李 琦，李 婧，蔣增強，邊靖媛

(北京交通大學(xué) 機械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

0 引言

系統(tǒng)在完成本身預(yù)定功能的同時會受多種因素影響，這些影響造成了系統(tǒng)性能的緩慢退化。當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)降低到一定閾值時，便無法保證其安全運行，應(yīng)停止運行并進(jìn)行系統(tǒng)(或部件)維修或替換。針對緩慢退化系統(tǒng)進(jìn)行維修策略優(yōu)化有兩方面研究內(nèi)容：①對系統(tǒng)的緩慢退化過程進(jìn)行建模，尋找其內(nèi)在規(guī)律；②根據(jù)退化規(guī)律進(jìn)行維修策略優(yōu)化，包括確定維修時間、維修方式和替換方法等。

近些年，學(xué)者們對緩慢退化系統(tǒng)的維護(hù)和更換問題進(jìn)行了廣泛研究。Love等[1]在半Markov決策過程(Semi-Markov Decision Process，SMDP)框架中分析了相關(guān)維修模型，考慮了可能發(fā)生故障的機器(系統(tǒng))的狀態(tài)特征，包括機器的真實役齡和已發(fā)生的故障數(shù)量；Castanier等[2]研究了可修復(fù)系統(tǒng)的連續(xù)監(jiān)測退化狀態(tài)維護(hù)策略，提出多閾值策略，利用維持系統(tǒng)狀態(tài)的半再生(或Markov更新)特性構(gòu)建了穩(wěn)態(tài)下維護(hù)系統(tǒng)的隨機模型；Leve等[3]研究了使用預(yù)防性維修策略和替換性維修策略來優(yōu)化隨機退化系統(tǒng)的維護(hù)問題，提出并分析了Markov決策過程模型，其維修目標(biāo)是最大限度地減少預(yù)期折扣成本?？梢?，Markov過程是進(jìn)行維護(hù)策略優(yōu)化的重要技術(shù)框架。在計算方法方面，Moustafa等[4]采用了策略迭代算法，并對該算法和次優(yōu)控制限制方法進(jìn)行比較；Kim等[5]為了計算最優(yōu)策略，開發(fā)了一種新的改進(jìn)策略迭代算法，該算法使用Leve等[3]提出的嵌入式技術(shù)，減少了狀態(tài)空間的計算量。

在Markov過程的框架內(nèi)，諸多學(xué)者也在研究采樣頻率、退化規(guī)律建模等內(nèi)容。Zhou等[6]采用基于蒙特卡洛密度投影方法將無限連續(xù)的狀態(tài)空間映射到有限的“信念”狀態(tài)空間中，然后在Markov決策過程中將其離散化，以確定最優(yōu)維護(hù)策略；Wang等[7]研究了基于Weibull隨機效應(yīng)斜率和獨立同分布誤差項的線性退化模型，得出最優(yōu)控制極限和監(jiān)測間隔時長；Curcurù等[8]描述了具有漂移的一階自回歸模型的退化過程，并將其視為Markov退化過程；基于此，Tang等[9]提出利用具有時效性的自回歸模型描述系統(tǒng)的退化過程，然后使用SMDP框架計算最優(yōu)維護(hù)策略，并利用條件監(jiān)測信息推導(dǎo)出緩慢退化的軟故障系統(tǒng)的剩余壽命估算公式。由此可見，基于Markov決策過程(Markov Decision Process，MDP)及其分支理論SMDP的緩慢退化系統(tǒng)維修研究，正在向各個方向延伸完善，其中有關(guān)維修策略優(yōu)化過程中遇到的采樣不完全、采樣成本高等問題的研究越來越切合實際。一般而言，解決這類問題需要據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理，采用復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，其中適用于緩慢退化系統(tǒng)的基于SMDP的最優(yōu)化維修策略模型是較為合適的方法之一，隨著機器學(xué)習(xí)和人工智能的發(fā)展，該方法的求解算法逐漸成熟。

本研究采用基于SMDP的方法作為針對緩慢退化系統(tǒng)的退化過程進(jìn)行最優(yōu)化維修策略建模的技術(shù)框架。但是與以往研究不同的是，本研究著重考慮退化過程中不同個體的異質(zhì)性，使用線性混合效應(yīng)模型(Linear Mixed-Effects Model，LMEM)擬合分析緩慢退化系統(tǒng)的狀態(tài)[10]，既考慮總體退化的一般性(固定效應(yīng))，也考慮個體退化的特殊性(隨機效應(yīng))。據(jù)此求解狀態(tài)轉(zhuǎn)化概率，找到維修或替換策略的合理極限值，制定最優(yōu)化維修策略，并最小化單位時間長期預(yù)計平均成本，從而使得系統(tǒng)效益最大化，推動系統(tǒng)向高可靠性方向發(fā)展。

1 半Markov決策過程基礎(chǔ)理論

緩慢退化系統(tǒng)的狀態(tài)維修是將連續(xù)的退化過程離散成有限的退化狀態(tài)，通過檢測判定系統(tǒng)所處的退化狀態(tài)，從而采取相應(yīng)的維修策略。描述離散狀態(tài)退化過程的經(jīng)典方法包括Markov決策過程、半Markov決策過程等。

1.1 Markov決策過程

設(shè)X(t)(t≥0)是取值在空間S={1,2,…,N}上的一個隨機過程，若對任意自然數(shù)n及任意n個時刻點0≤t1

P{X(tn)=zn|X(t1)=z1,…,X(tn-1)

=zn-1}=P{X(tn)=zn|X(tn-1)

=zn-1},z1,…,zn∈E

(1)

成立，則稱X(t)(t≥0)是離散狀態(tài)空間S上的連續(xù)時間Markov過程。若給定Markov過程X(t)(t≥0)當(dāng)前所處的狀態(tài)，則未來狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，而與歷史狀態(tài)無關(guān)，這一特性稱為Markov過程的無記憶性。MDP是基于Markov過程理論的隨機動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)決策過程，決策者周期或連續(xù)地觀測隨機動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，并依次做出決策。MDP主要包括狀態(tài)s、行動a、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P(s,a)、報酬R(s,s′,a)和目標(biāo)V[11]，因此可以用五元組{S,A(i),Pij(i,a),R(i,a),V}表示Markov決策過程。

1.2 半Markov決策過程

由1.1節(jié)的定義可知，MDP只考慮各個狀態(tài)之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，忽略了系統(tǒng)在不同狀態(tài)內(nèi)的不同持續(xù)時間。然而，在實際系統(tǒng)運行過程中，系統(tǒng)在某一狀態(tài)內(nèi)往往會持續(xù)一段(不同的)時間，由此產(chǎn)生了SMDP，其與MDP的主要區(qū)別是考慮了設(shè)備處在各個狀態(tài)的平均停留時間。

對平穩(wěn)狀態(tài)持續(xù)時間做如下定義：假設(shè)t1,t2,為半Markov隨機過程X(t)(t≥0)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移時刻，且滿足0≤t1

圖中，在狀態(tài)S下，決策者可以選擇任意一個行動a對系統(tǒng)做出決策；作為對行動a的響應(yīng)，系統(tǒng)會根據(jù)一定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P(s,a)，并經(jīng)過一定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移時間T(i,a)轉(zhuǎn)移到一個新的狀態(tài)S′，同時作為回報，系統(tǒng)會給決策者一個報酬R(s,s′,a)。在系統(tǒng)處于新狀態(tài)S′的條件下，決策者會采取新的決策，并不斷重復(fù)執(zhí)行，直到系統(tǒng)在預(yù)設(shè)目標(biāo)V下達(dá)到最優(yōu)。

1.3 退化模型的選擇

構(gòu)建緩慢退化系統(tǒng)的SMDP模型時，系統(tǒng)狀態(tài)往往以時間維度的退化數(shù)據(jù)來展現(xiàn)[12-13]，目前常用的退化模型包括退化軌跡模型、退化量分布模型、Gamma過程模型、Wiener過程模型等[14]，綜合幾種退化模型的特征可以發(fā)現(xiàn)：①這些模型在模擬時通常假設(shè)誤差服從獨立同分布，然而實際的觀測數(shù)據(jù)很難滿足這種條件，這種假設(shè)對估計結(jié)果有很大影響；②過去大多數(shù)模型關(guān)心的是研究對象的確定性模型和平均行為，忽略了個體之間或者群體之間的序列相關(guān)性和差異性；③很多退化數(shù)據(jù)都是對固定區(qū)域的不同觀測對象在一定時間內(nèi)或者不同條件下進(jìn)行多次觀測得到，這些縱向以及重復(fù)性觀測數(shù)據(jù)普遍存在空間和時間上的序列相關(guān)性，以往的模型估計方法因未考慮這些相關(guān)性而影響了退化模型的準(zhǔn)確性。時間序列分析是根據(jù)系統(tǒng)觀測得到的時間序列數(shù)據(jù)，通過曲線擬合和參數(shù)估計來建立數(shù)學(xué)模型的理論和方法[13]，因此本文采用帶有時間序列的混合效應(yīng)模型描述退化過程?；旌闲?yīng)模型由固定效應(yīng)和隨機效應(yīng)兩部分組成，既可以反映總體的平均變化趨勢，又可以提供數(shù)據(jù)方差、協(xié)方差等多種信息來反映個體之間的差異，而且在處理連續(xù)觀測數(shù)據(jù)空間和時間上的序列相關(guān)性等問題時具有其他模型無法比擬的優(yōu)勢。

在傳統(tǒng)回歸的基礎(chǔ)上添加隨機效應(yīng)，構(gòu)建如下完整的線性混合效應(yīng)模型[15-16]：

(2)

以本文采用的激光退化數(shù)據(jù)集為例，通過模型比較后發(fā)現(xiàn)，對基礎(chǔ)模型進(jìn)行異方差調(diào)節(jié)前后不存在統(tǒng)計學(xué)差異，而采用自相關(guān)調(diào)節(jié)可顯著改善模型，因此只在基礎(chǔ)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行自相關(guān)調(diào)節(jié)。最終確定的激光退化(運行電流增長量)和運行時間之間的混合效應(yīng)模型如式(3)所示，其中：下標(biāo)m表示誤差的方差—協(xié)方差矩陣中含有的激光退化集的個數(shù)，n表示每個激光退化集觀測值的個數(shù)。

εi～N(0,Ri);

(3)

根據(jù)混合效應(yīng)模型的假設(shè)，退化過程中任意觀測點退化量的分布均滿足正態(tài)分布，因此系統(tǒng)從當(dāng)前退化狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一退化狀態(tài)的條件概率也滿足正態(tài)分布。已知現(xiàn)有系統(tǒng)狀態(tài)，對下次監(jiān)測時的退化量所服從的條件概率分布的均值和方差的推導(dǎo)過程如下：

假設(shè)從0時刻的初始狀態(tài)Y0=y0開始檢測，通過定期檢查的方式進(jìn)行監(jiān)測取樣，檢查間隔為h，當(dāng)前退化量為

yn=antn+b+εn，

(4)

則下一時刻的退化量為

由此可得從當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一狀態(tài)的條件概率均值和方差分別為：

E(yn+1|yn)=h·E(an)+yn;

Var(yn+1|yn)=h2·Var(an)+2σ2-2ρ·σ2。

(6)

即給定當(dāng)前狀態(tài)退化量yn，下一時刻退化量的條件概率分布滿足

yn+1|yn～N(h·E(an)+yn,h2·

Var(an)+2σ2-2ρ·σ2)，

(7)

該分布可用于后期構(gòu)建基于SMDP模型的狀態(tài)集并求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

1.4 最優(yōu)維修策略求解方法

求解最優(yōu)維修策略的方法包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、策略迭代算法、值迭代算法和極限控制算法等，SMDP在求解過程中常采用值迭代法和策略迭代法[17]。策略迭代法考慮系統(tǒng)處在每個狀態(tài)所采取的維修決策的組合，與系統(tǒng)的運行時間無關(guān)；策略迭代算法是求解SMDP的基本方法之一，主要包括“策略評價”和“策略改進(jìn)”兩部分，策略評價是通過線性方程組獲得某策略各個狀態(tài)相應(yīng)的準(zhǔn)則值及其單位期望成本，策略改進(jìn)是通過迭代不斷更新當(dāng)前策略來產(chǎn)生收斂的決策序列，從而找到最優(yōu)策略。策略迭代算法的具體實現(xiàn)過程是在初始策略的基礎(chǔ)上，根據(jù)最優(yōu)方程求解出每個狀態(tài)相應(yīng)的準(zhǔn)則值和單位期望成本，然后通過最小化準(zhǔn)則值改進(jìn)策略，并與改進(jìn)后的準(zhǔn)則值作比較，按照該流程反復(fù)迭代，直到兩次結(jié)果相同為止，此時的策略即為最優(yōu)維修策略。本文采用策略迭代法作為求解算法。

2 基于SMDP的維修策略模型研究

本章對SMDP的模型假設(shè)、模型構(gòu)建、算法實現(xiàn)進(jìn)行簡要闡述，詳細(xì)論述和推導(dǎo)過程可參見文獻(xiàn)[9,17-19]。

2.1 SMDP模型基本假設(shè)

模型研究是對實際過程的抽象和簡化，本文有如下假設(shè)：

(1)系統(tǒng)從新造狀態(tài)向最終失效狀態(tài)的緩慢退化過程不可逆，假設(shè)初始狀態(tài)為完好狀態(tài)，失效閾值ω之后為失效狀態(tài)，則二者之間為系統(tǒng)正常運行狀態(tài)。

(2)因為退化不可逆(不可修復(fù))，所以設(shè)置各狀態(tài)下有更換和不修不換(繼續(xù)運行)兩種可選決策，在執(zhí)行更換后，系統(tǒng)恢復(fù)到新造狀態(tài)。

(3)隨著時間的推移，系統(tǒng)失效風(fēng)險逐步增大，即運行狀態(tài)的超限風(fēng)險增大，系統(tǒng)故障的風(fēng)險也增大，因此引入失效懲罰成本來表征這一特征。

2.2 SMDP模型構(gòu)建流程

SMDP模型的構(gòu)建過程，即為六元組中各元素的確定過程。

2.2.1 狀態(tài)集

狀態(tài)集指緩慢退化系統(tǒng)在自然退化過程狀態(tài)、實施過不同維修后的狀態(tài)和完全故障狀態(tài)等所有狀態(tài)的集合。假設(shè)激光器退化過程中電流的最大增長量為4%，激光器發(fā)生失效的閾值ω=3.875%，初始狀態(tài)Y0=y0，以固定間隔Δ將連續(xù)狀態(tài)空間[y0,ω)劃分為等區(qū)間(將混合效應(yīng)模型描述的連續(xù)性退化過程離散成L個狀態(tài))，并設(shè)定[ω,4)為失效狀態(tài)，則退化過程的狀態(tài)數(shù)為

L+1=(ω-y0)/Δ+1。

(8)

定義k∈{1,2,…,L+1}為退化量y的離散化狀態(tài)，其中狀態(tài)1為新造狀態(tài)，狀態(tài)L+1為失效狀態(tài)，狀態(tài)2,…,L為系統(tǒng)退化過程狀態(tài)，因此狀態(tài)空間可以表示為S={1,2,…,L+1}。若yk表示狀態(tài)k下的退化量，則

(9)

當(dāng)監(jiān)測到系統(tǒng)處于失效狀態(tài)[ω,4)時，需要立即進(jìn)行更換。

2.2.2 行動集

行動集與最優(yōu)決策的選擇相關(guān)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化時，應(yīng)根據(jù)當(dāng)前時刻的狀態(tài)做出適當(dāng)?shù)木S修行為。定義A(k)為行動集，a(k)為系統(tǒng)處于狀態(tài)k時所采取的維修行為，本研究設(shè)置更換和不修不換(正常運行)兩種維修行為，則a(k)∈{1,2}，其中a(k)=1表示不修不換，a(k)=2表示更換。退化過程中每個系統(tǒng)狀態(tài)的可選行動集不同，行動集

(10)

2.2.3 逗留時間

逗留時間τ(k,a(k))表示系統(tǒng)處于狀態(tài)k時采取維修行為a(k)后轉(zhuǎn)移到下一個狀態(tài)的時間的數(shù)學(xué)期望。假設(shè)更換激光器的停機時間和更換時間可忽略不計，檢測周期為h，則狀態(tài)逗留時間為h，具體表示為

(11)

2.2.4 報酬函數(shù)

期望報酬函數(shù)c(k,a(k))表示系統(tǒng)采取維修行為a∈A時，狀態(tài)k轉(zhuǎn)移到下一個狀態(tài)的成本。因為退化量在下一個檢測周期內(nèi)超過失效閾值會增加故障風(fēng)險，從而導(dǎo)致較高的失效成本，所以本文采用懲罰成本刻畫退化過程中超過失效閾值對單位期望成本的影響。若當(dāng)前檢測點的激光退化量yk<ω，下一個檢測點的退化量yk+1有一定的概率超過失效閾值，則產(chǎn)生一定的懲罰成本，反之懲罰成本為0。文獻(xiàn)中用到的懲罰函數(shù)多為指數(shù)函數(shù)，且與失效概率函數(shù)有關(guān)[16]，因此期望懲罰成本函數(shù)可表示為

(12)

式中：c為懲罰系數(shù)，f(yt)為失效概率函數(shù)。本文的報酬函數(shù)包括檢測成本Ci、更換成本Cr和懲罰成本Cp，則系統(tǒng)在狀態(tài)k下選擇某一維修行為a(k)的成本為

(13)

2.2.5 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

SMDP模型中退化轉(zhuǎn)移過程滿足Markov性，即無記憶性，在狀態(tài)空間S={1,2,…,L+1}時，正常運行和更換狀態(tài)下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分別做如下定義：

(1)正常運行的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

(14)

(2)更換的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

(15)

2.2.6 準(zhǔn)則函數(shù)

準(zhǔn)則函數(shù)Vk(Q)為策略Q下狀態(tài)k的準(zhǔn)則值。在策略Q下，每個狀態(tài)的最優(yōu)方程為

τ(k,a(k))g(Q)+Vk(Q)=c(k,a(k))+

(16)

本文以單位期望成本最低為優(yōu)化目標(biāo)，利用式(16)的優(yōu)化方程進(jìn)行反復(fù)迭代，最終確定最優(yōu)維修策略。

2.3 SMDP模型求解算法的實現(xiàn)

本文采用策略迭代算法對SMDP模型進(jìn)行求解，策略迭代算法的思想為：任意選定一個初始策略，通過引入變量進(jìn)行下一個具有更低長期預(yù)計成本的新策略，如果新策略的成本率比原方案低則繼續(xù)進(jìn)行迭代計算，如果新維修策略的成本率與原方案相同則停止迭代，此時的成本率即為最佳成本率，最后得到的策略即為要選擇的最佳維修策略。策略迭代算法的流程如圖2所示。

具體步驟描述如下：

步驟1設(shè)置初始策略R1。策略集R為各個退化狀態(tài)對應(yīng)的維修決策集合，Rq={a1,a2,…,aL+1}，ak∈A(k),1≤k≤L+1，其中q為迭代次數(shù)。

步驟3策略改進(jìn)。根據(jù)步驟2求得的準(zhǔn)則值，通過最小化每個狀態(tài)的準(zhǔn)則值Vk(Rq)選擇新的策略Rq+1，即用滿足式(17)的決策替換原來的決策，從而形成新的維修策略。

g(Rq)τ(k,a(k))]。

(17)

重復(fù)步驟2和步驟3并依次迭代，直到Rq+1=Rq時停止迭代，此時的策略R′即為最優(yōu)策略，同時得到該策略下的單位期望成本g(R′)和各退化狀態(tài)相應(yīng)的維修決策。

3 實例驗證

本文采用Meeker和Escobar提出的GaAs激光緩慢退化系統(tǒng)作為案例[9]，以最小化單位時間期望成本為目標(biāo)，對提出的SMDP模型進(jìn)行驗證和說明。該激光退化數(shù)據(jù)集包括13個GaAs激光器退化歷史數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖3所示。

在GaAs激光器的使用壽命期內(nèi)，工作電流的增加由激光器的系統(tǒng)退化引起，當(dāng)工作電流增加到一定閾值時認(rèn)為該激光器失效。在該數(shù)據(jù)組中，每隔20 h測量一次工作電流，直到4 000 h為止。文中使用的激光退化集需要先設(shè)定一個需要更換的維修極限值，以制定相對保守的維修策略，從而保證系統(tǒng)在達(dá)到故障狀態(tài)后不會發(fā)生安全問題，因此假設(shè)激光器退化過程中電流的最大增長量為4%[9]，失效閾值為3.875%。

3.1 模型參數(shù)設(shè)置

在退化建模階段，涉及的模型參數(shù)包括斜率的固定效應(yīng)和隨機效應(yīng)系數(shù)、截距的固定效應(yīng)系數(shù)、殘差方差以及時間序列自相關(guān)系數(shù)等，利用R語言可以對這些退化模型參數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計，并將帶有一階自回歸(AR(1))調(diào)節(jié)的混合效應(yīng)模型與傳統(tǒng)線性回歸模型和基礎(chǔ)線性混合效應(yīng)模型進(jìn)行比較。

(1)比較傳統(tǒng)線性回歸模型和基礎(chǔ)混合效應(yīng)模型，繪制兩種模型的殘差箱線圖，如圖4a和圖4b所示。

從圖4可以看出，傳統(tǒng)線性回歸模型的殘差比較分散，且在0值兩側(cè)波動范圍較大，而基礎(chǔ)混合效應(yīng)模型的殘差集中分布在0值左右，且波動范圍較小，說明后者在一定程度上減小了個體層面估計的誤差，證明了在存在個體異質(zhì)性的情況下，混合效應(yīng)模型優(yōu)于傳統(tǒng)線性回歸模型。

(2)在上述比較基礎(chǔ)上對帶有一階自回歸的混合效應(yīng)模型與基礎(chǔ)線性混合效應(yīng)模型進(jìn)行比較，似然比檢驗指標(biāo)如表1所示。

選擇赤池信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion，AIC)、貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion，BIC)最小且對數(shù)似然函數(shù)(Loglik)值最大的模型作為最優(yōu)模型[16]，從表1可以看出本文采用帶有一階自回歸調(diào)節(jié)的線性混合效應(yīng)模型的AIC和BIC值較小，且其Loglik值較大，似然比檢驗中P<0.000 1，通過了顯著性檢驗，說明采用帶有一階自回歸調(diào)節(jié)的混合效應(yīng)模型擬合效果更好。因此，本文采用退化模型的參數(shù)估計值更加精確，將其帶入式(6)，求得已知當(dāng)前狀態(tài)時下一狀態(tài)的條件概率均值和方差，進(jìn)一步可根據(jù)式(14)求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。

本文大部分參數(shù)設(shè)置與Tang等[9]模型中的參數(shù)保持一致，即更換成本為$1 000，檢測成本為$1，檢查周期為20 h，假設(shè)更換時間和停機時間均可忽略。不同的是，懲罰成本通過懲罰函數(shù)表示，并設(shè)置期望懲罰成本的系數(shù)為1.72。固定間隔長度為0.061 5，則最終劃分的狀態(tài)數(shù)為64個。另外，從狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可以看出，對于每個激光器而言，前59次檢查過程中失效的概率不超過0.1，因此在決策過程中設(shè)置前59次不進(jìn)行檢測，即首次檢查時間為1 180 h。

根據(jù)上述分析，維修策略的各參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表1 退化模型比較結(jié)果

表2 模型輸入?yún)?shù)表

3.2 維修策略優(yōu)化

設(shè)置初始迭代條件，策略迭代次數(shù)q=1，初始策略為

將表2中各參數(shù)帶入第2.3節(jié)的策略迭代算法中，在MATLAB軟件下，對基于SMDP的策略迭代算法進(jìn)行求解，可得激光器的預(yù)防性更換控制界限，并得到維修優(yōu)化模型的求解結(jié)果，如圖5所示。

從圖5可見單位期望成本的變化過程，迭代到第4次時得到維修優(yōu)化策略，最低單位期望成本為$0.622 94，根據(jù)式(9)可得激光器的預(yù)防性更換閾值為3.751 5%，即在激光退化過程中，當(dāng)運行電流增長量達(dá)到原始值的3.751 5%時進(jìn)行更換。

3.3 模型比較

本節(jié)將所提基于SMDP的系統(tǒng)維修策略與文獻(xiàn)[9]基于役齡的系統(tǒng)維修策略和周期檢查模型進(jìn)行比較分析。傳統(tǒng)的基于役齡的維修策略模型采用失效時間的特定分布來計算預(yù)先設(shè)定執(zhí)行替換的時間，在退化的全過程中只執(zhí)行一次檢查，并在檢查時確定進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)(Preventive Maintenance，PM)還是糾正維護(hù)(Corrective Maintenance，CM)。而周期檢查模型是按固定的時間間隔對退化過程進(jìn)行檢測，并設(shè)定合理的預(yù)防性替換維修閾值，在每次檢測后作出適當(dāng)?shù)木S修決策。將3種維修策略應(yīng)用于激光退化案例(使用相同的激光退化模型參數(shù))，比較結(jié)果如表3所示。

表3 模型對比結(jié)果

續(xù)表3

通過表3可以發(fā)現(xiàn)，相比于固定周期檢查模型，本文所提模型具有相同的檢查時間間隔，但是總檢查數(shù)減少了797次，大大節(jié)省了檢測成本，而且減少了檢測過程對激光器帶來的損傷。相比于基于役齡的模型，本文模型具有相同的首次檢查時間，但是總體運行時間延長了4 240 h，總成本也有所降低。綜上所述，本文基于SMDP的維修決策模型具有一定的成本優(yōu)勢，并且具有較強的可擴展性，更貼近實際的退化過程。

4 結(jié)束語

本文考慮退化過程中不同個體的異質(zhì)性以及重復(fù)測量在時間上的相關(guān)性等問題，應(yīng)用線性混合效應(yīng)模型對緩慢退化系統(tǒng)的退化過程進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上分析了系統(tǒng)進(jìn)入各種狀態(tài)下的狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率，求解了狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率矩陣；針對緩慢退化系統(tǒng)構(gòu)造了狀態(tài)空間、行動空間、期望成本和平均逗留時間，設(shè)計了基于半Markov決策過程的動態(tài)規(guī)劃模型并進(jìn)行求解。實例研究結(jié)果表明，本文方法可以降低成本率，延長系統(tǒng)使用時間，具有較低的單位時間成本，有助于確定系統(tǒng)更換的極限值，盡早對系統(tǒng)故障做出反應(yīng)，從而提高系統(tǒng)的安全性和可靠性，降低系統(tǒng)的維修和等待成本。

鑒于本文還存在諸多不足，目前正在進(jìn)行拓展研究。一方面，研究針對個體的退化規(guī)律，將現(xiàn)有的混合效應(yīng)模型與貝葉斯更新的方法相結(jié)合；另一方面，研究針對個體的維修策略優(yōu)化，考慮建立包括退化時間與退化量的高維Markov決策過程，以適應(yīng)多維數(shù)據(jù)特征和個體退化過程，提高預(yù)測精度和決策的可靠性。