劉曉

【摘要】本文從微積分歷史發(fā)展角度討論牛頓、萊布尼茨等人的微分思想.他們都有天才的直覺(jué)，但是缺少邏輯基礎(chǔ)，并發(fā)現(xiàn)柯西等人建立的現(xiàn)行微積分體系下的微分定義存在缺陷.最后從歷史和哲學(xué)的角度，認(rèn)為微分本質(zhì)上是量的有無(wú)相互過(guò)渡的中介，現(xiàn)行的量-形模型需要發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】微積分原理;微分;本質(zhì)

自從牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地提出微積分方法后，數(shù)學(xué)界對(duì)建立微積分原理的努力持續(xù)了數(shù)百年.關(guān)于微分本質(zhì)的探討是這個(gè)過(guò)程中的重要內(nèi)容，牛頓、萊布尼茨、伯努力兄弟、歐拉等人對(duì)此都有所思考，直到柯西給出了一個(gè)公認(rèn)度相對(duì)很高的微分定義.在牛頓和萊布尼茨的微積分體系中，微分是基礎(chǔ);而在柯西建立的體系中，微分則不太重要.有關(guān)微分的本質(zhì)和意義仍存在爭(zhēng)議.

一、牛頓與萊布尼茨微分的意義

牛頓在論文《分析學(xué)》中將變量x，y的無(wú)限小增量命名為“瞬”ο，表示不依賴(lài)于固定時(shí)間的靜止無(wú)限小量，有時(shí)直接令其為零，忽略ο項(xiàng)，他證明了曲線(xiàn)y=axmn圍成區(qū)域的面積為anm+nxm+nn.在《流數(shù)法》中，他從時(shí)間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時(shí)間內(nèi)變化的部分稱(chēng)為“瞬”，“瞬”隨時(shí)間連續(xù)變化，生成量的“瞬”就是指函數(shù)的微分.在《曲線(xiàn)求積術(shù)》中借助于幾何解釋?zhuān)蚜鲾?shù)理解為增量消失時(shí)獲得的最終比，并在后來(lái)解釋最終比為“無(wú)限減小的量之比所趨向的極限”[1]，“弧、弦和切線(xiàn)任何兩個(gè)互相的最終比都是等量的比.”從算數(shù)角度看，迅速消失的最終比應(yīng)該理解為這兩個(gè)量此時(shí)的比，既不是在這些量消失之前，也不是在這些量消失之后，而恰好是在它們消失的那一刻之比.在《原理》一書(shū)中他講“有限質(zhì)點(diǎn)不是‘瞬，而是由‘瞬生成的量.我們將設(shè)想它們是有限量的初生本原.”并補(bǔ)充“我們也不是在這個(gè)引理中把‘瞬的量視為初生本原，而是把它們的第一個(gè)比視為初生本原.”[2]

牛頓的微分概念中帶有明顯的從無(wú)到有的生成或者從有到無(wú)的消失的思想，他想給“瞬”一種合理的解釋?zhuān)虢o“最終比”做定義，但無(wú)法自圓其說(shuō)，“消失的增量”究竟是什么，是零還是有限量，說(shuō)不清楚，牛頓的解釋違反了形式邏輯的矛盾律，因?yàn)樾问竭壿嫹裾J(rèn)有無(wú)轉(zhuǎn)化的中間態(tài)，認(rèn)為過(guò)渡狀態(tài)只是幻想.

萊布尼茨最初從幾何角度研究微積分，他發(fā)現(xiàn)了求切線(xiàn)和求面積的互逆關(guān)系.他將切線(xiàn)定義為連接曲線(xiàn)上無(wú)限接近的兩點(diǎn)的直線(xiàn)，這些無(wú)窮小的距離可以通過(guò)兩個(gè)相鄰量值之間的微分或者差分來(lái)表示.他用“d”表示微分，“dx”表示兩個(gè)相鄰x的差，并探索∫和d的運(yùn)算關(guān)系.[3]萊布尼茨將微分視為他的整個(gè)研究的基礎(chǔ)，但無(wú)法對(duì)微分和高階微分給出一個(gè)令人滿(mǎn)意的定義.于是就借助無(wú)窮小微分的性質(zhì)，借鑒牛頓的比喻，他的微分是量的瞬間增量或者減量，認(rèn)為無(wú)窮小量（有時(shí)也稱(chēng)無(wú)比小量）是對(duì)量的消失或者開(kāi)始的研究，與已經(jīng)形成的量截然不同.從幾何直覺(jué)上說(shuō)，一階微分相當(dāng)于切線(xiàn)，高階微分相當(dāng)于曲率，微分相當(dāng)于歐幾里得的接觸角，比任何給定的量都小，但又不是零.[4]

在回應(yīng)紐文泰特的攻擊中，萊布尼茨解釋無(wú)窮小為“小到無(wú)與倫比，并且由此產(chǎn)生的誤差應(yīng)該無(wú)關(guān)緊要，或者比任何給定的量都要小.”這樣的微分顯然是不確定的量，但dy∶dx總是可以簡(jiǎn)化到真實(shí)、確定的量之間的比（d）y∶（d）x.萊布尼茨說(shuō)不清楚這個(gè)從有限量到無(wú)窮小量的轉(zhuǎn)換過(guò)程，他和牛頓一樣強(qiáng)調(diào)的是它們的比.他還提出一個(gè)點(diǎn)并非它的部分為零，而是它的擴(kuò)張為零.“特征三角形就是從中抽去所有量的大小的時(shí)候，卻仍然保留三角形形式的三角形.”他在給格蘭迪的信中寫(xiě)道“我們并不把無(wú)窮小量設(shè)想是簡(jiǎn)單的零和絕對(duì)的零，而是相對(duì)的零（正如你自己說(shuō)得很好那樣），也就是說(shuō)，是一個(gè)迅速消失的量，但卻保留了正在消失的特征.”[4]“相對(duì)的零”是萊布尼茨直覺(jué)的產(chǎn)物，并不符合數(shù)學(xué)上的理解.

雖然牛頓和萊布尼茨的微積分方法給科學(xué)帶來(lái)了巨大的變革，但是這種微積分“原理”無(wú)法自圓其說(shuō)，且不能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，對(duì)微分的定義和本質(zhì)說(shuō)不清楚，于是引來(lái)了持續(xù)一個(gè)多世紀(jì)的爭(zhēng)論.喬治·貝克萊抨擊牛頓消失的增量為“消失量的鬼魂”，說(shuō)他們正確的結(jié)論是從錯(cuò)誤的原理出發(fā)通過(guò)“錯(cuò)誤的抵消”而獲得的，正中微積分原理的弱點(diǎn).其后的歐洲數(shù)學(xué)家們便力圖克服微積分基礎(chǔ)的困難.

二、對(duì)柯西微積分體系的微分定義的討論

拉朗貝爾、歐拉和拉格朗日等人從代數(shù)化的途徑進(jìn)行了微積分基礎(chǔ)嚴(yán)格化的嘗試，歐拉認(rèn)為無(wú)限小就是零，存在著不同階的零，微分dx在事實(shí)上等于零[5]，他要尋找的是00的啟發(fā)式運(yùn)算.拉朗貝爾引入極限概念來(lái)替代牛頓的“最終比”.拉格朗日想避開(kāi)使用極限、無(wú)窮等概念，用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)定義導(dǎo)數(shù)，將微積分變成“純粹的分析藝術(shù)”，他沒(méi)有成功.后經(jīng)過(guò)柯西、黎曼、魏爾斯特拉斯、康托爾、勒貝格等人的創(chuàng)建性工作，使數(shù)學(xué)界公認(rèn)微積分理論的完善.

在該微分定義中，dx=Δx屬于強(qiáng)行定義，[8]一般對(duì)函數(shù)y=f（x）來(lái)說(shuō)，x是原因，y是結(jié)果，同時(shí)y又是它結(jié)果的原因，x又是它原因的結(jié)果，這種關(guān)系無(wú)始無(wú)終，其反映到數(shù)學(xué)上就是z=E（y），y=F（x），x=G（t），因此，除非x=t，否則就得承認(rèn)Δx=g（t0）Δt+οgΔt，因此，dx≠Δx.另外，在此定義下雖然導(dǎo)函數(shù)是瞬時(shí)量，但這樣定義的微分卻不是瞬時(shí)量，從而也就沒(méi)有瞬時(shí)量的瞬時(shí)變化率，而只有求增量、算比值、取極限的瞬時(shí)變化率.[9]如此定義微分，無(wú)法說(shuō)清微分和積分是互逆關(guān)系的原因.

三、對(duì)微分本質(zhì)的思考

馮漢橋說(shuō)微分是從路程、弧長(zhǎng)等問(wèn)題中概括出來(lái)的，引用馬克思的話(huà)稱(chēng)微分的本質(zhì)為“被揚(yáng)棄了的或消失了的差”[10].從哲學(xué)上看，從無(wú)到有或從有到無(wú)是量變積累引發(fā)的質(zhì)變過(guò)程，有無(wú)中間要有一個(gè)過(guò)渡的橋梁，但在數(shù)學(xué)上沒(méi)有相應(yīng)的量-形模型，無(wú)論是認(rèn)為微分dx就是零還是其極限為零，dx在量上是無(wú)，量為無(wú)的dx累加“生成”量為有的Δx是質(zhì)變過(guò)程，在幾何上可表述為沒(méi)有測(cè)度的點(diǎn)滾動(dòng)“生成”有測(cè)度的線(xiàn)，現(xiàn)行的微分概念對(duì)這個(gè)過(guò)程是無(wú)法說(shuō)清的.

回到萊布尼茨的觀點(diǎn)，他的微積分原理可以概括為：微分是對(duì)某區(qū)間的點(diǎn)級(jí)微化，積分是對(duì)點(diǎn)級(jí)微化結(jié)果的累加，微分和積分互為逆運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)就是微商.[9]換言之，微分是點(diǎn)級(jí)微化的產(chǎn)物，本質(zhì)上是量的有無(wú)相互過(guò)渡的中介，定性上為有，定量上為零，所以微分定義dy=f′（x0）dx從數(shù)量上看是準(zhǔn)確的，被丟掉的高階無(wú)窮小量ο（Δx）仍有意義.當(dāng)然，這種思考需要引入新的量-形模型作為邏輯支撐.實(shí)數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，再到無(wú)理數(shù)和超越數(shù)，是一個(gè)隨人們的認(rèn)識(shí)不斷擴(kuò)充的過(guò)程.既然現(xiàn)行實(shí)數(shù)體系無(wú)法準(zhǔn)確刻畫(huà)微分，那就需要修正現(xiàn)行的量-形模型，這是未來(lái)數(shù)學(xué)工作者的責(zé)任.

四、結(jié) 論

牛頓、萊布尼茨等人沒(méi)有用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)規(guī)范他們對(duì)微分本質(zhì)的直觀描述，他們的直覺(jué)幫助他們發(fā)現(xiàn)了微積分方法，但直覺(jué)不能替代邏輯.柯西體系下的微分不處在微積分體系的基礎(chǔ)地位，并且微分定義有明顯缺陷.從微積分歷史和哲學(xué)角度看，微分本質(zhì)上是量的有無(wú)相互過(guò)渡的中介，定性上為有，定量上為零，現(xiàn)行的量-形模型需要發(fā)展，以實(shí)現(xiàn)對(duì)微分的準(zhǔn)確刻畫(huà).

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[4]卡爾·B·波耶.微積分概念發(fā)展史[M].唐生，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2013：199-209.

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