耿 萍，唐 睿，陳枰良，郭翔宇，何 川，張艷陽(yáng)

(西南交通大學(xué)交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川，成都 610031)

盾構(gòu)隧道是由螺栓將管片連接而成的地下結(jié)構(gòu)。大量研究表明，盾構(gòu)隧道接頭是結(jié)構(gòu)的薄弱部位[1]，易受到地震、地層變形、施工和運(yùn)營(yíng)荷載等的影響[2－3]，其力學(xué)行為對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)受力特征有重要影響[4－7]。

針對(duì)管片接頭，通常使用理論解析和加載試驗(yàn)的方法來(lái)研究其力學(xué)特征。在管片接頭試驗(yàn)方面[8－14]，大多是以原型管片或局部接頭加載試驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)管片接頭接縫面混凝土受力、螺栓受力及接縫張開(kāi)量等進(jìn)行研究。在管片接頭理論解析方面，村上博智、小泉淳[15－17]通過(guò)假定接縫面混凝土受壓區(qū)壓力分布形式，包括矩形、拋物線形、三角形等，從而推導(dǎo)管片接頭的力學(xué)模型[18－20]；張建剛和何川[21]提出了考慮管片接頭處襯墊和端面混凝土共同變形的改進(jìn)分層條帶算法，從而推得管片接頭力學(xué)模型；陳三江等[22－24]將接縫面混凝土視為剛性，不考慮變形，從而得到與連接螺栓、襯墊等形成的彈簧-剛性板模型；張冬梅等[25]將管片間的相互作用離散為一系列彈簧的組合，通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整彈簧參數(shù)，計(jì)算接頭的內(nèi)力及張開(kāi)量。此外還有學(xué)者[26]通過(guò)試驗(yàn)得到的大量數(shù)據(jù)樣本，采用擬合的方式得到管片接頭力學(xué)模型。

無(wú)論是試驗(yàn)還是理論模型，可以發(fā)現(xiàn)，管片接頭受到軸力、彎矩和剪力三種力的共同作用。同時(shí)，由于接觸的存在，管片接頭接縫在軸向、彎曲及剪切三個(gè)方向上的力學(xué)性質(zhì)會(huì)相互影響。但現(xiàn)有研究大多視切向?yàn)閯傂裕劢褂诮宇^的抗彎性能和接頭張開(kāi)量，一般僅考慮軸力與彎矩共同作用，使得考慮剪力作用下的管片接頭解析模型較為匱乏。而當(dāng)剪切力存在時(shí)，剪切作用使得接頭位置或出現(xiàn)剪切位移，接縫處結(jié)構(gòu)的接觸狀態(tài)變得更為復(fù)雜，以往基于接頭切向?yàn)閯傂赃@一假定而推導(dǎo)的接頭力學(xué)模型或?qū)⒉辉龠m用。所以，考慮剪切作用對(duì)完善盾構(gòu)隧道管片接頭力學(xué)模型具有一定意義。

本文首先對(duì)盾構(gòu)隧道管片接頭的力學(xué)建模問(wèn)題進(jìn)行了界定，以位移為已知量，推導(dǎo)了考慮剪切作用下的管片接頭力學(xué)模型，并參考既有的獅子洋盾構(gòu)隧道工程，采用有限元法對(duì)該力學(xué)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 考慮剪切作用的管片接頭耦合力學(xué)模型

1.1 管片接頭力學(xué)建模的基本問(wèn)題

如圖1所示，由于管片接頭力學(xué)行為對(duì)管片受力的影響范圍有限，這里假定受接頭影響的區(qū)域的兩側(cè)邊界為邊界1和邊界2(圖1中邊界位置僅為示意)，本文所討論的管片接頭力學(xué)問(wèn)題即在接頭影響區(qū)域內(nèi)，如何將管片結(jié)構(gòu)及螺栓在三方向上(軸向、轉(zhuǎn)動(dòng)、切向)的受力與變形位移通過(guò)力學(xué)關(guān)系式聯(lián)系起來(lái)。

將管片接頭影響區(qū)內(nèi)的接頭結(jié)構(gòu)截出，如圖2所示，這里是以斜螺栓為研究對(duì)象。為便于理論推導(dǎo)，假定螺栓兩側(cè)端頭與結(jié)構(gòu)混凝土的變形在同一剛性端面上，端面上螺栓與結(jié)構(gòu)混凝土產(chǎn)生相同位移。接頭主要影響兩端面內(nèi)區(qū)域，對(duì)以外的區(qū)域影響不大，故可按照梁結(jié)構(gòu)對(duì)端面外區(qū)域進(jìn)行分析。此時(shí)，當(dāng)位移作為已知荷載時(shí)，即可分開(kāi)推導(dǎo)螺栓與結(jié)構(gòu)混凝土的力學(xué)模型，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。由于接頭影響區(qū)域曲率很小，可以將此區(qū)域簡(jiǎn)化為直線。

圖1 盾構(gòu)隧道管片接頭影響范圍Fig.1 Influence area of segment joint

圖2 管片接頭力學(xué)結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Mechanical model of segment joint

接頭影響區(qū)域軸向、轉(zhuǎn)動(dòng)及切向這幾個(gè)方向上位移與力的關(guān)系，用式(1)表示。

式中：N1，V1，M1，N2，V2，M2分別表示左右兩剛性端面上傳遞的軸力、剪力和彎矩；u1、v1、θ1、u2、v2、θ2分別表示左右兩剛性端面上的軸向、切向和轉(zhuǎn)動(dòng)位移；kij(i,j= 1,2,…,6)為各自由度間的剛度系數(shù)。本文的目的是確定式(1)中的剛度系數(shù)，從而建立盾構(gòu)隧道管片接頭耦合力學(xué)模型。

1.2 接頭耦合力學(xué)模型建立

圖3為研究區(qū)域的螺栓及管片結(jié)構(gòu)分析圖，其中，x軸為分析區(qū)軸線，y軸位于左端面內(nèi)。hj為斜螺栓右端至x軸的垂距。hf為x軸至研究區(qū)域頂面的距離，即研究區(qū)域高度的一半。α為斜螺栓與x軸的夾角，正向?yàn)轫槙r(shí)針向。lz、l分別為接縫面、右端面與左端面間距。考慮到推導(dǎo)時(shí)施加位移荷載的方便，約束左端面，在右端面施加相對(duì)位移，按式(2)～式(4)進(jìn)行計(jì)算。

圖3 接頭結(jié)構(gòu)受力分析圖Fig.3 Analyzing diagram of joint structure

推導(dǎo)過(guò)程分為螺栓力學(xué)方程的推導(dǎo)和考慮剪力下管片結(jié)構(gòu)力學(xué)方程的推導(dǎo)兩個(gè)部分，在求出各自的控制方程后合成總的剛度矩陣，得到考慮剪切作用下的管片接頭耦合力學(xué)模型。

1.2.1 螺栓力學(xué)方程

右端面上螺栓端頭的位移為：

將螺栓端頭作為原點(diǎn)構(gòu)建局部直角坐標(biāo)系，如圖3所示，n軸代表軸向，t軸代表切向。則在該坐標(biāo)系下，螺栓端頭的變形為：

式中，Δjn、Δjt分別表示軸向與切向這兩個(gè)方向上的變形。

由此螺栓受力可表示為：

式中：Fjn和Fjt分別為螺栓所受軸力與剪力；與之對(duì)應(yīng)的kjn和kjt分別為軸向和切向剛度，可通過(guò)對(duì)螺栓變形-力曲線作割線獲得，如圖4表示。P為螺栓預(yù)緊力；圖4中dn和dt分別為兩個(gè)方向上的變形量。

圖4 螺栓變形曲線Fig.4 Bolt’s deformation curves

右端面各方向的作用力為：

將Fjn和Fjt代入，并寫(xiě)為矩陣形式為：

其中：

1.2.2 考慮剪切的管片結(jié)構(gòu)力學(xué)方程

對(duì)于管片結(jié)構(gòu)，可在先推導(dǎo)無(wú)剪力作用的情況后，再考慮剪力作用，然后進(jìn)行疊加合成。無(wú)剪力作用情況即彎曲與軸向變形，如圖5所示。分別求解兩種情況下的結(jié)構(gòu)混凝土力學(xué)方程，然后進(jìn)行合成，即可得到考慮剪切的管片結(jié)構(gòu)力學(xué)方程。

圖5 管片結(jié)構(gòu)變形的分解Fig.5 The deformation decomposition of segment

1) 彎曲與軸向變形下管片結(jié)構(gòu)力學(xué)方程

于右端面施加軸向、切向和轉(zhuǎn)動(dòng)三個(gè)方向的位移，同時(shí)軸向位移u為0。若按梁考慮兩端面內(nèi)的管片結(jié)構(gòu)，則端面內(nèi)區(qū)域軸線上各位置的撓度可通過(guò)式(15)計(jì)算：

對(duì)式(15)求一階及二階導(dǎo)，可以得到區(qū)域內(nèi)各個(gè)截面較左端面(被固定約束)的相對(duì)轉(zhuǎn)角θ(x)和各截面軸向的曲率k(x)。當(dāng)無(wú)剪力作用時(shí)，各截面軸向的曲率應(yīng)相同，即：

求得：

說(shuō)明當(dāng)切向位移v滿足式(17)時(shí)，管片結(jié)構(gòu)中無(wú)剪力傳遞，不滿足則存在剪力。

無(wú)剪力作用時(shí)，各截面軸線的軸向曲率為：

此時(shí)再考慮位移u，則研究區(qū)的軸線在軸向上的變形可通過(guò)式(19)表示：

對(duì)式(19)求導(dǎo)，可得到對(duì)應(yīng)的應(yīng)變：

對(duì)接縫面而言，其轉(zhuǎn)角變化率即曲率k，如圖6所示。則接縫面處受拉、受壓區(qū)分界位置的坐標(biāo)可通過(guò)軸向變形率e與曲率k之比表示：

式中，ho正負(fù)方向與y軸正負(fù)方向相同。

圖6 接縫面不同接觸形式劃分Fig.6 Different kinds of contact in joint surface

對(duì)接縫的接觸形式，可通過(guò)分界坐標(biāo)和軸向位移進(jìn)行判定：

① 當(dāng)u＞ 0，ho≥hf或ho≤-hf，無(wú)接觸。

② 當(dāng)u＜ 0，ho≥hf或ho≤-hf，全接觸。

③ 當(dāng)u≥0,0 ＜ho＜hf或u＜ 0，-hf＜ho＜ 0，上部接觸。

④ 當(dāng)u≥0,-hf＜ho＜ 0或u＜ 0，0＜ho＜hf，下部接觸。

于是，接縫面上的應(yīng)變函數(shù)為：

接縫面無(wú)法傳遞拉力，故式(22)為負(fù)值或?yàn)?。于是，右端面各自由度的作用力為：

式中：Ec為結(jié)構(gòu)混凝土的彈性模量；Pj為式(14)存在的螺栓預(yù)緊力項(xiàng)。

對(duì)式(23)～式(25)分別進(jìn)行積分。對(duì)不同接觸狀態(tài)，可以用一個(gè)總的矩陣表示，如式(26)所示。

其中：

式中：對(duì)接縫不同的接觸狀態(tài)，Ax為該接觸狀態(tài)下，接縫接觸區(qū)域截面的面積；Sx、Ix分別為該接觸狀態(tài)下接縫區(qū)相接觸的截面對(duì)截面形心的靜面矩和慣性矩。

2) 剪力作用下的管片結(jié)構(gòu)力學(xué)方程

當(dāng)考慮剪力作用時(shí)，先求出右端面上作用有u、v、θ三個(gè)方向的位移下，無(wú)剪力作用狀態(tài)(即彎曲和軸向變形)引起的位移。此時(shí)接縫面處有：

由于軸向變形僅在無(wú)剪狀態(tài)下產(chǎn)生，故該狀態(tài)下的軸向位移為：

同時(shí)，無(wú)剪狀態(tài)下，接縫面處曲率k(lz) =k，故該狀態(tài)下右端面的轉(zhuǎn)角為：

將式(17)代入，得該狀態(tài)下右端面上的切向位移：

則用右端面的總位移減去彎曲與軸力引起的位移即可得到剪力作用引起的位移：

對(duì)無(wú)剪切作用部分，有：

將式(30)和式(31)代入式(35)可得：

其中：

而對(duì)有剪切作用部分，按一般梁考慮，則對(duì)應(yīng)力學(xué)方程可按式(37)表達(dá)：

將式(32)～式(34)代入式(37)可得：

其中：

將彎曲與軸向變形部分和剪力作用部分合并，同時(shí)考慮螺栓預(yù)緊力，則管片結(jié)構(gòu)的力學(xué)方程可表示為：

代入得：

其中，若令ξ= lz / l，上式中：

1.2.3 剛度矩陣合成

由于螺栓與管片結(jié)構(gòu)共同受力，則右端面處總的作用力可以按式(42)表示：

其中：

式(42)中的剛度系數(shù)可用式(43)表示。此時(shí)約束左端面，通過(guò)受力平衡條件即可推得含有左端面反力的力學(xué)方程，即式(44)。

將式(2)～式(4)代入式(44)，即可得到左右端面都有位移產(chǎn)生時(shí)的力學(xué)方程：

其中，K66為：

K66剛度陣各元素即為式(1)的對(duì)應(yīng)各參數(shù)。之后，通過(guò)代入兩側(cè)端面上的位移矩陣[u，v，θ]或者力矩陣[N，V，M]，通過(guò)剛度矩陣，即式(1)，即可求解管片接頭的受力、位移狀態(tài)。

2 管片接頭耦合力學(xué)模型驗(yàn)證

2.1 工程概況

獅子洋盾構(gòu)隧道采用了C50混凝土，每環(huán)均布22顆縱向螺栓，使用“7+1”的分塊方式。環(huán)向螺栓為斜螺栓，等級(jí)M36，與管片軸向呈30°角。隧道橫斷面結(jié)構(gòu)形式見(jiàn)圖7，B1～B5為標(biāo)準(zhǔn)管片，L1～L2為鄰接塊，F(xiàn)為封頂塊，管片圓心角及縱向螺栓布置角度如圖7所示。

2.2 接頭模型驗(yàn)證

2.2.1 有限元法數(shù)值模型建立

圖7 獅子洋盾構(gòu)隧道橫斷面結(jié)構(gòu)圖Fig.7 The structural diagram of Shizi Yang Shield Tunnel in transverse section

建立如圖8所示有限元法模型。左面采用固定約束，三個(gè)方向上的位移荷載均施加于右面。荷載的取值范圍根據(jù)既有研究確定[27]，其中u為?0.05 mm～0.05 mm，v為?0.5 mm～0.5 mm，θ為-0.0016 rad～0.0016 rad。對(duì)不同位移荷載組合工況進(jìn)行計(jì)算，并記錄模型右端中心節(jié)點(diǎn)處的N、V、M。

2.2.2 計(jì)算模型驗(yàn)證

1) 軸力N

圖8 接頭有限元模型Fig.8 Joint model by finite element method

圖9 計(jì)算圖例示意圖Fig.9 Figure of the legend

為便于說(shuō)明，圖9為圖例示意，F(xiàn)EM代表有限元法，MOD代表本文推導(dǎo)的計(jì)算模型。之后的剪力、彎矩均使用相同的圖例。圖10為兩種方法計(jì)算下的軸力N在各工況下的變化情況。可以看出，有限元法與本文提出的計(jì)算模型計(jì)算得到的規(guī)律吻合較好：軸向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移條件固定時(shí)，切向位移對(duì)軸力的變化略有影響；軸向位移與切向位移條件固定，軸力隨轉(zhuǎn)動(dòng)位移的增大而增大；轉(zhuǎn)動(dòng)位移與切向位移條件固定，隨著軸向位移的增大，軸力逐漸減小。

對(duì)軸力而言，本文提出的模型(后簡(jiǎn)稱“模型”)的計(jì)算結(jié)果較有限元法大。當(dāng)剪切位移趨近于0時(shí)，兩種方法的結(jié)果差別較小，此時(shí)相當(dāng)于本文提到的無(wú)剪力作用情況。

2) 剪力V

圖11為兩種方法計(jì)算下的剪力V在各工況下的變化情況。兩種方法計(jì)算得到的規(guī)律大致相同：軸向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移條件固定，剪力對(duì)剪切位移的變化較為敏感，且隨剪切位移的增大而增大；軸向位移與切向位移條件固定，剪力隨轉(zhuǎn)動(dòng)位移的增大而增大；轉(zhuǎn)動(dòng)位移與切向位移條件固定，剪力隨軸向位移增大而略微減小。

圖10 不同計(jì)算工況下的軸力變化Fig.10 Tension varies under the different working conditions

此外，在相同軸向位移與轉(zhuǎn)動(dòng)位移條件下，存在某一剪切位移值，該值下兩種方法的計(jì)算結(jié)果差別較小，而偏離該值后，差別增大。當(dāng)軸向位移為負(fù)值時(shí)，兩種方法的結(jié)果差別較小。而隨著軸向位移向正值增大，兩者在剪切位移絕對(duì)值較小時(shí)差別較大。整體上模型得到的結(jié)果較有限元法稍小。

圖11 不同計(jì)算工況下的剪力變化Fig.11 Shear varies under the different working conditions

3) 彎矩M

圖12為兩種方法計(jì)算下的彎矩M在各工況下的變化情況。有限元法與本文模型的計(jì)算結(jié)果規(guī)律相吻合：軸向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移條件固定時(shí)，彎矩隨切向位移的增加而增大；軸向位移與切向位移條件固定，轉(zhuǎn)動(dòng)位移越小，彎矩越?。晦D(zhuǎn)動(dòng)位移與切向位移條件固定，軸向位移越大，彎矩越小。

對(duì)比兩種計(jì)算方法，模型的計(jì)算結(jié)果比有限元法的計(jì)算結(jié)果稍大，但整體差別較小。

圖12 不同計(jì)算工況下的彎矩變化Fig.12 Moment varies under the different working conditions

3 結(jié)論

(1) 本文提出了一種管片接頭多自由度耦合力學(xué)模型的建立方法。位移作為已知量，分別對(duì)接頭研究區(qū)域內(nèi)的螺栓和管片結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)推導(dǎo)，得到各自的剛度矩陣。之后對(duì)剛度矩陣進(jìn)行合成，得到接頭總剛度矩陣，從而建立考慮剪切作用的管片接頭耦合力學(xué)模型。

(2) 完成了考慮剪切作用下的管片接頭力學(xué)模型推導(dǎo)。推導(dǎo)了考慮剪切作用時(shí)螺栓的力學(xué)方程；對(duì)于管片結(jié)構(gòu)，在推導(dǎo)管片結(jié)構(gòu)在無(wú)剪力作用下的變形的基礎(chǔ)上，與剪力引起的變形進(jìn)行疊加，得到考慮剪切作用時(shí)的管片結(jié)構(gòu)力學(xué)方程。

(3) 以獅子洋盾構(gòu)隧道為依托，采用有限元法對(duì)本文推求的模型進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：在本文荷載范圍內(nèi)，兩種方法所呈現(xiàn)的規(guī)律相同，具有良好的一致性；總體上，本文模型的計(jì)算結(jié)果稍大，以此結(jié)果為依據(jù)進(jìn)行管片設(shè)計(jì)偏安全。

(4) 對(duì)比以往的研究[27-30]，本文建立的模型考慮了軸向、剪切及彎曲三個(gè)方向上荷載的耦合作用，使之更符合接頭的實(shí)際受力、變形情況。當(dāng)求得接頭剛度矩陣后，即可較容易地計(jì)算管片接頭的內(nèi)力或位移，便于工程應(yīng)用。