張鐘元， 姜玥宏

( 遼寧石油化工大學 理學院， 遼寧 撫順 113001)

隨著國際經(jīng)濟形勢的不斷變化和國內(nèi)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整，金融市場短期內(nèi)出現(xiàn)較大幅度的波動。作為金融市場的重要組成部分，股票市場是經(jīng)濟的晴雨表，直觀反饋金融市場環(huán)境變化。股票市場間具有聯(lián)動的相關性[1]，探討金融市場相關性對于分析政策效果、風險防范、投資預測等具有重要意義。2008年金融危機美股大跌45%，市場失望情緒向其他國家股市蔓延并席卷全球。投資者對資本市場的判斷直接影響他們在其他股市的投資行為，波動由一個資本市場向其他資本市場擴散，這種“溢出效應”[2]對于同一地區(qū)的股票市場影響更大。

“Copula”原意為“連接、交換”。Copula函數(shù)主要用于描述隨機變量間的相關性，通過隨機變量的邊緣分布確定聯(lián)合分布。由于選擇邊緣分布不受限制，在金融模型構(gòu)建中更加方便。本文首先梳理金融市場的Copula理論研究現(xiàn)狀，然后介紹使用的模型與方法，選取近年來波動幅度最大的2015年滬深股市數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理和統(tǒng)計分析，經(jīng)過整體性檢驗后估計典型Copula函數(shù)的參數(shù)，研究滬深股市指數(shù)日收益率的相關性后選出最優(yōu)的Copula函數(shù)，經(jīng)檢驗得出結(jié)論及相關經(jīng)濟解釋。

一、文獻綜述

隨著現(xiàn)代金融研究中統(tǒng)計建模方法的快速發(fā)展，國外學者首先將Copula函數(shù)引入金融領域，并逐步成為金融領域相關性分析和多元統(tǒng)計分析的一種重要工具。Copula理論在金融領域發(fā)展的時間較短，最早可以追溯到1959年，Sklar提出一個Copula函數(shù)用于描述變量間相關性。Nelsen進一步明晰了Copula函數(shù)的定義，同時介紹阿基米德Copula函數(shù)及其相關性[3]。Embrechts將Copula函數(shù)理論應用到金融學領域，針對相關性度量方法及線性相關指標局限性進行深入探討。Bouye等人在金融數(shù)量分析中使用Copula函數(shù)，拓展其在金融領域的應用[4]。其后眾多學者進一步研究，使Copula函數(shù)在金融領域的應用逐步完善。Bedford和Cooke提出隨機變量選取的可視化模型[5]，Chen研究了多變量相關關系[6]，Nikoloulopoulos和Joe等介紹了Copula函數(shù)的尾部相關性和非對稱性在金融數(shù)據(jù)處理上的應用[7]，Hobak Haff闡述了Copula函數(shù)在金融領域的參數(shù)估計方法[8]。Copula函數(shù)在金融領域應用的廣度和深度不斷加強，取得了一系列成果。

我國受資本市場發(fā)展限制，對Copula函數(shù)的研究起步較晚，但也取得了豐富的研究成果。張堯庭首次在國內(nèi)介紹了Copula函數(shù)概念、性質(zhì)，并分析其在股市風險分析中的作用[9]。金融波動和危機的頻繁出現(xiàn)后，韋艷華、張世英進行了上證指數(shù)和深證指數(shù)的相關性分析，證明Copula函數(shù)在股市相關性分析中的優(yōu)越性與實用性[10]。孫志賓、顧嵐對Copula函數(shù)分類后說明其在金融領域分析的有效性[11]。隨著Copula函數(shù)的研究，史道濟、姚慶祝介紹Kendall秩相關系數(shù)τ和Spearman秩相關系數(shù)ρ的計算方法，針對1995—2002年數(shù)據(jù)進行模擬驗證[12]。Copula函數(shù)在金融領域應用漸漸成熟，在相關性驗證、風險評價等方面取得較為豐富的研究成果。陳守東、胡錚洋使用Copula函數(shù)對1996—2004年數(shù)據(jù)進行模擬分析，度量證券市場的風險[13]。吳吉林、張二華使用2005—2009年的上證、恒生、日經(jīng)、標準普爾 500建立Copula模型，計算相依結(jié)構(gòu)判定次貸危機風險[14]。沈傳河、王向榮針對2006—2013上證及深證指數(shù)數(shù)據(jù)，使用Clayton Copula函數(shù)研究貨幣與資本兩個市場的聯(lián)合分布變化情況[15]。馬薇等人利用2009—2014年的深證和恒生數(shù)據(jù)測度風險相關性，發(fā)現(xiàn)2008年金融危機后Clayton-Gumbel Copula函數(shù)對兩市擬合效果最好[16]。白雪、牛鋒使用EVT-Copula方法的建模，對涵蓋較多金融大事件的2007—2015年金融體系收益率數(shù)據(jù)擬合，進行風險測評[17]。

國內(nèi)外Copula函數(shù)研究已經(jīng)取得了較為豐碩的成果，特別在波動期的金融市場聯(lián)動、風險評估等方面表現(xiàn)突出。但是，現(xiàn)有研究大多使用長期數(shù)據(jù)進行估計，缺乏針對短期數(shù)據(jù)的分析。長期數(shù)據(jù)更易滿足模型限定條件保障模擬效果，然而短線投資者利用長期數(shù)據(jù)分析結(jié)果會忽略一些短期變化。我國正處于經(jīng)濟快速變化時期，國際經(jīng)濟政策和國內(nèi)深化改革措施都會產(chǎn)生短期較大波動，有必要針對短期數(shù)據(jù)進行分析。

二、模型與方法

Copula函數(shù)是將聯(lián)合分布函數(shù)與各自的邊緣分布函數(shù)相連接的連接函數(shù)。在金融的相關分析中，大多用于金融市場間相關性研究，在已有的Copula函數(shù)中主要使用橢球類Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)。

(一)Copula函數(shù)及檢驗

定義1二元Copula函數(shù)C(·,·)具有以下性質(zhì)[18]：

(1)C(·,·)的定義域為：I2即[0,1]2；

(2)C(·,·)有零基面且是二維遞增的；

(3)對任意變量u，v∈[0,1]滿足：C(u,1)=u和C(1,v)=v。

基于常用二元Copula函數(shù)的相關性度量，主要使用Kendall秩相關系數(shù)τ和Spearman秩相關系數(shù)ρ。

(二)經(jīng)典橢球類Copula函數(shù)定義及其相關性

橢球類Copula函數(shù)由橢球分布得到，多為對稱函數(shù)，常用于金融分析包括正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)，其性質(zhì)相對簡單，模擬算法較為成熟。

1.二元正態(tài)Copula函數(shù)

二元正態(tài)Copula函數(shù)的分布函數(shù)、密度函數(shù)分別為：

(1)

(2)

(1)(2)式中，Φ(u)、Φ(v)為標準一元正態(tài)分布函數(shù)，Φ-1(u)Φ-1(v)為其逆函數(shù)，ρ∈(-1,1)為Φ-1(u)、Φ-1(v)的線性相關系數(shù)。

二元正態(tài)Copula函數(shù)是較為基礎的Copula函數(shù)，具有對稱的尾部，適用于尾部漸進獨立的二維隨機向量。由于二元正態(tài)Copula函數(shù)具有對稱性，無法準確描述金融市場之間的非對稱相關關系，實際中非對稱情況更為普遍，因而受到數(shù)據(jù)限制，應用范圍相對較窄。

2.二元t-Copula函數(shù)

二元t-Copula函數(shù)的分布函數(shù)、密度函數(shù)分別為[19]：

(3)

(4)

與二元正態(tài)Copula函數(shù)類似，對于市場之間對稱的相關關系分析較好，二元t-Copula函數(shù)仍需要相依結(jié)構(gòu)的正態(tài)假設。雖然極端值模擬仍然不夠準確，但二元t-Copula函數(shù)具有較厚的尾部，對變量間尾部的變化更為敏感。在實際金融市場應用中，能夠擬合具有尾部相關情形，適用程度更廣。

(三)經(jīng)典二元阿基米德Copula函數(shù)及性質(zhì)

Copula族中應用最廣泛的是阿基米德Copula函數(shù)，包括許多參數(shù)族，由不同的生成元構(gòu)造，具有構(gòu)造簡單、分布特征各異的Copula函數(shù)，而且各個Copula函數(shù)的相依結(jié)構(gòu)差異很大，易于區(qū)分。

定義2設φ:[0,1]→[0,∞]為連續(xù)、嚴格遞減凸函數(shù)，φ(1)=0，則：

C(u,v)=φ[-1](φ(u)+φ(v))

(5)

如果φ(0)非∞而為有限值，φ[-1]定義為：

(5)式中，φ為阿基米德Copula函數(shù)的生成函數(shù)，且滿足：

φ(u)+φ(v)≤φ(0)

對任意的0≤u,v≤1，有φ(1)=0，φ′(u)<0，φ″(u)>0。

阿基米德Copula函數(shù)在金融中應用廣泛，較為典型的是Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)。

1.Gumbel Copula函數(shù)

Gumbel Copula函數(shù)的生成元、分布函數(shù)、密度函數(shù)分別為：

φ(t)=(-lnt)α,α≤1

(6)

CG(u,v,α)=

(7)

(8)

Gumbel Copula函數(shù)具有非對稱性密度，其尾部上高下低，呈“J”字形，對變量分布上尾部的變化感知明顯，適宜分析具有上尾相關特性的金融市場相關關系。因而在牛市時期，股票市場之間相關性增強，即一個股票市場股票價格暴漲會帶動另一個股票市場股價上漲。因此該函數(shù)可以有效分析兩個股票市場之間的相關性。

2.Clayton Copula函數(shù)

Clayton Copula函數(shù)的生成元、分布函數(shù)、密度函數(shù)分別為(9)(10)(11)式所示[20]：

(9)

(10)

cC(u,v;α)=(1+α)(uv)-α-1(u-α+

(11)

Clayton Copula函數(shù)具有非對稱性密度，其尾部上低下高呈“L”形，函數(shù)具有對變量分布下尾部的變化感知明顯的特點，分析下尾相關特性的金融市場之間相關關系具有獨特優(yōu)勢。對于熊市時期股票市場之間的相關性增強情形擬合較好，即股票市場間形成價格跌幅的聯(lián)動預期一致，兩個股票市場之間存在較強的正相關性。

3.Frank Copula函數(shù)

Frank Copula函數(shù)的生成元、分布函數(shù)、密度函數(shù)分別為(12)(13)(14)所示[21]：

(12)

CF(u,v;α)=

(13)

cF(u,v;α)=

(14)

當α>0時，隨機變量u、v正相關；當α→0時，隨機變量u、v趨近于獨立；當α<0時，隨機變量u、v負相關。

Frank Copula函數(shù)具有對稱性密度函數(shù)，具有對稱的尾部，分布呈“U”字型，適合描述具有對稱相關結(jié)構(gòu)的金融市場之間相關關系。變量在分布的尾部具有漸進獨立性，表現(xiàn)為對上尾部和下尾部相關性變化均不敏感，對金融市場中的尾部相關性變化感應度較低。

(四)經(jīng)驗Copula函數(shù)

在金融領域中需要評價模型優(yōu)劣性，因此引入經(jīng)驗Copula的概念來評價模型模擬效果的優(yōu)劣。

定義3設(xi,yi)(i=1,2,…,n)為取自二維總體(X,Y)的樣本，記X、Y的經(jīng)驗分布函數(shù)為別為Fn(x)和Gn(x)，定義樣本的經(jīng)驗Copula[22]如下：

u,v∈[0,1]

(15)

(15)式中，I[·]為示性函數(shù)，當Fn(xi)≤u時，I[Fn(xi)≤u]=1,否則I[Fn(xi)≤u]=0。

并使用平方歐氏距離進行判定：

(16)

(16)式中，ui=Fn(xi)，vi=Fn(yi)(i=1,2,…,n)。平方歐氏距離的計算結(jié)果越小，意味著模型的擬合效果越好。

三、實證分析

(一)數(shù)據(jù)的選取與處理

股市綜合指數(shù)是考察股票市場的重要評定指標，是較為直觀的觀測指標，作為動態(tài)指標在統(tǒng)計計算中具有一定難度。因此在現(xiàn)有研究中，衡量股票市場中股票價格水平多采用股票指數(shù)，將日收益率作為統(tǒng)計指標[23]。本文研究主要針對短期數(shù)據(jù)的不確定變化，因此選擇近幾年年內(nèi)伴有劇烈振幅的股市數(shù)據(jù)，經(jīng)過篩選發(fā)現(xiàn)股市在2015年震蕩幅度相對最大。由此，本文采集了2015年1月5日至2015年12月31日的上證和深證股票市場的開盤價、最高價、最低價、收盤價等共計488組數(shù)據(jù)，以此計算滬深股市的日收益率：

日收益率=(收盤價-開盤價)/開盤價

下文將使用滬、深兩市日收益率數(shù)據(jù)，建立二元Copula函數(shù)模型分析兩市相關性問題。本文數(shù)據(jù)來源于同花順網(wǎng)站，模擬采用MATLAB軟件編程計算。

(二)正態(tài)性檢驗

金融數(shù)據(jù)建模首先需要檢驗樣本是否符合正態(tài)分布，本文運用SPSS軟件得到樣本的收益率序列的描述統(tǒng)計量和頻率直方圖,如表1、圖1所示。

表1 日收益率序列的描述統(tǒng)計量

(a)深市日收益率

(b)滬市日收益率

從表1和圖1(a)圖1(b)可以看出滬深兩市日收益率序列，都存在一定程度尖峰厚尾、非對稱的特性，顯然與正態(tài)分布存在差異。滬市日收益率序列偏度大于零，深市日收益率序列偏度小于零，兩市日收益率序列都呈現(xiàn)高峰且具有比正態(tài)分布更厚的尾部。對滬深日收益率序列分別進行正態(tài)性檢驗，調(diào)用jbtest函數(shù)和lillirtest函數(shù)的檢驗結(jié)果，如表2所示。

表2 滬深股指的正態(tài)性檢驗

表2滬深股指的正態(tài)性檢驗中兩種檢驗的h的值均為1，p的值均小于0.01，說明滬、深市的日收益率序列均不服從正態(tài)分布，而是服從某種對稱的尖峰厚尾分布。調(diào)用ecdf和ksdensity函數(shù)，使用樣條插值法和核密度估計法，得到的上證指數(shù)日收益率經(jīng)驗分布函數(shù)和核分布估計差別非常微小，從圖像上看幾乎一致；類似的，深證成指日收益率的經(jīng)驗分布函數(shù)和核分布估計差別同樣微小，圖形基本重合，具體如圖2(a)(b)所示。因此，采用核分布函數(shù)作為總體的近似分布函數(shù)，重合度、可靠性較好。

(a)滬市日收益率

(b)深市日收益率

(三)Copula函數(shù)的選擇

通過繪制二元頻數(shù)分布直方圖(見圖3)觀察聯(lián)合密度函數(shù)的尾部特征，本文選用橢球類的t-Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)中的Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula函數(shù)。這些函數(shù)分別具有尾部漸進獨立性特征、中上尾特征、下尾特征以及對上下尾部都不敏感特征，較好地滿足對尾部特征擬合的全面驗證。對數(shù)據(jù)進行擬合后估計Copula函數(shù)的參數(shù)，使用密度函數(shù)圖、最小歐式距離檢驗，最終篩選出擬合效果最好的Copula函數(shù)。

(a)頻數(shù)直方圖

(b)頻率直方圖

從滬深股市日收益率的邊緣分布的二元直方圖看，其不滿足二元正態(tài)Copula函數(shù)基本條件，將其排除。利用MATLAB編程對剩余四種Copula函數(shù)計算，可以得出四種Copula函數(shù)中相應的參數(shù)值。具體結(jié)果如表3所示。

表3 滬深股指的四類Copula參數(shù)

使用Copula函數(shù)中估計出的參數(shù)，通過MATLAB軟件繪制Copula函數(shù)的密度函數(shù)與分布函數(shù)圖。將其與圖3和圖4對比，發(fā)現(xiàn)Clayton Copula與滬深股市的二元頻數(shù)直方圖上尾部圖像不符，F(xiàn)rank Copula函數(shù)與滬深股市的二元頻數(shù)直方圖下尾部圖像不符。因此，本文僅展示與二元頻數(shù)直方圖尾部特征基本吻合的t-Copula函數(shù)與Gumbel Copula函數(shù)，密度函數(shù)與分布函數(shù)圖與二元頻數(shù)分布直方圖呈現(xiàn)如下(見圖4、圖5)。

2015年股市大起大落，其中滬市4月份、6月份、11月份、12月份上漲幅度在全年中較為顯著，而深市在4月份、6月份以及11月份的上漲幅度尤為突出，通過以上圖形可以看出，兩股市之間在上尾部呈現(xiàn)很強的相關性。其中，Gumbel Copula函數(shù)擬合圖像具有明顯上尾特征，能更好地反映滬深股市日收益率之間尾部的相關性，擬合效果比t-Copula函數(shù)更好。

(a)密度函數(shù)圖

(b)分布函數(shù)圖

(a)密度函數(shù)圖

(b)分布函數(shù)圖

分別計算t-Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)對應的Kendall秩相關系數(shù)τ和Spearman秩相關系數(shù)ρ，具體數(shù)值如表4所示。

表4 滬深股指四類Copula函數(shù)中的Kendall秩相關系數(shù)τ和Spearman秩相關系數(shù)ρ

表4中的數(shù)據(jù)對比結(jié)果發(fā)現(xiàn)Gumbel Copula的Kendall秩相關系數(shù)τ和Spearman秩相關系數(shù)ρ更接近直接觀測原始數(shù)據(jù)。說明參數(shù)為αG=2.8659的Gumbel Copula反映滬深股市日收益率之間的相關性效果更佳。

(四)模型評價

為了評價兩個模型優(yōu)劣，建立經(jīng)驗Copula函數(shù)，對二元t-Copula函數(shù)和Gumbel Copula函數(shù)模型進行檢驗。兩個函數(shù)的平方歐式距離公式如(17)(18)：

(17)

(18)

四、結(jié)論與展望

本文通過取自同花順中2015年度滬深股市的488組數(shù)據(jù)，使用短期振蕩幅度較大的股市數(shù)據(jù)進行Copula函數(shù)擬合，運用MATLAB軟件進行數(shù)據(jù)編程計算，對經(jīng)典Copula函數(shù)進行篩選，篩選出恰當?shù)亩唐跀?shù)據(jù)擬合函數(shù)。頻率直方圖顯示滬深股市都呈現(xiàn)尖峰厚尾特點，對統(tǒng)計量進行分析后發(fā)現(xiàn)各個收益率序列不具有正態(tài)性，并使用相關性分析，估計出二元Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula以及Frank Copula函數(shù)的參數(shù)值。實證分析中，2015年滬深股票市場日收益率的時間序列具有異常峰值，結(jié)果顯示出樣本波動的突發(fā)性和顯著性；參數(shù)估計結(jié)果顯示,滬深股市日收益率波動之間是強正相關關系，波動的運動趨勢基本一致；模型擬合篩選通過正態(tài)性檢驗、相關系數(shù)檢驗以及經(jīng)驗函數(shù)檢驗，結(jié)果顯示在幾種常用Copula函數(shù)中Gumbel Copula函數(shù)可以更好地擬合滬深股市的日收益率序列。研究表明，滬深兩市的股票收益率和市場波動性具有互動性和整合性，即當上證股市上漲時深成股市也隨之上漲。因而本文研究可以有效地進行股市短期的相關性預測，預測結(jié)果既可以輔助投資者進行風險控制，同時也可以為政府宏觀調(diào)整進行輔助分析，具有一定實際意義。

圖6 經(jīng)驗Copula分布函數(shù)圖

本文研究短期股票市場數(shù)據(jù)的相關性，擴大了Copula函數(shù)的應用范圍，為投資者股票的投資組合決策提供了短期數(shù)據(jù)分析理論依據(jù)。研究選取了近幾年股市波動幅度最大的一年數(shù)據(jù)進行實證分析，分析結(jié)果與前人對長期數(shù)據(jù)研究存在差異性。一方面，短周期數(shù)據(jù)不能完美地滿足序列的對稱性，數(shù)據(jù)中存在一些偏離性的特殊值，顯示出股市日波動的顯著性。另一方面，從擬合結(jié)果看，短期數(shù)據(jù)的Copula函數(shù)選取與長期數(shù)據(jù)也具有差異性，這對短期投資策略調(diào)整具有重要意義。因此，作為長期跟蹤的輔助分析手段，短期數(shù)據(jù)Copula函數(shù)擬合分析對投資者實時調(diào)整投資策略具有一定實際意義。同時，對短周期股票市場數(shù)據(jù)進行相關性分析，減少了數(shù)據(jù)收集量，降低了Copula函數(shù)應用的原有門檻，使分析更具可操作性。而短期數(shù)據(jù)變動更為明顯，對于市場反應更加迅速，有助于增加預測的時效性。隨著中國經(jīng)濟改革深入，國內(nèi)外經(jīng)濟環(huán)境也更為復雜，政策性調(diào)整和國際貿(mào)易形勢將更加多變，而股市受政策影響容易出現(xiàn)較大幅度波動，這對投資者影響較大?；诒疚难芯拷Y(jié)果，建議在投資者出現(xiàn)較大政策或經(jīng)濟形勢波動時，在長期數(shù)據(jù)分析基礎上，及時增加短期股票市場之間相關性的分析，考察股市間這種溢出效應。特別在長期數(shù)據(jù)難以獲取或者受其他因素影響無法獲取時，建議投資者及時采用短期數(shù)據(jù)Copula函數(shù)擬合進行預測，這將有助于在金融風險管理分析中度量風險，進而讓投資者做出更為適當?shù)臎Q策。

本文研究了短期數(shù)據(jù)的Copula函數(shù)擬合問題，由于時間及能力的限制仍存在有待解決的問題。本文對二維數(shù)據(jù)擬合過程中使用較為成熟的橢圓Copula函數(shù)與部分單參數(shù)阿基米德Copula函數(shù)，對阿基米德Copula函數(shù)雙參數(shù)、多參數(shù)及多維Copula函數(shù)并未涉及?，F(xiàn)有Copula函數(shù)在金融領域應用前景比較好，但在具體計算機軟件開發(fā)實現(xiàn)上存在一定困難，這也使Copula函數(shù)應用受限，隨著這些問題的不斷解決， Copula函數(shù)在未來金融領域中相關性問題研究中將更為有效。