沈?qū)毺?2，張步初，張士川，陳 兵

(1.山東科技大學(xué) 礦山災(zāi)害預(yù)防控制省部共建國家重點實驗室培育基地，山東 青島 266590；2.澳大利亞聯(lián)邦科學(xué)院能源部 昆士蘭先進技術(shù)中心，澳大利亞 昆士蘭州 布里斯班 4069)

巖石斷裂力學(xué)作為巖石力學(xué)及斷裂力學(xué)的分支，近幾年得到迅速發(fā)展，在基礎(chǔ)研究及巖石工程設(shè)計等領(lǐng)域中得到了較為廣泛的關(guān)注。隨著巖石斷裂力學(xué)涉及到更廣、更具挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域(如深部開采、核廢料地質(zhì)儲存、地?zé)衢_發(fā)等)，其扮演的角色顯得更為重要。因此，巖石斷裂力學(xué)的研究將是未來幾年甚至幾十年的熱門課題。

目前階段，室內(nèi)巖石試驗、數(shù)值模擬是巖石斷裂力學(xué)的主要研究方法。室內(nèi)巖石力學(xué)實驗由于其可以直觀展示裂紋的擴展及傳播，因此得到廣泛的應(yīng)用。然而，受到巖石試樣離散性的影響，室內(nèi)試驗結(jié)果往往存在較大偏差，數(shù)值模擬可以很好地解決該問題，同時，數(shù)值模擬可以有效展現(xiàn)裂紋擴展不同時刻內(nèi)位移場、應(yīng)力場和滲流場的分布特征，故數(shù)值模擬軟件作為研究巖石斷裂力學(xué)的手段逐步受到青睞。近年來，眾多模擬固體斷裂的數(shù)值軟件應(yīng)運而生。但大多數(shù)模擬軟件是為土木工程和材料科學(xué)需求而開發(fā)的，并主要用于解決鋼、陶瓷、玻璃等材料的裂紋擴展問題。顯然這些材料在斷裂性能上與巖石有著本質(zhì)的差別。而且現(xiàn)有的模擬巖石裂紋擴展軟件無法模擬剪切裂紋和混合裂紋的擴展。因此，急需開發(fā)一種可以模擬巖石混合裂紋(Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅰ+Ⅱ型)擴展的軟件。

為滿足模擬巖石混合裂紋的需要，Shen等[1-3]基于巖石斷裂力學(xué)原理及F-準則，開發(fā)了一種能夠模擬巖石混合裂紋擴展的軟件，為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供了一種新的手段。Barton等[4]基于FRACOD2D軟件，分別研究了完整巖石、含一組節(jié)理巖石、含兩組節(jié)理巖石的裂紋擴展模式；Jung等[5]借助FRACOD進行了花崗巖巴西劈裂試驗，測定了亞臨界狀態(tài)裂紋增長指數(shù)，并借助聲發(fā)射事件數(shù)定量描述了裂紋數(shù)量；Li等[6]以FRACOD為手段，研究了脆性巖石的裂紋擴展過程及破壞特征；Shen等[7]利用FRACOD2D模擬了各向異性巖石的裂紋擴展規(guī)律，對巖石工程具有重要的指導(dǎo)意義；Zhang等[8]通過FRACOD模擬結(jié)果與物理試驗結(jié)果之間的對比，成功驗證了FRACOD模擬鉆孔泄壓具有可行性；Siren等[9]通過FRACOD對巖石破壞前的聲發(fā)射特征進行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果與實際觀測的聲發(fā)射特征進行了比較。

以上學(xué)者通過室內(nèi)試驗、理論分析等手段成功驗證了FRACOD軟件在相關(guān)領(lǐng)域的可行性。為進一步驗證該模擬軟件在巖石裂紋擴展領(lǐng)域的廣泛適用性，本研究首先從理論基礎(chǔ)方面對FRACOD模擬軟件的工作原理進行了詳細介紹，然后對三個應(yīng)用案例進行模擬驗證分析，相關(guān)結(jié)果對巖石工程設(shè)計領(lǐng)域發(fā)展具有重要的指導(dǎo)意義和參考價值。

1 FRACOD理論背景

FRACOD本質(zhì)上屬于邊界元方法，遵循邊界元原則。具體而言，其采用了間接邊界元的位移非連續(xù)法。FRACOD以巖石斷裂力學(xué)理論和F-準則為理論基礎(chǔ)，對巖石混合裂紋擴展進行模擬。

1.1 基于位移不連續(xù)理論的巖石破裂模擬概況

假設(shè)無限彈性體X-Y平面中有一恒定的位移不連續(xù)直線單元，除該部分外，位移處處連續(xù)。直線段在x軸上|X|≤a，y=0，假設(shè)其為線性裂紋，定義其中一個面為y=0的正面，表示為y=0+，另一個為負面，表示為y=0-，在從裂紋一個面移動到另一個面的過程中，位移會產(chǎn)生恒定變化值Di=(Dx,Dy)。定義Di作為兩邊位移差：

(1)

ux和uy沿x軸正方向，則Dx和Dy為正，如圖1所示，應(yīng)力和位移可表示為

(2)

其中，f,x，f,y，f,xy，f,xxy表示函數(shù)f(x,y)相關(guān)導(dǎo)數(shù)，則：

(3)

圖1 非連續(xù)位移分量[10]

圖2 裂紋單元體形式[10]

(4)

(5)

巖體的非連續(xù)可分為三個階段，根據(jù)裂紋剪切應(yīng)力與法向應(yīng)力不同，不同階段可表示為：

(6)

(7)

式中：Ks和Kn為節(jié)理剪切剛度與法向剛度，將式(7)代入式(6)得：

(8)

3)裂紋滑動破裂：

(9)

式中：θ—裂紋內(nèi)摩擦角；c—粘聚力, 滑動后c=0。將式(9)代入式(6)得：

(10)

每個裂紋單元的狀態(tài)均可通過Mohr-Coulomb破裂準則進行判定：

1)張開節(jié)理：σn>0；

2)彈性節(jié)理：σn<0，|σs|

3)剪切節(jié)理：σn<0，|σs|≥c+|σn|tanθ。

1.2 基于應(yīng)力釋放率的F準則及FRACOD

Shen等[10-11]提出了基于最大應(yīng)變能釋放率的F-準則來預(yù)測裂紋傳播。F-準則將裂紋尖端應(yīng)變能釋放率分為兩部分：Mode I和Mode II，二者之和決定裂紋起裂及傳播方向。假設(shè)裂紋在任意方向傳播一個單位長度，新裂紋為張開裂紋，沒有任何剪切錯動，則應(yīng)變能損失為GI；同理，新裂紋若只有剪切錯動，沒有張開裂紋，則應(yīng)變能損失為GII，那么F-準則可表示為：

(11)

F(θ)|θ=θ0=max，

(12)

F(θ)|θ=θ0=1.0。

(13)

式(11)中，GI(θ)和GII(θ)為最大應(yīng)變能釋放率，GIc和GIIc為材料強度參數(shù)。式(12)中，當θ=θ0時，F(xiàn)為最大值，則θ0為裂紋傳播方向；式(13)中當F值為1.0時，裂紋開始起裂并擴展。

線彈性體中應(yīng)變能

(14)

式中：σij—應(yīng)力張量；εij—應(yīng)變張量。應(yīng)變能可通過邊界處的應(yīng)力應(yīng)變進行計算：

(15)

式中：σs—彈性體邊界處的切向應(yīng)力；σn—彈性體邊界處的法向應(yīng)力；us—彈性體邊界處的切向位移；un—彈性體邊界處的法向位移。將式(15)代入受遠場法向應(yīng)力與剪切應(yīng)力的無限體裂紋系統(tǒng)中得：

(16)

式中：a—裂紋長度；Ds—裂紋剪切非連續(xù)位移；Dn—裂紋法向非連續(xù)位移。利用位移非連續(xù)邊界元進行計算，應(yīng)變能亦可以表示為：

(17)

G的預(yù)測值為：

(18)

式中：W(a)—原始裂紋應(yīng)變能；W(a+Δa)—裂紋擴展后應(yīng)變能，Δa為裂紋尖端沿θ方向次生裂紋擴展的距離，如圖3所示。

圖3 裂紋尖端擴展[10]

圖4 完整巖石拉伸或剪切裂紋起裂[10]

Shen等[10]結(jié)合位移非連續(xù)邊界元與F-準則開發(fā)了巖石混合裂紋擴展軟件FRACOD。初始巖體假設(shè)為無損傷、各向同性的均質(zhì)介質(zhì)，但局部可破裂產(chǎn)生新的裂紋。完整巖石的破裂可通過Mohr-Coulomb準則、Hoek-Brown準則等進行預(yù)測。如圖4所示，當巖石某點拉伸應(yīng)力大于其拉伸強度時，則拉伸裂紋開始起裂。

(19)

式中：σtensile—某點的拉伸應(yīng)力；σt—完整巖石的拉伸強度；θit—拉伸裂紋起裂方向；θ(σtensile)—拉伸應(yīng)力方向。裂紋起裂長度由完整巖石內(nèi)網(wǎng)格尺寸所決定。

對于剪切裂紋，當某點剪切應(yīng)力大于其剪切強度，則剪切裂紋開始形成。

(20)

式中：σshear—θis方向的剪切應(yīng)力；σn—剪切破壞面上的正應(yīng)力；θ—內(nèi)摩擦角；c—內(nèi)聚力；θis—最小剪切阻力方向，也是潛在剪切破壞面。裂紋擴展長度由完整巖石內(nèi)網(wǎng)格尺寸所決定。

2 工程應(yīng)用案例分析

FRACOD研發(fā)的最終目的是為模擬實際工程中出現(xiàn)的斷裂損傷、裂紋擴展等問題。近年來，F(xiàn)RACOD在鉆孔破裂、礦柱剝落、水壓致裂、巷道及豎井的穩(wěn)定性等[9，12-17]方面得到了廣泛應(yīng)用。為驗證FRACOD在巖石工程設(shè)計領(lǐng)域的可行性，對巖石力學(xué)雙軸壓縮試驗、地?zé)衢_發(fā)鉆孔破裂、水壓致裂等三個案例進行模擬驗證分析。

2.1 模擬雙軸壓縮試驗

地下工程施工過程中，如煤層開采、巷道開挖和隧道掘進等，施工周圍巖體常處于雙向受力狀態(tài)，周圍巖體的承載能力較三向受力狀態(tài)明顯下降，一旦失穩(wěn)，將會帶來災(zāi)難性的后果，嚴重威脅著施工人員的生命安全。因此，有必要對施工周圍巖體的強度變化及裂紋擴展規(guī)律進行分析。根據(jù)前面對FRACOD理論基礎(chǔ)分析可知，F(xiàn)RACOD可用于模擬雙軸壓縮試驗。故采用FRACOD模擬雙軸壓縮過程中巖體的軸向應(yīng)力變化及裂紋擴展規(guī)律。同時，為驗證該模擬結(jié)果的準確性，將模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗結(jié)果進行對比驗證。

試驗采用的試樣長度為120 mm，寬度為60 mm。為模擬非潤滑接觸條件(強摩擦)，試驗過程中，限制了試樣頂部和底部邊界的水平移動。試樣的頂部和底部邊界分別施加了垂直壓縮位移，側(cè)邊界施加10 MPa的約束應(yīng)力。在每一步的計算中，增加豎直相對位移0.01 mm，直至試樣破壞為止。根據(jù)前期試驗經(jīng)驗[20]，假定本次試驗完整巖樣的彈性模量為60 GPa，泊松比為0.25，內(nèi)聚力為38 MPa，內(nèi)摩擦角為30°，拉應(yīng)力為13.4 MPa。I型和II型裂紋斷裂韌度值分別為1.2 MPa·m1/2和3.0 MPa·m1/2。

本次模擬采用了Mohr-Coulomb強度準則及隨機裂紋起裂函數(shù)，并且將初始起裂應(yīng)力水平設(shè)定為巖石強度的50%。模擬試驗加載過程中裂紋起裂和擴展的預(yù)測過程如圖5所示。

圖5 雙軸應(yīng)力壓縮作用下巖樣裂紋的起裂、擴展及最終破壞的預(yù)測過程[20]

圖6為FRACOD模擬雙軸加載試驗過程中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。軸向應(yīng)力為80 MPa時裂紋開始起裂，應(yīng)力-應(yīng)變曲線偏離初始的線性關(guān)系，變?yōu)榉蔷€性。當施加的應(yīng)力達到125 MPa左右時，裂紋快速擴展并貫通，當巖樣的軸向載荷達到130 MPa時，其形成一個較大的剪切破壞面。峰后階段裂紋繼續(xù)擴展，整體承載能力降低。最終，試樣完全破壞，殘余強度約為60 MPa。此次模擬試驗結(jié)果與室內(nèi)試驗結(jié)果基本一致，說明FRACOD可以很好地模擬雙軸壓縮試驗。

圖6 雙軸壓縮模擬過程中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線[15]

2.2 模擬鉆孔破裂

FRACOD于2002年開始用于模擬澳大利亞干熱巖地?zé)崮荛_采過程中的深部花崗巖鉆孔破裂過程[18]。在該案例中由于鉆孔深度較大(>4 000 m)，現(xiàn)場地應(yīng)力測量難以實施，尤其最大和最小主應(yīng)力值均難以確定，這為后期工程方案設(shè)計和施工帶來較大影響。為此，進行了鉆孔破裂形態(tài)的現(xiàn)場觀測，并利用FRACOD軟件模擬了巖體主應(yīng)力的分布情況。通過澳大利亞實測數(shù)據(jù)與模擬結(jié)果的對比驗證了FRACOD模擬的準確性。

首先，通過聲波掃描獲得了深度3 000～4 500 m段注入井的破裂寬度，并借助卡尺等工具測量了注入井的破裂深度。注入井典型的破裂掃描圖像如圖7所示，其中破裂寬度角約為62°，實測破裂深度約為鉆孔半徑的23%。

圖7 鉆孔破裂測量值與FRACOD模擬值比較[20]

基于以上現(xiàn)場觀測結(jié)果，采用FRACOD軟件進行注入井典型的破裂過程的模擬。由于注入井深度4 500 m處的壓力過大(大于35 MPa)，溫度過高(約240°)，難以獲得力學(xué)參數(shù)，故本次模擬過程選用了文獻[14]獲得的花崗巖力學(xué)參數(shù)，即：彈性模量65 GPa，泊松比0.25，內(nèi)聚力31 MPa，摩擦角35°，單軸抗壓強度120 MPa，I型裂紋斷裂韌度值為1.35 MPa·m1/2，II型裂紋斷裂韌度值為3.07 MPa·m1/2。

FRACOD模型中分析了大量的最大和最小水平主應(yīng)力組合。對于最大水平主應(yīng)力為60 MPa(減去空隙水壓的有效應(yīng)力)、最小主應(yīng)力為30 MPa的組合，預(yù)測的破裂角為58°、深度約為鉆孔半徑的26%，如圖7(b)所示。通過對多個應(yīng)力組合的模擬，得出了兩主應(yīng)力組合與鉆孔破壞的寬度及深度的關(guān)系，最后根據(jù)在不同深度測得的實際鉆孔破壞尺寸反算出該處的水平應(yīng)力大小。結(jié)果表明，該地區(qū)的原巖水平應(yīng)力均大于豎直應(yīng)力。

在后續(xù)的鉆孔水壓致裂工程中，根據(jù)微地震監(jiān)測數(shù)據(jù)，裂隙的傳播都在一個近水平的平面上，證實現(xiàn)場豎直應(yīng)力為最小主應(yīng)力。FRACOD所模擬的應(yīng)力與深井花崗巖的實際觀測值相吻合。該模擬結(jié)果驗證了FRACOD在模擬鉆孔破裂方面的可行性。

2.3 模擬水壓致裂

FRACOD亦可應(yīng)用于水壓致裂方面的研究。為驗證FRACOD在模擬水壓致裂方面的可行性，進行了水壓致裂模擬試驗研究，并將模擬結(jié)果與Tsukada課題組的注水壓裂室內(nèi)試驗結(jié)果進行對比驗證。

Tsukada等[21]配制了含兩條交叉預(yù)制裂隙的方形砂漿試件，并對該試件進行了水壓致裂試驗。結(jié)果表明，次生裂紋大致沿預(yù)制裂紋方向擴展。當采用FRACOD模擬該室內(nèi)試驗過程時，預(yù)測到該試件主要呈剪切裂紋擴展模式，如圖8所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)RACOD預(yù)測的裂紋擴展路徑及臨界載荷與室內(nèi)試驗結(jié)果基本一致，證明了FRACOD軟件可準確模擬水壓致裂。

圖8 裂縫擴展觀測與預(yù)測的比較[20]

3 結(jié)論

1)基于巖石斷裂力學(xué)理論及F-準則，開發(fā)了能夠模擬巖石混合裂紋擴展的FRACOD軟件，可以準確模擬巖石的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ+Ⅱ型裂紋擴展、應(yīng)力場、位移場等物理參量的變化特征。該軟件對巖石工程設(shè)計領(lǐng)域發(fā)展具有重要的指導(dǎo)意義和參考價值。

2)從理論方面對FRACOD進行了詳細的介紹，軟件以間接邊界元的位移非連續(xù)法為基本理論，引入Mohr-Coulomb準則模擬裂隙的起裂，以及F-準則模擬混合型裂隙擴展及破壞特征。在此基礎(chǔ)上，通過鉆孔破裂、雙軸壓縮、水壓致裂三個模擬試驗進行了案例分析驗證。通過模擬試驗結(jié)果與室內(nèi)試驗或現(xiàn)場觀測結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)RACOD可以準確模擬巖石的混合裂紋擴展，在眾多工程領(lǐng)域具有適用性。

筆者開發(fā)的FRACOD軟件不僅可以模擬單一場的裂紋擴展，而且還相繼研發(fā)了H-M(液-力)耦合模塊、H-T(液-熱)耦合模塊、H-T-M(液-熱-力)耦合模塊用以模擬多場耦合作用下的裂紋擴展規(guī)律及巖體破壞特征。在后期工作中，將會一一進行詳細介紹。