李潮銳

(中山大學(xué) a.物理學(xué)院；b.物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，廣東 廣州 510275)

在近代物理實(shí)驗(yàn)課程中，微波(射頻)電子自旋共振和連續(xù)波核磁共振實(shí)驗(yàn)都使用(永磁體+)穩(wěn)恒磁場(chǎng)、(周期調(diào)制)掃場(chǎng)和(偏振)電磁波(即光子)激發(fā)等相似功能的實(shí)驗(yàn)裝置，但所顯示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻明顯不同:前者可觀測(cè)電子自旋共振吸收峰形，而后者則獲得核磁共振尾波[1]；當(dāng)采用李薩如圖表示時(shí)，前者的物理圖象更清晰，而后者卻變得更模糊. 在實(shí)驗(yàn)課堂上，通常結(jié)合振動(dòng)頻域特性和共振弛豫時(shí)域測(cè)量的遠(yuǎn)程實(shí)驗(yàn)實(shí)時(shí)演示[2]，詳細(xì)分析磁共振實(shí)驗(yàn)的物理原理和技術(shù)原理. 為了使課堂討論更加深入，還通過(固態(tài)樣品)電子自旋共振和(液態(tài)樣品)核磁共振的頻域微分測(cè)量輔助課堂教學(xué)[3-4]. 盡管在合適實(shí)驗(yàn)條件下兩者可獲得相似的頻域?qū)嶒?yàn)結(jié)果，但是依然難以直觀展示磁共振實(shí)驗(yàn)測(cè)量的關(guān)鍵物理原理,甚至還可能對(duì)頻域與時(shí)域測(cè)量的物理關(guān)聯(lián)產(chǎn)生新的疑惑. 事實(shí)上，(核)磁共振原理可采用簡(jiǎn)諧、受迫、共振和阻尼等振動(dòng)分析的唯象描述,因此，振動(dòng)實(shí)驗(yàn)物理分析是透徹講解(核)磁共振實(shí)驗(yàn)原理的基礎(chǔ). 教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，通過振動(dòng)頻率特性、受迫、共振和阻尼時(shí)域測(cè)量等實(shí)驗(yàn)事實(shí)，結(jié)合課堂(遠(yuǎn)程)實(shí)驗(yàn)演示和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)分析結(jié)果，可有效地幫助學(xué)生理解(核)磁共振原理和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，更為后續(xù)學(xué)習(xí)脈沖核磁共振及成像分析提供清晰的物理思路. 本文通過音叉振動(dòng)頻域特性與共振時(shí)域測(cè)量物理分析，在理論和實(shí)驗(yàn)課堂上講解磁共振原理的教學(xué)實(shí)踐，展現(xiàn)屬性關(guān)聯(lián)的物理實(shí)驗(yàn)(和理論)課堂教學(xué)方法.

1 實(shí)驗(yàn)技術(shù)方法

實(shí)驗(yàn)主體裝置是上海復(fù)旦天欣FD-VR-B受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)儀，該設(shè)備利用電磁感應(yīng)原理由驅(qū)動(dòng)線圈和接收線圈分別對(duì)音叉實(shí)施振動(dòng)激勵(lì)和獲取響應(yīng)信息. 固緯APS-1102A電源工作在AC+DC-SYNC模式為驅(qū)動(dòng)線圈提供勵(lì)磁電流，使用中大科儀雙通道鎖相放大器OE1022D分別測(cè)量(由接收線圈輸出的)音叉振動(dòng)信號(hào)和驅(qū)動(dòng)勵(lì)磁電流(電壓)的幅值與相位，且由兩者相位差得到振動(dòng)響應(yīng)相對(duì)于驅(qū)動(dòng)激勵(lì)的相位. 使用NI USB-6003數(shù)據(jù)采集卡工作于10 kHz采樣率測(cè)量音叉振動(dòng)的時(shí)域數(shù)據(jù). 由雙路繼電器實(shí)現(xiàn)音叉振動(dòng)信號(hào)頻域與時(shí)域之間切換測(cè)量. 普源DG4162信號(hào)發(fā)生器為APS-1102A和OE1022D提供同步參考信號(hào). 計(jì)算機(jī)通過USB接口對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)施測(cè)控操作和數(shù)據(jù)采集分析，同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)互聯(lián)網(wǎng)遠(yuǎn)程(跨校區(qū))實(shí)驗(yàn)演示輔助物理課堂教學(xué).

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 音叉振動(dòng)的頻率特性

圖1為音叉振動(dòng)速度幅值及其相對(duì)于驅(qū)動(dòng)力相位差隨頻率變化. 根據(jù)振動(dòng)測(cè)量傳感技術(shù)，文獻(xiàn)[5-7]已詳細(xì)分析并確認(rèn)電磁感應(yīng)接收線圈輸出反映了音叉振動(dòng)速度. 由于感生電動(dòng)勢(shì)和音叉兩臂相向運(yùn)動(dòng)都產(chǎn)生π相位差，在低頻端啟振時(shí)振動(dòng)速度相對(duì)于驅(qū)動(dòng)力相位超前π/2. 由圖1可得知，音叉共振速度幅值最大處頻率，即共振頻率為236.16 Hz，其相位變化與文獻(xiàn)[8]一致.

圖1 音叉振動(dòng)速度幅值和相位的頻率特性

音叉振動(dòng)速度的實(shí)部和虛部頻率特性如圖2所示，可見音叉共振速度具有磁共振或者LC諧振[9]相同的吸收和色散規(guī)律. 由于激勵(lì)線圈和接收線圈(也包括空氣)阻尼作用，音叉共振峰具有一定頻率寬度，而非δ函數(shù)峰型. 理論分析表明，共振峰頻譜展寬隨阻尼增強(qiáng)而增大[8].

圖2 音叉振動(dòng)速度實(shí)部和虛部的頻率特性

2.2 阻尼振動(dòng)分析

利用電磁感應(yīng)激勵(lì)和測(cè)量響應(yīng)信息的實(shí)驗(yàn)技術(shù)方法也影響了音叉振動(dòng)的頻率特性. 激勵(lì)線圈和接收線圈的磁芯對(duì)音叉雙臂都產(chǎn)生吸引力，且與音叉振動(dòng)恢復(fù)力反向. 在音叉振動(dòng)(微小)位移范圍內(nèi)，可以認(rèn)為磁芯吸引力近似線性變化，等效于減弱了音叉的勁度系數(shù)[10]. 隨著磁芯逐步靠近音叉臂，(等效)勁度系數(shù)逐漸減小，因而音叉共振頻率向低頻端移動(dòng). 另一方面，音叉振動(dòng)引起線圈磁通量變化，這正是獲取振動(dòng)信息的技術(shù)原理. 根據(jù)楞次定律，閉合回路中感應(yīng)電流的方向，總是使得它所激發(fā)的磁場(chǎng)來阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化[11]. 或者認(rèn)為，線圈感生電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是為了抵抗與它賴以存在的磁通量變化. 同理可知，線圈感生磁場(chǎng)對(duì)音叉也存在作用力. 由于感生電流正比于磁通量變化，即音叉振動(dòng)速度，因而感生磁場(chǎng)強(qiáng)度也正比于音叉振動(dòng)速度. 由此可見，音叉所受感生磁場(chǎng)力與音叉振動(dòng)速度成正比，這正是振動(dòng)阻尼力項(xiàng).

在振動(dòng)(微小)位移范圍內(nèi)磁力變化近似線性，可認(rèn)為兩側(cè)線圈感生電流增大音叉振動(dòng)阻尼系數(shù). 隨著磁芯逐步靠近音叉臂，音叉(等效)阻尼系數(shù)逐漸增大. 為便于比較，實(shí)驗(yàn)全程保持驅(qū)動(dòng)線圈勵(lì)磁電流(電壓)有效值相同.

圖3為音叉振動(dòng)速度實(shí)部(吸收的)頻率特性隨音叉臂與線圈磁芯間隔變化情況. 圖3中每個(gè)共振吸收峰處標(biāo)示了所對(duì)應(yīng)的音叉臂與磁芯的距離(單位為mm). 可見，當(dāng)音叉臂與磁芯間距逐步增大，音叉共振頻率向高頻端移動(dòng)，而其共振吸收峰頻寬逐漸變窄. 音叉共振頻率隨磁力變化規(guī)律與文獻(xiàn)[10]結(jié)果一致.

圖3 不同阻尼振動(dòng)速度實(shí)部的頻率特性

2.3 共振弛豫分析

在驅(qū)動(dòng)力作用下，音叉產(chǎn)生同頻受迫振動(dòng)，且在某特定頻率處達(dá)到共振. 一旦撤除驅(qū)動(dòng)力，音叉振動(dòng)隨之逐漸減弱，直至恢復(fù)靜止?fàn)顟B(tài). 這一振動(dòng)衰減過程可采用指數(shù)衰減函數(shù)描述，且由衰減時(shí)間常量或弛豫時(shí)間表征其物理屬性.

圖4為音叉臂與磁芯間隔約1.0 mm時(shí)共振弛豫的時(shí)域測(cè)量結(jié)果，弛豫時(shí)間為0.425 7 s. 圖中小圖為時(shí)間軸放大所見信號(hào)周期變化，其頻率即為音叉振動(dòng)頻率. 圖4時(shí)域測(cè)量數(shù)據(jù)記錄了撤除驅(qū)動(dòng)力后音叉振動(dòng)隨時(shí)間衰減過程，可采用

A=A0e-t/τsin (ωt+φ)

(1)

描述，其中，ω和φ分別為音叉振動(dòng)頻率和初相位，τ為音叉振動(dòng)弛豫時(shí)間. 若取每周期峰值所得的振動(dòng)衰減包絡(luò)線數(shù)據(jù)，則可由

A=A0e-t/τ

(2)

得到振動(dòng)弛豫時(shí)間τ.

圖4 共振弛豫的時(shí)域測(cè)量結(jié)果

圖3中不同阻尼情形共振衰減的時(shí)域測(cè)量分析結(jié)果顯示，共振弛豫時(shí)間τ隨阻尼減弱而延長(zhǎng). 使用式(1)或式(2)得到相同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 為簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，采用式(1)分析，可考慮ω為已知量；選用式(2)擬合時(shí)，可利用峰點(diǎn)的周期特性.

2.4 共振弛豫與頻譜展寬

綜合上述分析可知，共振頻率展寬和弛豫時(shí)間都與阻尼系數(shù)有關(guān). 外界驅(qū)動(dòng)(激勵(lì))引起音叉同頻受迫振動(dòng)，其本質(zhì)就是(能量)激發(fā)的過程. 換句話說，音叉靜止?fàn)顟B(tài)是基態(tài)，受激(受迫)振動(dòng)即為激發(fā)態(tài). 由此可見，共振頻譜(展寬)記錄了激發(fā)態(tài)能級(jí)的能量分布(寬度)，而振動(dòng)衰減時(shí)間常量描述了系統(tǒng)從激發(fā)態(tài)返回基態(tài)的弛豫過程. 圖3不同阻尼情形的音叉共振頻譜展寬(半高全寬)Δf及對(duì)應(yīng)共振弛豫時(shí)間τ關(guān)系如圖5所示.

由圖5可見，對(duì)于確定體系，共振(吸收)譜寬(半高全寬)與所對(duì)應(yīng)的共振弛豫時(shí)間倒數(shù)可近似為線性關(guān)系，即圖5中藍(lán)色直線. 針對(duì)音叉振動(dòng)還可發(fā)現(xiàn)，共振譜寬與弛豫時(shí)間不成反比關(guān)系，明顯偏離了圖5中紅色直線. 上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，隨著阻尼增強(qiáng)，共振頻譜展寬增大，而共振弛豫時(shí)間縮短，且在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)滿足Δf·τ<1. 激發(fā)態(tài)是不穩(wěn)定態(tài)，除非維持不間斷激發(fā)(受迫)作用，否則最終將返回基態(tài). 基態(tài)是穩(wěn)定態(tài)，其弛豫時(shí)間趨于無窮；或換個(gè)角度說，基態(tài)能級(jí)展寬趨于零.

圖5 共振頻率展寬與弛豫時(shí)間關(guān)系

基于音叉共振的頻域和時(shí)域獨(dú)立測(cè)量結(jié)果，實(shí)驗(yàn)上兩者存在物理性質(zhì)關(guān)聯(lián). 如圖4所示，音叉共振時(shí)域信號(hào)具有明確的周期性，可通過傅里葉變換得到對(duì)應(yīng)的共振頻域信息[12]. 圖6為采用離散傅里葉變換(DFT)方法，由共振弛豫的時(shí)域測(cè)量數(shù)據(jù)得到共振(吸收)頻域譜.

圖6 DFT所得不同阻尼共振頻域譜

與圖3相比，圖6分析結(jié)果雖可得到相同共振頻率和近似相等的吸收峰展寬(半高全寬)，但頻譜峰幅值卻明顯不同. 對(duì)于完全復(fù)制的周期函數(shù)(過程)，傅里葉分析可以僅考慮單周期貢獻(xiàn)，且通過單周期歸一化得到頻譜. 對(duì)于非完全復(fù)制的周期函數(shù)(過程)，傅里葉分析必須計(jì)及所有貢獻(xiàn)周期，因此每一頻率DFT數(shù)值都與周期數(shù)量有關(guān). 盡管歸一化體現(xiàn)了頻譜分布的概率涵義，但由于不同過程的歸一化因子不存在關(guān)聯(lián)，不同實(shí)驗(yàn)條件之間的頻譜分布各自獨(dú)立，因而頻譜幅值不具備可比性. 對(duì)于單峰頻譜，峰窄而高，或?qū)挾? 盡管圖6分析結(jié)果與圖3實(shí)驗(yàn)測(cè)量的頻譜幅值有明顯差異，但頻譜峰中心頻率及其頻寬(半高全寬)等參量一致反映了共振的物理屬性.

3 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)測(cè)量了音叉振動(dòng)速度幅值和相位的頻率特性，得到共振吸收和色散的頻域特征. 通過逐漸增大線圈磁芯與音叉臂間距，頻域測(cè)量可觀測(cè)到音叉共振頻率隨磁場(chǎng)增強(qiáng)而移向高頻端，共振頻譜寬度則隨感生磁場(chǎng)增強(qiáng)逐步變窄；對(duì)應(yīng)的時(shí)域測(cè)量分析表明，共振弛豫時(shí)間隨之逐漸延長(zhǎng). 對(duì)于所用的音叉共振體系，盡管共振譜寬與弛豫時(shí)間不成反比關(guān)系，但是譜寬與弛豫時(shí)間倒數(shù)近似為線性，且在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)滿足Δf·τ<1. 盡管共振頻域?qū)嶒?yàn)測(cè)量與時(shí)域DFT分析結(jié)果存在差異，但頻譜峰中心頻率和頻寬(半高全寬)等物理參量是一致的. 上述結(jié)果說明，若共振弛豫時(shí)間較長(zhǎng)，意味著激發(fā)態(tài)能級(jí)寬度比較窄；反之，則是激發(fā)態(tài)能級(jí)寬度比較寬. 上述結(jié)論適用于分析連續(xù)波(核)磁共振過程. 由于調(diào)制磁場(chǎng)(掃場(chǎng))強(qiáng)度隨時(shí)間變化，從而觀測(cè)所得磁共振信號(hào)既是時(shí)域信號(hào)，同時(shí)也包含著對(duì)磁場(chǎng)變化的響應(yīng)信息. 在近代物理實(shí)驗(yàn)課中，微波電子自旋共振(固體)樣品的激發(fā)態(tài)能級(jí)寬度較寬而弛豫時(shí)間很短，實(shí)驗(yàn)測(cè)量主要體現(xiàn)磁共振信號(hào)隨外磁場(chǎng)強(qiáng)度變化情況. 連續(xù)波核磁共振(液體)樣品的激發(fā)態(tài)能級(jí)寬度很窄而弛豫時(shí)間較長(zhǎng)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量突出反映共振弛豫過程的尾波信號(hào)[1].