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        給定度序列的雙圈圖的極值圖

        2020-03-17 03:48:28邵燕靈
        關(guān)鍵詞:單圈鄰點最大化

        楊 楊,邵燕靈

        (中北大學(xué) 理學(xué)院,山西 太原 030051)

        0 引 言

        本文研究的所有圖均為簡單連通圖. 設(shè)G=(V,E)是頂點集為V(G)={v1,v2,…,vn},邊集合為E(G)的圖. 設(shè)v∈V(G),用N(v)表示點v的鄰點集合,d(v)表示點v的度,稱(d(v1),d(v2),…,d(vn))為圖G的度序列. 給定一個非負整數(shù)序列π,如果存在一個簡單連通圖G使得G的度序列為π,則稱π為可圖度序列. 本文給定的度序列均為非遞增序列π=(d0,d1,…,dn-1). 一個含有n個頂點n條邊的簡單連通圖稱為單圈圖; 含有n個頂點n+1條邊的簡單連通圖稱為雙圈圖[1-2]. 用gπ表示所有度序列為π的簡單連通圖的集合,Uπ表示所有度序列為π的單圈圖的集合,Bπ表示所有度序列為π的雙圈圖的集合.

        (1)

        式中:f(x,y)為定義在N×N上的一個二元函數(shù),Rf為與f相關(guān)聯(lián)的連接函數(shù). 因此,在一定約束條件下的圖的極值結(jié)構(gòu)可以通過統(tǒng)一的Rf來表現(xiàn).

        定義1[10-11]設(shè)f(x,y)為N×N上的二元函數(shù),如果對任意x≥y和a≥b,有f(y,a)+f(x,b)≤f(x,a)+f(y,b), 當且僅當x=y,a=b時等號成立,則稱f(x,y)是遞增函數(shù). 相似地,如果對任意x≥y和a≥b,f(y,a)+f(x,b)≥f(x,a)+f(y,b),當且僅當x=y,a=b時等號成立,則稱f(x,y)為遞減函數(shù).

        文獻[11]利用連接函數(shù)Rf研究了不同度序列的極值樹. 文獻[12]研究了gπ的最大化與遞增函數(shù)f相關(guān)聯(lián)的Rf的極值樹性質(zhì),及極值單圈圖Uπ的最大化或最小化的Rf. 本文將在此基礎(chǔ)上,研究在給定度序列的情況下,雙圈圖Bπ最大化或最小化的Rf的極值圖,并給出一個算法構(gòu)造其極值圖.

        1 相關(guān)引理

        定義2[11]給定一個圖的度序列,運用以下貪婪算法得到的樹稱為貪婪樹:

        1) 將給定的度序列中的最大度頂點標記為v,作為根部;

        2) 標注v的鄰點為v1,v2,…,指定其中的最大可用度,使得d(v1)≥d(v2)≥…;

        3) 標記v1的鄰點(除去v)為v11,v12,…, 得到他們的最大可用度,使得d(v11)≥d(v12)≥…,對v2,v3,…的鄰點用同樣的方法進行標記;

        4) 對新標記的頂點重復(fù)3),并且總是從度較大的已標記頂點的尚未標記的鄰點開始.

        引理1[10-11]對任意遞增函數(shù)f,Rf在給定度序列中被貪婪樹最大化.

        引理2[10-11]對任意遞減函數(shù)f,Rf在給定度序列中被貪婪樹最小化.

        定義3設(shè)uv為圖G的任意一條邊,G-uv表示從G中刪除邊uv得到的圖. 類似地,設(shè)u,v∈V(G),uv?E(G),G+uv表示在G中添加一條邊uv所得到的圖.

        引理3[12]設(shè)f是一個遞增函數(shù),G∈gπ,uv,xy∈E(G)且uy,xv?E(G). 設(shè)H=G-uv-xy+uy+xv,如果d(u)≥d(x)且d(y)≥d(v),則Rf(G)≤Rf(H).

        引理4[12]對于遞增函數(shù)f,存在一個極值圖G在gπ上使Rf最大化,并把G中的頂點標記為{v1,v2,…,vn},v1為圖G的根點,可滿足以下條件:

        1) 0≤h(v1)≤h(v2)≤…≤h(vn),其中h(v)表示頂點v到根點v1的距離;

        2)d(v1)≥d(v2)≥…≥d(vn);

        3) 假設(shè)vivj,vsvt∈E(G),vivt,vsvt?E(G),h(vj)=h(vt)=h(vi)+1=h(vs)+1,如果i

        引理5[10]一個定義在N×N上的二元函數(shù)f(x,y)=(x+y)α,α≥1時,f(x,y)是遞增函數(shù); 0<α<1時,f(x,y)是遞減函數(shù).

        引理6[10]一個定義在N×N上的二元函數(shù)f(x,y)=xαyα,α>0時,f(x,y)是遞增函數(shù);α<0時,f(x,y)是遞減函數(shù).

        2 主要結(jié)論

        定理1設(shè)n≥5,π=(d0,d1,d2,…,dn-1)是一個可圖雙圈圖的度序列,d0≥d1≥3,dn-1=1,則對任意遞增函數(shù)f,存在一個極值圖G在Bπ上使Rf最大化,使得v1v2,v1v3,v1v4,v2v3,v2v4∈E(G),且對所有x∈V(G){v1,v2,v3,v4},有d(v1)≥d(v2)≥d(v3)≥d(v4)≥d(x).

        證明根據(jù)引理4,存在一個極值圖G在Bπ上使Rf最大化,并把G中的頂點標記為{v1,v2,…,vn},v1為圖G的根點,可滿足以下條件:

        1) 0≤h(v1)≤h(v2)≤…≤h(vn),其中h(v)表示頂點v到根點v1的距離;

        2)d(v1)≥d(v2)≥…≥d(vn);

        3) 假設(shè)vivj,vsvt∈E(G),vivt,vsvt?E(G),h(vj)=h(vt)=h(vi)+1=h(vs)+1,如果i

        1) 若vt-1,kvti,vt-1,kvtj∈E(G)且i

        2) 若vt-1,kvti,vt-1,lvtj∈E(G)且k

        我們將證明以下4個斷言成立.

        由以上4個斷言可知,對任意遞增函數(shù)f,必存在一個極值圖G,在Bπ上使Rf最大化,若記v1=v01,v2=v11,v3=v12,v4=v13,則v1v2,v1v3,v1v4,v2v3,v2v4∈E(G),且對所有的x∈V(G){v1,v2,v3,v4},有d(v1)≥d(v2)≥d(v3)≥d(v4)≥d(x). 定理證畢.

        通過引理5~7和定理2可以得到以下推論.

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