(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以描述真實(shí)世界的許多復(fù)雜系統(tǒng)，在現(xiàn)實(shí)生活中如互聯(lián)網(wǎng)、生物網(wǎng)、社交網(wǎng)都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來表示，因此，對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。由于網(wǎng)絡(luò)之間錯綜復(fù)雜的耦合關(guān)系，一個節(jié)點(diǎn)發(fā)生變化可能導(dǎo)致其他節(jié)點(diǎn)隨之變化。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間存在多種耦合關(guān)系，如文獻(xiàn)[1-2]對耦合矩陣為常值矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[3-4]研究了具有狀態(tài)延遲耦合形式的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，文獻(xiàn)[5-6]討論當(dāng)耦合配置矩陣為時變矩陣時的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制問題，文獻(xiàn)[7]采用一組隨機(jī)變量描述節(jié)點(diǎn)之間的耦合現(xiàn)象。目前關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)取得了大量的成果，但是針對耦合矩陣或耦合規(guī)律已知的情況較多，對于耦合發(fā)生概率不確定的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究還不完善。然而，現(xiàn)實(shí)中許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)之間是否發(fā)生耦合現(xiàn)象是隨機(jī)的，并且耦合發(fā)生的概率通常是不確定的，例如，開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器[8]、電力電子變換器[9]中都存在節(jié)點(diǎn)之間耦合發(fā)生概率不確定的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[10]針對一類具有狀態(tài)延遲現(xiàn)象的線性時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，提出了在耦合發(fā)生概率和測量缺失概率都不確定下的狀態(tài)估計(jì)問題。

另一方面，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在受到外界干擾時，可能會發(fā)生不同類型的故障。文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]分別對具有內(nèi)耦合故障和執(zhí)行器故障的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行容錯控制研究。文獻(xiàn)[13]針對具有模型不確定性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過設(shè)計(jì)故障檢測估計(jì)器和故障隔離估計(jì)器，對故障進(jìn)行檢測和隔離。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時，能夠及時估計(jì)出故障的大小也是十分重要的。針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的故障估計(jì)問題，文獻(xiàn)[14]通過設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器，對事件觸發(fā)條件下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)和故障的估計(jì)。文獻(xiàn)[15]研究一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的多故障估計(jì)問題，并設(shè)計(jì)了一種新的分布式中間估計(jì)器。然而，關(guān)于耦合發(fā)生概率不確定下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)故障估計(jì)問題的研究還比較有限。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，考慮研究一類在耦合發(fā)生概率不確定下的非線性離散時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳感器故障估計(jì)問題。文章的創(chuàng)新之處在于：在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型中引入系統(tǒng)非線性以及耦合發(fā)生概率的不確定性，并考慮常見的傳感器故障類型，應(yīng)用增廣狀態(tài)方法對得到的增廣系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于觀測器的分布式估計(jì)器，實(shí)現(xiàn)在線的故障估計(jì)。

1 問題描述

考慮由N個耦合節(jié)點(diǎn)組成的非線性離散時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

(1)

其中:i=1,2,…,N;xi(k)∈Rn，yi(k)∈Rq分別為第i個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量和測量輸出向量;φ(xi(k))為非線性函數(shù);wi(k)∈Rm是均值為零、方差為Qi(k)的過程噪聲；vi(k)∈Rq是均值為零、方差為Ri(k)的測量噪聲；fi(k)∈Rl為故障向量，這里指傳感器故障；Γ=diag{γ1,γ2,…,γn}≥0為已知的連接矩陣；W=[ωij]N×N為耦合配置矩陣，ωij≥0(i≠j)；Bi(k)、Ci(k)、Di(k)為具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣。隨機(jī)變量λi(k)描述節(jié)點(diǎn)之間是否存在耦合現(xiàn)象，λi(k)=1表示節(jié)點(diǎn)之間存在耦合關(guān)系，λi(k)=0表示節(jié)點(diǎn)之間不存在耦合關(guān)系，且服從以下的伯努利分布

(2)

在實(shí)際系統(tǒng)中，由于環(huán)境的變化以及傳感器失效、漂移等導(dǎo)致的傳感器故障時有發(fā)生，常見的有卡死、恒增益變化、恒偏差失效三種[16]。不失一般性，本研究將故障近似表征[17]為：

fi(t)=a0+a1t，

(3)

其中，a0和a1為未知常數(shù)向量。當(dāng)a0=a1=0時，表示沒有故障發(fā)生；當(dāng)a0≠0，a1=0時，fi(t)表示未知常值故障；當(dāng)a1≠0時，fi(t)表示緩變漂移型故障。

(4)

ξi(k+1)=Gξi(k)。

(5)

為了估計(jì)故障fi(k)，即ξi,2(k)，定義增廣狀態(tài)

(6)

通過(5)式和(6)式，可將式(1)改寫成如(7)式所示的形式

(7)

對(7)式構(gòu)造如下估計(jì)器

(8)

本研究的主要目的是求取(8)式中估計(jì)器的增益矩陣，同時估計(jì)器的設(shè)計(jì)需要滿足以下兩個條件：

1)存在一組正定矩陣Ξi(k+1|k+1)，使得Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)；

2)設(shè)計(jì)估計(jì)器的增益矩陣Ki(k+1)，使得在每一時刻矩陣Ξi(k+1|k+1)最小。

引理1[18]任意給出兩個具有相同維數(shù)的實(shí)向量α和β，則下面的不等式成立:

αβT+βαT≤ηααT+η-1ββT，

其中，η>0為任意標(biāo)量。

引理2[19]設(shè)矩陣A,M,N和F具有合適的維數(shù)，F(xiàn)FT≤I，設(shè)X為正定對稱矩陣，μ>0為任意標(biāo)量，且μ-1I-NXNT>0，則下面的不等式成立:

引理3設(shè)矩陣A,B,X和P為具有合適維數(shù)的給定矩陣，則下面的求導(dǎo)規(guī)則成立:

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，首先推導(dǎo)一步預(yù)報(bào)誤差協(xié)方差和估計(jì)誤差協(xié)方差的遞推公式。

由(7)式和(8)式，得到狀態(tài)的一步預(yù)報(bào)誤差

(9)

(10)

(11)

由(9)～(11)式得:

(12)

由(7)式和(8)式，得到狀態(tài)的估計(jì)誤差

(13)

定理1對于估計(jì)器(8)，一步預(yù)報(bào)誤差協(xié)方差的遞推公式如下

(14)

其中:

證明：根據(jù)(12)式得

(15)

定理2對于估計(jì)器(8)，估計(jì)誤差協(xié)方差的遞推公式如下

(16)

證明：根據(jù)(13)式得

(17)

由Ε{vi(k+1)}=0得φ6(k+1)=0，根據(jù)(17)式可得(16)式，定理2得證。

定理3考慮(14)式和(16)式，存在ηi(i=1,2,3,4)和μ為正實(shí)數(shù)，在初始條件Pi(0|0)≤Ξi(0|0)的前提下，使得以下兩個類似Riccati差分方程的矩陣方程成立

(18)

(19)

(20)

Ξi(k+1|k)和Ξi(k+1|k+1)為上述兩個矩陣方程的正定解矩陣，并且滿足約束條件μ-1I-Ξi(k|k)>0，則Ξi(k+1|k+1)是Pi(k+1|k+1)的上界，即Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)。此外，估計(jì)器的增益矩陣為

(21)

并且所設(shè)計(jì)的估計(jì)器增益矩陣使矩陣Ξi(k+1|k+1)取最小值。

證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。考慮初始條件Pi(0|0)≤Ξi(0|0)，然后假設(shè)Pi(k|k)≤Ξi(k|k)，只需證明Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)成立。

由式(14)，根據(jù)引理1得

(22)

(23)

(24)

(25)

在式(22)～(25)中，ηi(i=1,2,3,4)為正實(shí)數(shù)，?i在式(20)中定義。根據(jù)估計(jì)誤差協(xié)方差的定義以及不等式的性質(zhì)得

(26)

(27)

其中，δi(i=1,2,3,4,5,6)在式(20)中定義。根據(jù)式(16)和式(27)得

(28)

根據(jù)引理3得

+2Ki(k+1)Ri(k+1)。

(29)

令(29)式右端為零，得到

(30)

又因?yàn)?/p>

(31)

因此，由式(29)～(30)知，增益矩陣Ki(k+1)可以使矩陣Ξi(k+1|k+1)的跡最小，即矩陣Ξi(k+1|k+1)最小。綜上，定理3得證。

注：文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[10]研究的是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問題，沒有同時考慮系統(tǒng)非線性和節(jié)點(diǎn)之間耦合發(fā)生概率的不確定性。而實(shí)際系統(tǒng)往往是非線性的，并且存在節(jié)點(diǎn)之間耦合發(fā)生概率不確定的現(xiàn)象。因此，本研究同時考慮了系統(tǒng)的非線性和節(jié)點(diǎn)之間耦合發(fā)生概率的不確定性。文獻(xiàn)[14]通過設(shè)計(jì)集中式狀態(tài)估計(jì)器對非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行狀態(tài)和故障的聯(lián)合估計(jì)，與文獻(xiàn)[14]相比，本研究考慮了節(jié)點(diǎn)之間耦合發(fā)生概率的不確定性，并且考慮不同類型的傳感器故障，構(gòu)造分布式估計(jì)器對故障進(jìn)行估計(jì)，減少了計(jì)算復(fù)雜度。因此，本研究所考慮的問題是比較全面的。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該估計(jì)器的有效性，考慮不同類型的傳感器故障，設(shè)f1(k)和f2(k)為未知常值故障，f3(k)為緩變漂移型故障，f4(k)為上述兩種故障的組合形式。故障的表達(dá)式如下:

分別對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)4個節(jié)點(diǎn)的故障進(jìn)行估計(jì)，仿真結(jié)果如圖1～4所示，可以看出，對于這四種不同類型的故障，所設(shè)計(jì)的估計(jì)器都能夠達(dá)到很好的估計(jì)效果。

4 結(jié)論

研究了由N個耦合節(jié)點(diǎn)組成的非線性離散時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳感器故障估計(jì)問題，并且節(jié)點(diǎn)之間耦合發(fā)生的概率是不確定的。首先將系統(tǒng)狀態(tài)和故障進(jìn)行增廣，對得到的增廣系統(tǒng)構(gòu)造基于觀測器的估計(jì)器，然后設(shè)計(jì)合適的估計(jì)器增益矩陣，使得估計(jì)誤差協(xié)方差的一個上界有最小值，最終實(shí)現(xiàn)傳感器故障的在線估計(jì)。仿真結(jié)果表明，當(dāng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)發(fā)生不同類型的傳感器故障時，所設(shè)計(jì)的估計(jì)器都能夠較準(zhǔn)確的估計(jì)出故障的幅值。為了減少網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)擔(dān)，在后續(xù)的研究中，將根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的性能需求采取不同的傳輸協(xié)議，如事件觸發(fā)傳輸協(xié)議、Round-Robin協(xié)議等。

表1 估計(jì)器增益矩陣Ki(k)的值

圖1 節(jié)點(diǎn)1故障及其估計(jì)

圖2 節(jié)點(diǎn)2故障及其估計(jì)

圖3 節(jié)點(diǎn)3故障及其估計(jì)

圖4 節(jié)點(diǎn)4故障及其估計(jì)