(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

復雜網絡可以描述真實世界的許多復雜系統(tǒng)，在現(xiàn)實生活中如互聯(lián)網、生物網、社交網都可以用復雜網絡來表示，因此，對復雜網絡的研究具有重要的現(xiàn)實意義。由于網絡之間錯綜復雜的耦合關系，一個節(jié)點發(fā)生變化可能導致其他節(jié)點隨之變化。復雜網絡節(jié)點之間存在多種耦合關系，如文獻[1-2]對耦合矩陣為常值矩陣的復雜網絡進行研究，文獻[3-4]研究了具有狀態(tài)延遲耦合形式的復雜網絡模型，文獻[5-6]討論當耦合配置矩陣為時變矩陣時的復雜網絡同步控制問題，文獻[7]采用一組隨機變量描述節(jié)點之間的耦合現(xiàn)象。目前關于復雜網絡的研究已經取得了大量的成果，但是針對耦合矩陣或耦合規(guī)律已知的情況較多，對于耦合發(fā)生概率不確定的復雜網絡研究還不完善。然而，現(xiàn)實中許多復雜網絡的節(jié)點之間是否發(fā)生耦合現(xiàn)象是隨機的，并且耦合發(fā)生的概率通常是不確定的，例如，開關電源轉換器[8]、電力電子變換器[9]中都存在節(jié)點之間耦合發(fā)生概率不確定的現(xiàn)象。文獻[10]針對一類具有狀態(tài)延遲現(xiàn)象的線性時變復雜網絡系統(tǒng)，提出了在耦合發(fā)生概率和測量缺失概率都不確定下的狀態(tài)估計問題。

另一方面，由于復雜網絡具有復雜的拓撲結構，在受到外界干擾時，可能會發(fā)生不同類型的故障。文獻[11]和文獻[12]分別對具有內耦合故障和執(zhí)行器故障的復雜網絡系統(tǒng)進行容錯控制研究。文獻[13]針對具有模型不確定性的復雜網絡系統(tǒng)，通過設計故障檢測估計器和故障隔離估計器，對故障進行檢測和隔離。在實際應用中，當系統(tǒng)發(fā)生故障時，能夠及時估計出故障的大小也是十分重要的。針對復雜網絡的故障估計問題，文獻[14]通過設計狀態(tài)估計器，對事件觸發(fā)條件下的復雜網絡系統(tǒng)進行狀態(tài)和故障的估計。文獻[15]研究一類復雜網絡的多故障估計問題，并設計了一種新的分布式中間估計器。然而，關于耦合發(fā)生概率不確定下復雜網絡故障估計問題的研究還比較有限。

受以上文獻的啟發(fā)，考慮研究一類在耦合發(fā)生概率不確定下的非線性離散時變復雜網絡系統(tǒng)的傳感器故障估計問題。文章的創(chuàng)新之處在于：在復雜網絡模型中引入系統(tǒng)非線性以及耦合發(fā)生概率的不確定性，并考慮常見的傳感器故障類型，應用增廣狀態(tài)方法對得到的增廣系統(tǒng)設計基于觀測器的分布式估計器，實現(xiàn)在線的故障估計。

1 問題描述

考慮由N個耦合節(jié)點組成的非線性離散時變復雜網絡模型

(1)

其中:i=1,2,…,N;xi(k)∈Rn，yi(k)∈Rq分別為第i個節(jié)點的狀態(tài)向量和測量輸出向量;φ(xi(k))為非線性函數(shù);wi(k)∈Rm是均值為零、方差為Qi(k)的過程噪聲；vi(k)∈Rq是均值為零、方差為Ri(k)的測量噪聲；fi(k)∈Rl為故障向量，這里指傳感器故障；Γ=diag{γ1,γ2,…,γn}≥0為已知的連接矩陣；W=[ωij]N×N為耦合配置矩陣，ωij≥0(i≠j)；Bi(k)、Ci(k)、Di(k)為具有適當維數(shù)的已知矩陣。隨機變量λi(k)描述節(jié)點之間是否存在耦合現(xiàn)象，λi(k)=1表示節(jié)點之間存在耦合關系，λi(k)=0表示節(jié)點之間不存在耦合關系，且服從以下的伯努利分布

(2)

在實際系統(tǒng)中，由于環(huán)境的變化以及傳感器失效、漂移等導致的傳感器故障時有發(fā)生，常見的有卡死、恒增益變化、恒偏差失效三種[16]。不失一般性，本研究將故障近似表征[17]為：

fi(t)=a0+a1t，

(3)

其中，a0和a1為未知常數(shù)向量。當a0=a1=0時，表示沒有故障發(fā)生；當a0≠0，a1=0時，fi(t)表示未知常值故障；當a1≠0時，fi(t)表示緩變漂移型故障。

(4)

ξi(k+1)=Gξi(k)。

(5)

為了估計故障fi(k)，即ξi,2(k)，定義增廣狀態(tài)

(6)

通過(5)式和(6)式，可將式(1)改寫成如(7)式所示的形式

(7)

對(7)式構造如下估計器

(8)

本研究的主要目的是求取(8)式中估計器的增益矩陣，同時估計器的設計需要滿足以下兩個條件：

1)存在一組正定矩陣Ξi(k+1|k+1)，使得Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)；

2)設計估計器的增益矩陣Ki(k+1)，使得在每一時刻矩陣Ξi(k+1|k+1)最小。

引理1[18]任意給出兩個具有相同維數(shù)的實向量α和β，則下面的不等式成立:

αβT+βαT≤ηααT+η-1ββT，

其中，η>0為任意標量。

引理2[19]設矩陣A,M,N和F具有合適的維數(shù)，F(xiàn)FT≤I，設X為正定對稱矩陣，μ>0為任意標量，且μ-1I-NXNT>0，則下面的不等式成立:

引理3設矩陣A,B,X和P為具有合適維數(shù)的給定矩陣，則下面的求導規(guī)則成立:

2 主要結果

在本節(jié)中，首先推導一步預報誤差協(xié)方差和估計誤差協(xié)方差的遞推公式。

由(7)式和(8)式，得到狀態(tài)的一步預報誤差

(9)

(10)

(11)

由(9)～(11)式得:

(12)

由(7)式和(8)式，得到狀態(tài)的估計誤差

(13)

定理1對于估計器(8)，一步預報誤差協(xié)方差的遞推公式如下

(14)

其中:

證明：根據(jù)(12)式得

(15)

定理2對于估計器(8)，估計誤差協(xié)方差的遞推公式如下

(16)

證明：根據(jù)(13)式得

(17)

由Ε{vi(k+1)}=0得φ6(k+1)=0，根據(jù)(17)式可得(16)式，定理2得證。

定理3考慮(14)式和(16)式，存在ηi(i=1,2,3,4)和μ為正實數(shù)，在初始條件Pi(0|0)≤Ξi(0|0)的前提下，使得以下兩個類似Riccati差分方程的矩陣方程成立

(18)

(19)

(20)

Ξi(k+1|k)和Ξi(k+1|k+1)為上述兩個矩陣方程的正定解矩陣，并且滿足約束條件μ-1I-Ξi(k|k)>0，則Ξi(k+1|k+1)是Pi(k+1|k+1)的上界，即Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)。此外，估計器的增益矩陣為

(21)

并且所設計的估計器增益矩陣使矩陣Ξi(k+1|k+1)取最小值。

證明：用數(shù)學歸納法證明?？紤]初始條件Pi(0|0)≤Ξi(0|0)，然后假設Pi(k|k)≤Ξi(k|k)，只需證明Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)成立。

由式(14)，根據(jù)引理1得

(22)

(23)

(24)

(25)

在式(22)～(25)中，ηi(i=1,2,3,4)為正實數(shù)，?i在式(20)中定義。根據(jù)估計誤差協(xié)方差的定義以及不等式的性質得

(26)

(27)

其中，δi(i=1,2,3,4,5,6)在式(20)中定義。根據(jù)式(16)和式(27)得

(28)

根據(jù)引理3得

+2Ki(k+1)Ri(k+1)。

(29)

令(29)式右端為零，得到

(30)

又因為

(31)

因此，由式(29)～(30)知，增益矩陣Ki(k+1)可以使矩陣Ξi(k+1|k+1)的跡最小，即矩陣Ξi(k+1|k+1)最小。綜上，定理3得證。

注：文獻[1]和文獻[10]研究的是復雜網絡的狀態(tài)估計問題，沒有同時考慮系統(tǒng)非線性和節(jié)點之間耦合發(fā)生概率的不確定性。而實際系統(tǒng)往往是非線性的，并且存在節(jié)點之間耦合發(fā)生概率不確定的現(xiàn)象。因此，本研究同時考慮了系統(tǒng)的非線性和節(jié)點之間耦合發(fā)生概率的不確定性。文獻[14]通過設計集中式狀態(tài)估計器對非線性復雜網絡進行狀態(tài)和故障的聯(lián)合估計，與文獻[14]相比，本研究考慮了節(jié)點之間耦合發(fā)生概率的不確定性，并且考慮不同類型的傳感器故障，構造分布式估計器對故障進行估計，減少了計算復雜度。因此，本研究所考慮的問題是比較全面的。

3 仿真驗證

為了驗證該估計器的有效性，考慮不同類型的傳感器故障，設f1(k)和f2(k)為未知常值故障，f3(k)為緩變漂移型故障，f4(k)為上述兩種故障的組合形式。故障的表達式如下:

分別對復雜網絡4個節(jié)點的故障進行估計，仿真結果如圖1～4所示，可以看出，對于這四種不同類型的故障，所設計的估計器都能夠達到很好的估計效果。

4 結論

研究了由N個耦合節(jié)點組成的非線性離散時變復雜網絡系統(tǒng)的傳感器故障估計問題，并且節(jié)點之間耦合發(fā)生的概率是不確定的。首先將系統(tǒng)狀態(tài)和故障進行增廣，對得到的增廣系統(tǒng)構造基于觀測器的估計器，然后設計合適的估計器增益矩陣，使得估計誤差協(xié)方差的一個上界有最小值，最終實現(xiàn)傳感器故障的在線估計。仿真結果表明，當復雜網絡發(fā)生不同類型的傳感器故障時，所設計的估計器都能夠較準確的估計出故障的幅值。為了減少網絡通信負擔，在后續(xù)的研究中，將根據(jù)實際系統(tǒng)的性能需求采取不同的傳輸協(xié)議，如事件觸發(fā)傳輸協(xié)議、Round-Robin協(xié)議等。

表1 估計器增益矩陣Ki(k)的值

圖1 節(jié)點1故障及其估計

圖2 節(jié)點2故障及其估計

圖3 節(jié)點3故障及其估計

圖4 節(jié)點4故障及其估計