(江蘇省宜興中學(xué) 214200)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)》)[1]已經(jīng)頒布實(shí)行，而目前江蘇省高一、高二仍然選用上一版高中數(shù)學(xué)教材(蘇教版)進(jìn)行教學(xué)．針對(duì)上述現(xiàn)狀，如何將核心素養(yǎng)“落地生根”成為一線教師最感困惑的問(wèn)題．

《標(biāo)準(zhǔn)》的設(shè)計(jì)和實(shí)施追求“少而精”，雖然《標(biāo)準(zhǔn)》中并未明確數(shù)學(xué)大概念，但它將“大概念”作為課程內(nèi)容框架的核心；將“大概念”作為深入理解課標(biāo)議題的關(guān)鍵；將“大概念”作為孕育學(xué)科核心素養(yǎng)的依托．因此，“大概念”或可成為踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力抓手．本文試圖結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)際，從大概念的角度給出“交集、并集”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，以期與大家探討．

2 “大概念”和作為大概念的“集合”

大概念，英文為Big Ideas(Big Concepts)，也有學(xué)者將其譯為大觀念[2,3]．在教育領(lǐng)域，有關(guān)大概念的研究至少可以追溯到布魯納對(duì)于教育過(guò)程的研究，他強(qiáng)調(diào):無(wú)論教師教授哪類學(xué)科，一定要使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生解決課堂內(nèi)外所遇到的各類問(wèn)題．

隨著“大概念”研究的深入，“大概念”的內(nèi)涵趨于統(tǒng)一，即“大概念”是一種高度形式化、兼具認(rèn)識(shí)論與方法論意義、普適性極強(qiáng)的概念；它已經(jīng)不再僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單詞匯，它背后潛藏著一個(gè)意義的世界，它超出了一個(gè)普通概念有內(nèi)涵與外延，作為一種深刻思想、學(xué)說(shuō)的負(fù)載體，已成為“思想之網(wǎng)”的聯(lián)接樞紐．“大概念”好比“車(chē)轄”．其表述方式可以是相關(guān)的概念、主題、有爭(zhēng)議的結(jié)論或觀點(diǎn)．

作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“大概念”，應(yīng)該具備如下特點(diǎn)：

·大概念應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)課程，是最重要、最核心的數(shù)學(xué)；

·大概念應(yīng)當(dāng)和其他知識(shí)點(diǎn)具有充分的聯(lián)系；

·大概念應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)；

·大概念應(yīng)當(dāng)為今后更高層次的學(xué)習(xí)提供必要的基礎(chǔ)．

“集合”是全部數(shù)學(xué)的最基本概念之一，是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支都在使用集合論的語(yǔ)言進(jìn)行表述與推理．因此，“集合”當(dāng)之無(wú)愧成為數(shù)學(xué)學(xué)科“大概念”．

3 基于“大概念”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

“集合”作為大概念，其核心在于它是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言和工具，具有簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確和高度概括的特點(diǎn)．從集合的發(fā)展歷程而言，集合還推動(dòng)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的深入．

在高中階段，集合主要定位于語(yǔ)言(閱讀、表達(dá)、交流)，通過(guò)集合的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生用集合語(yǔ)言簡(jiǎn)潔地、準(zhǔn)確地表示相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流的能力．內(nèi)容包括：集合的概念與表示、集合的基本關(guān)系、集合的基本運(yùn)算．

集合的交、并屬于運(yùn)算的范疇，因此，從運(yùn)算的角度理解集合的交集、并集成為本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的中心觀點(diǎn)．

案例1觀察圖1所示的Venn圖，分別用陰影部分表示A∩B和A∪B．

圖1

設(shè)計(jì)理由從“形”的角度加深學(xué)生對(duì)“且”和“或”的理解,體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用．兩個(gè)集合有且僅有如圖1所示的五種不同關(guān)系，為學(xué)生思維的后續(xù)展開(kāi)提供框架和依托．

案例2(1)設(shè)A={1,2,3},B={1,3,4},C={1,5,6}，分別求A∩B,B∩A,A∪B,B∪A,(A∩B)∩C,A∩(B∩C),(A∪B)∪C,A∪(B∪C)；

(2)已知A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={2,4,6,8}，求A∩B,A∪B；

(3)設(shè)A={x|x≤0},B={x|x≤1}，求A∩B,A∪B；

(4)設(shè)A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3}，求A∩B；

(5)設(shè)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z}，求A∩B,A∪B．

設(shè)計(jì)理由交集、并集屬于運(yùn)算的范疇;數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，主要包括:理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果．為使學(xué)生理解運(yùn)算對(duì)象，在選題時(shí)特別關(guān)注運(yùn)算對(duì)象的典型性和全面性，既有列舉法表示又有描述法、既有有限集又有無(wú)限集、既有數(shù)集又有點(diǎn)集．讓學(xué)生準(zhǔn)確、快捷求出結(jié)果則是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本要求，以達(dá)到“求得運(yùn)算結(jié)果”的評(píng)價(jià)要求．

案例3你能從案例2的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論，你能用案例1中的圖示加以解釋嗎？你還能舉出適當(dāng)?shù)睦訖z驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)理由讓學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果，鼓勵(lì)學(xué)生分類、概括，實(shí)現(xiàn)從具體事實(shí)向概念(原理)的跨越，通過(guò)正例和反例的辨別達(dá)到理解的目的，真正落實(shí)“為理解而教”、“為遷移而教”的教學(xué)理念．看到學(xué)生可以內(nèi)化那些由事實(shí)性知識(shí)支撐的清晰而重要的概括性結(jié)論，是一件多么美妙的事情啊！本案例有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

本案例與交集并集的性質(zhì)、蘇教版必修1第13頁(yè)練習(xí)2、習(xí)題1.3感受理解1相結(jié)合，概括出的可供參考結(jié)論清單如下：

·A∩A=A,A∪A=A；

·A∩B?A?A∪B,A∩B?B?A∪B；

·A∩?=?,A∪?=A,A∩UA=?,A∪UA=U；

·交換律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A；

·結(jié)合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；

·A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A．

圖2

案例4(1)設(shè)U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5,9},B={2,3,5,7,8}，求A∩B,A∩UB,B∩UA,UA∩UB,U(A∪B)；

(2)寫(xiě)出圖2中陰影部分所表示的集合；

(3)你能從上述結(jié)果中概括出一些關(guān)系嗎？你能對(duì)這些關(guān)系做出適當(dāng)?shù)慕忉寙幔?/p>

設(shè)計(jì)理由為集合的交集、并集和補(bǔ)集創(chuàng)設(shè)一個(gè)綜合應(yīng)用的情境，分別從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度相互印證，用運(yùn)算律整合交集、并集和補(bǔ)集，以幫助學(xué)生掌握運(yùn)算的法則，形成一個(gè)相對(duì)完整的集合運(yùn)算系統(tǒng)，與學(xué)生一起獲得運(yùn)算法則、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系，深層次發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

清晰且強(qiáng)有力的概括代表了學(xué)科最重要的概念性理解，讓教師感到自己的課堂極具張力，可以信馬由韁．學(xué)生可以概括出的可供參考的結(jié)論：

·(A∩B)∩(A∩UB)=?，(A∩B)∪(A∩UB)=A．

結(jié)論(A∩B)∪(A∩UB)=A除了可以用圖示法加以驗(yàn)證以外，還可以通過(guò)集合運(yùn)算的分配律加以驗(yàn)證，其過(guò)程可以設(shè)計(jì)如下：

問(wèn)題1運(yùn)算律是運(yùn)算得以進(jìn)行的保障，請(qǐng)同學(xué)們想一想，對(duì)于兩個(gè)數(shù)的加法和乘法，你知道哪些運(yùn)算律？

加法(乘法)交換律、加法(乘法)結(jié)合律、分配律．

問(wèn)題2你能用符號(hào)表示分配律嗎？

a·(b+c)=a·b+a·c．

問(wèn)題3你能類似地寫(xiě)出關(guān)于交集、并集的分配律嗎？

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)．

問(wèn)題4你能用上述結(jié)論驗(yàn)證(A∩B)∪(A∩UB)=A嗎？

(A∩B)∪(A∩UB)=A∩(B∪UB)=A∩U=A．

本設(shè)計(jì)有效發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．

案例5集合論被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，創(chuàng)立者是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾．請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)書(shū)籍、網(wǎng)絡(luò)等方式了解康托爾的生平，查詢有關(guān)“集合論”的資料，摘錄人們對(duì)“集合”的評(píng)價(jià)，研究集合的運(yùn)算律．

設(shè)計(jì)理由關(guān)注集合論的發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，從更遠(yuǎn)、更大、更高的視角審視高中“集合”內(nèi)容．集合論的發(fā)展史能使學(xué)生們懂得對(duì)知識(shí)的敬畏；數(shù)學(xué)家康托爾生平和遭遇讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的治學(xué)品質(zhì)和人格魅力；人們對(duì)“集合”的評(píng)價(jià)則讓學(xué)生了解集合的價(jià)值．本案例使數(shù)學(xué)文化的滲透落到實(shí)處．

4 結(jié)語(yǔ)

大概念是處于學(xué)科中心位置、對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)具有引領(lǐng)作用的核心概念、法則或關(guān)系、理論或模型．大概念理念下的課堂教學(xué)由原來(lái)的基于事實(shí)的線性式教學(xué)向基于概念的整體式教學(xué)轉(zhuǎn)變．基于概念的課堂教學(xué)提供了一個(gè)不同層面心智處理的清晰描述：在事實(shí)性層面上能“知道”，在概念性層面上能“理解”，在技能和過(guò)程層面上能“做”．大概念理念的課堂教學(xué)或可成為落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一種操作樣式．