周坤濤，楊 濤，葛 根

(1.天津工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300399；2.天津理工大學(xué)工程訓(xùn)練中心，天津 300384)

變截面懸臂梁的振動在工程中有著廣泛的應(yīng)用，近年來被集中應(yīng)用于微機電系統(tǒng)[1-2](MEMS)和振動能量收集系統(tǒng)[3-4]。變截面梁的振型方程和等截面懸臂梁[5]有著根本性不同。由此導(dǎo)致的振動固有頻率以及大振幅下的非線性特征也有巨大的差別。

目前，主要有四大類方法計算變截面懸臂梁的模態(tài)函數(shù)和固有頻率。

1) 采用攝動法的思想。在均勻懸臂梁的振型函數(shù)的基礎(chǔ)上攝動，將變截面懸臂梁分成相互連接的若干段的組合，將每一小段近似等截面懸臂梁的疊加，從而得到新的頻率[6-8]，顯然無論頻率還是變形程度都不理想。

2) 利用有限元(FE)半解析法。該方法采用有限元(finite element)模擬出振型圖形，再用多項式函數(shù)逼近此振型圖像以此作為振型函數(shù)進行計算[9]，此方法對于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說較有優(yōu)勢，但對于簡單構(gòu)件且要求精度的非線性振動而言，F(xiàn)E失之繁瑣。

3) 采用瑞利-里茲法，通過選取滿足邊界條件的預(yù)設(shè)振型函數(shù)(通常還是均勻懸臂梁的振型函數(shù))，不斷修改項數(shù)直到頻率收斂[10-11]，此方法求固有頻率尚可，當(dāng)用伽遼金法時空分離時，由于振型函數(shù)的不吻合，對變形的預(yù)測能力較差。

4) 無須近似逼近，直接將方程的解設(shè)為特殊函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)[12-13]和Meijer-G函數(shù)[14]。文獻[14]中，作者通過將振型函數(shù)視為四個Meijer-G函數(shù)的線性組合，研究了變截面懸臂梁的線性自由振動，然而該方法在求解振型函數(shù)的系數(shù)時可能是復(fù)數(shù)，導(dǎo)致畫振型圖不便。

針對以上研究現(xiàn)狀，本文提出一種超幾何函數(shù)及Meijer-G函數(shù)的線性組合的振型函數(shù)。并用有限元、有限元半解析法與實驗驗證該模態(tài)函數(shù)的精確性。隨后考慮了變截面不可伸縮懸臂梁的非線性振動方程，探討變截面梁在大振幅下的自由振動幅頻關(guān)系，通過實驗驗證本文采用的模態(tài)函數(shù)無論在求解頻率還是在預(yù)測振幅方面的有效性。

1 模型建立

1.1 動力學(xué)建模

如圖1(a)所示，該歐拉-伯努利梁為等厚度且沿長度方向逐漸變窄的懸臂梁，長度為L，厚度為h，固定端和自由端的寬度分別為wA和wB。建立圖示直角坐標(biāo)系，x軸位于梁的中性軸，y軸沿梁厚度方向，z軸沿梁寬度方向，s軸為沿梁長度方向固定在中性軸上的弧坐標(biāo)。圖1(b)為坐標(biāo)s處微段ds的變形圖。

圖1 歐拉-伯努利梁理論Fig.1 Euler-Bernoulli beam theory

定義截面形狀參數(shù)p=1-wB/wA，則其隨長度變化的橫截面積和截面慣性矩分別為A(s)、I(s)，表示如下[14]：

選取圖1(b)中的微元段進行變形與受力分析，如圖2所示，其中x、y為直角坐標(biāo)系，ξ、η為自然軸系。圖2(a)所示微元變形包含沿x軸的位移u、沿y軸的位移w以及微段的轉(zhuǎn)角θ3。根據(jù)變形前后梁的微段幾何關(guān)系可得：

圖2 微元段幾何變形與受力圖Fig.2 Differential element geometric deformation and free-body diagram

( ′ )表示對s的偏導(dǎo)數(shù)，(·)表示對時間t求偏導(dǎo)。因懸臂梁無軸向載荷，由圖2(b)中受力分析可知，在s=L處滿足(微段在x方向合力為零)[15]：

式中：F1為軸力；F2為剪力；ρ為梁的密度。

根據(jù)剪力方程可得[15]：

式中：彎矩方程M3=EI(sin-1w′)′，E表示彈性模量，為慣性矩；為梁橫截面繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量，由于運動過程中，梁的轉(zhuǎn)動慣性項明顯低于橫向振動情況，故本文忽略梁截面的轉(zhuǎn)動效應(yīng)(j3=0)。

y方向微分形式的平衡方程為：

將式(6)、式(7)代入式(8)，并將方程進行Taylor展開，保留w非線性部分至最高三次方得到梁的非線性自由振動偏微分方程如下：

假設(shè)第i階梁的位移可表示為：

式中：φi(s)為暫時待定的模態(tài)空間分布函數(shù)；qi(t)為模態(tài)坐標(biāo)。引入無量綱變換：

則式(9)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

1.2 基于超幾何函數(shù)和Meijer-G函數(shù)的振型函數(shù)

為求解梁的模態(tài)頻率和振型，首先計算線性特征值問題，并令式(9)中阻尼項和非線性項系數(shù)為零，得到變截面梁無阻尼線性微分方程：

考慮懸臂梁的邊界條件，固定端約束處即s=0時撓度與轉(zhuǎn)角分別為零；在自由端即s=L處，彎矩與剪力分別為零，即：

采用上述相同的無量綱變換，將式(10)代入式(12)可得：

本文采用超幾何函數(shù)和Meijer-G函數(shù)的線性組合形式來表達振型函數(shù)，如下：

式中，Cji(i=1,2,…,n)為待定系數(shù)：

超幾何函數(shù)pFq[13]和梅哲G函數(shù)[14]定義如下：

式中：z為獨立自變量；a1-ap和b1-bq均為實常數(shù)。梅哲G函數(shù)中η為一個復(fù)變量，m、n、p、q為滿足0≤m≤q, 0≤n≤p的整數(shù)，Γ()表示歐拉Gamma函數(shù)。

這里需要注意的是，這種振型函數(shù)和均勻懸臂梁振型函數(shù)有著根本性不同，均勻懸臂梁振型函數(shù)如下：

顯然式(20)由三角函數(shù)和雙曲函數(shù)線性組合而成，但式(16)由超幾何函數(shù)和梅哲G函數(shù)線性組合而成。

為確定待定系數(shù)Cji和βi，需考慮式(15)后的四個邊界條件。

想要式(21)有非零解，必須使系數(shù)矩陣的特征行列式等于零，即可求得待定的βi。固定Cji中的任何一個，可求解出另三個。通過歸一化條件可以確定這四個常數(shù)Cji。本文選取了p=0.3,0.5,0.7三種情況作為例，前兩階振型的系數(shù)Cji和βi，得到了一、二階固有頻率，模態(tài)振型。

1.3 理論分析

1.2節(jié)已經(jīng)確定了振型函數(shù)φi(?)，采用伽遼金法對式(11)進行時空分離：對各項乘以φ沿著無量綱量程梁長對?從0到1積分，則式(11)可以重新表達如下：

表1 前二階模態(tài)的系數(shù)βi和CjiTable 1 βiand Cji coefficients of the first two modes

式中：ωi表示無量綱的固有頻率；α1i表示無量綱彎曲非線性項系數(shù)；α2i表示無量綱慣性非線性項系數(shù)，具體參數(shù)如下：

形如式(22)的方程在以往的等截面懸臂梁非線性振動中極為常用。但在變截面懸臂梁的變形系數(shù)p的不同取值下，無量綱的頻率、彎曲非線性系數(shù)、慣性非線性系數(shù)取值各不相同。眾所周知，彎曲非線性系數(shù)導(dǎo)致漸硬特性，慣性非線性系數(shù)導(dǎo)致漸軟特性。這兩項對研究非線性振動極為重要。而式(23)中三項系數(shù)都由振型函數(shù)的積分而來，因此只有足夠精確的振型函數(shù)才能得到足夠精確的非線性系數(shù)，本文振型函數(shù)代入式(23)得到的非線性系數(shù)如表2所示。反之如果驗證這些系數(shù)的有效性也就充分說明了本文采用的振型函數(shù)的正確性。

表2 前兩階模態(tài)的方程系數(shù)Table 2 The coefficients of first two modes

2 模態(tài)頻率和振型函數(shù)的驗證

為驗證本文理論的正確性，采用東華動態(tài)信號測試系統(tǒng)(DH5927N)，利用錘擊法進行了模態(tài)實驗，分別選取p=0.3,0.5,0.7 三根變截面梁(鋁合金)，并將其劃分29等份，其中一端緊固在實驗臺上，另一端自由，將質(zhì)量為1 g的加速度傳感器(1A801E，靈敏度為2.488 mV/g)粘接在11號節(jié)點，如圖3所示。

圖3 模態(tài)錘擊實驗Fig.3 Model experiment setup

由于其質(zhì)量非常小，不考慮它對振型及頻率的影響。試件特性如表3和表4所示。

表3 懸臂梁的材料和幾何特性Table 3 Material and geometric properties of the cantilever beams

表4 懸臂梁的寬度Table 4 Width of the cantilever beams

實驗時將測試系統(tǒng)采樣頻率設(shè)置為100 Hz，采用多點激勵，單點拾振的方法，用力錘(型號為LC02 5 kN)依次敲擊各點，同時觀測力信號、加速度信號、頻響函數(shù)、相干函數(shù)等指標(biāo)來評價力錘敲擊的有效性，如圖4所示為錘擊后的頻響曲線圖。由圖4可知，該曲線為p=0.5的試件頻響，在探測范圍內(nèi)，出現(xiàn)兩個清晰的峰值，分別為一階頻率和二階頻率，其具體值如表5所示。

通過理論、有限元及實驗的方法分別得到了p=0.3,0.5,0.7三根梁的固有頻率。固有頻率其中特征時間尺度為從表2中得到的無量綱頻率ωi即可得到表5中實際試件的固有頻率理論值。從表5中可以看出三種方法結(jié)論吻合較好，隨著p的不斷增大，梁的一階和二階固有頻率也逐漸增大，理論結(jié)果與實驗結(jié)果誤差小于3%，充分說明本文表1中計算出的β有很好的精度。

圖4 實驗測試頻響函數(shù)Fig.4 Frequency response function of experiment test

表5 試件的基頻Table 5 The fundamental frequency of specimens

為了證實表1中計算出的C1、C2、C3、C4系數(shù)的正確性。筆者對比有限元模擬、有限元半解析法[16]及模態(tài)實驗的振型結(jié)果。本文以p=0.5的梁為例，并將梁長與振幅均歸一化，其中ymax為y方向位移最大值，得到了一階和二階振型圖，如圖5所示，其中實線加圓圈為有限元結(jié)果，實線加十字為實驗結(jié)果，實線加三角形為有限元半解析解結(jié)果，實線加短橫為理論結(jié)果，可以看出二階振型四種方法均高度吻合；因一階頻率較低，實驗時由于沒有考慮傳感器質(zhì)量出現(xiàn)了誤差，但整體趨勢一致。

3 非線性幅頻響應(yīng)及實驗驗證

圖5 p=0.5時四種方法得到的前二階振型圖Fig.5 Results for the first and second mode of the beam with p=0.5 using four methods

利用錘擊法得到的頻率僅為梁在小振幅、近似線性情況下的結(jié)果。下面將驗證上述振型函數(shù)導(dǎo)出的彎曲非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)的精確性。這兩項系數(shù)在研究非線性振動時常用于多尺度法[15]。但是值得注意的是，基于攝動的多尺度法一般適用于弱非線性振動，其在處理大振幅的非線性時有其局限性，然而基于系統(tǒng)哈密爾頓函數(shù)能量平衡法，既可以適用于弱非線性也適用于強非線性。因此，本文采用能量平衡法(EBM)[17]來研究振動的幅頻關(guān)系，其計算過程相比攝動法簡單易操作而且精度較高。然后用得到的理論方法再次和大振幅的自由振動實驗結(jié)果進行比較。

3.1 能量平衡法

式(22)的哈密爾頓能量為：

式中，第一項為動能，后兩項為勢能，假設(shè)式(24)的自由振動近似解的形式為：

式中：ω10為待定的響應(yīng)頻率；A為振幅。將式(25)代入式(24)可得：

令θ=ω10t分別等于和0，可得兩個情況下的哈密爾頓函數(shù)值：

令這兩個值H1、H2相等可解得：

為了驗證式(29)的值。需要將理論分析和實驗結(jié)果對應(yīng)起來。首先，選取距離梁根部為s0處的某一靶點M，利用基于超幾何函數(shù)與Meijer-G函數(shù)的方法求得的振型函數(shù)，可以求得該點與自由端的振型函數(shù)值φ(s0)和φ(L)；隨后，將梁一端固定，另一端偏離平衡位置δ/mm，可得M點的物理位移wmax(s0)，又w(s0,t)=q(t)φ(s0)=y(t)Lφ(s0)，所以w(s0,t)=Acos[ω10t]Lφ(s0)，則無量綱振 幅A和s0處的物理振幅wmax(s0)的關(guān)系為A=wmax(s0)/Lφ(s0)。分別將A、ω、a1、a2代入式(29)可以得到無量綱的頻率ω10，由無量綱逆變換：f10=ω10/2πT，可以得到實際響應(yīng)的頻率。

考慮到實際情況中阻尼不可避免，在結(jié)果中添加了一個振幅衰減的阻尼因子η。則M點的橫向位移隨時間變化的函數(shù)可以表示為：

3.2 實驗驗證

如圖6所示，選取一根變截面梁將其等分29份，并將左側(cè)固定在實驗裝置上，然后用紅外位移傳感器(IL065)對準(zhǔn)9號節(jié)點(距離固定端160 mm)，同時使傳感器與梁之間的距離保持為80 mm并將其固定在有機玻璃槽內(nèi)。以p=0.7的梁為例進行實驗，實驗時將自由端偏離平衡位置50 mm的位置，然后釋放使其自由振動，通過紅外傳感器實時采集振動位移信號，將電壓數(shù)據(jù)信號輸入示波器內(nèi)，即可得到實測的自由振動位移曲線時間歷程圖，如圖7所示，虛線為理論計算得到的位移-時間歷程圖(式(30)中阻尼因子η取0.4)，實線為實測的自由振動位移-時間歷程圖(0 s～5 s)。

圖6 變截面梁自由衰減振動實驗Fig.6 Free decay vibration experiment of beam with variable section

圖7 p=0.7時的振動位移時間歷程圖Fig.7 Time history diagram of vibration displacement when p=0.7

從圖7中可以清晰地看到本文理論計算的振型函數(shù)結(jié)合能量平衡法(EBM)中得到的位移-時間歷程圖的周期和與實驗得到的曲線基本吻合，理論結(jié)果與實驗在相位和振幅上存在微小的差別，誤差產(chǎn)生的原因可能是理論上采用的阻尼比與實驗中實際阻尼有偏差，該阻尼直接對響應(yīng)的振幅和相位產(chǎn)生影響。本實驗充分驗證了能量平衡法中的非線性系數(shù)的正確性，從而也說明了本文振型函數(shù)的正確性和可靠性。

4 結(jié)論

(1) 本文提出了采用超幾何函數(shù)和Meijer-G函數(shù)線性組合建立新的振型函數(shù)。通過理論計算得到的線性基頻和模態(tài)振型與有限元法、有限元半解析法和實驗錘擊法得到的線性基頻和模態(tài)振型進行了比較，驗證了理論的正確性，該方法可為變截面梁振型函數(shù)求解提供指導(dǎo)。

(2) 采用能量平衡法求解強非線性振動，得到了振動幅頻響應(yīng)關(guān)系。此外，通過自由振動實驗獲得了變截面懸臂梁在大變形下的自由振動，發(fā)現(xiàn)實驗獲得的振動頻率與能量平衡方法獲得的頻率非常一致，且實驗檢測的振動波形與理論預(yù)測吻合良好。驗證了本文振型函數(shù)和非線性系數(shù)的正確性，為大變形的振動提供了有效依據(jù)。