，線圈匝數(shù)變化時各相關(guān)參數(shù)變化情況如表9 所示。

表9 線圈匝數(shù)變化時各相關(guān)參數(shù)值

2.4.2 線圈參數(shù)對效率的影響

負載RL取30 Ω，電源電壓峰值為100 V。通過仿真與計算，線圈匝數(shù)N 變化時效率的理論值與仿真值如表10 所示，線圈半徑r 變化時系統(tǒng)的傳輸效率的理論值與仿真值如表11 所示，線圈線徑a 變化時效率的理論值與仿真值如表12 所示。

表10 線圈匝數(shù)變化時效率的理論值與仿真值

表11 線圈半徑變化時效率的理論值與仿真值

由表10—表12 可知，線圈匝數(shù)變化時，系統(tǒng)傳輸效率的理論值和仿真值具有非常好的一致性，仿真結(jié)果驗證了理論分析的正確性。另外，從表10還可以明顯地看出線圈匝數(shù)對系統(tǒng)傳輸效率的影響關(guān)系，即線圈匝數(shù)越多，線圈半徑越大，線圈線徑越大，系統(tǒng)的傳輸效率越高。因此，改變線圈參數(shù)可以明顯提高傳輸效率。

3 結(jié)語

本文詳細分析了磁耦合諧振式無線電能傳輸技術(shù)的機理，對其模型進行了分析，并建立系統(tǒng)等效模型，得到系統(tǒng)傳輸效率公式，從而得出了影響系統(tǒng)傳輸效率的因素，包括：負載阻抗、系統(tǒng)頻率、線圈線徑、線圈半徑、線圈匝數(shù)、線圈位置和傳輸距離。根據(jù)理論分析得到影響效率的各個因素，通過MATLAB/Simulink 逐一仿真驗證了這些因素對效率的影響效果，為后續(xù)研制遠距離、大功率及高效率的無線電能傳輸系統(tǒng)提供理論依據(jù)和發(fā)展方向。