金瀏，李平，杜修力

(北京工業(yè)大學 城市減災與防災防護教育部重點實驗室，北京 100124)

約束混凝土力學性能的研究表明，箍筋的約束作用能夠顯著改善混凝土的強度和延性。學者們對箍筋約束混凝土柱軸心受壓性能開展了大量研究，并提出了考慮箍筋間距、箍筋形式及混凝土強度等多種參數(shù)影響的本構模型。Kent等[1]提出的應力-應變曲線的上升段采用分數(shù)方程，下降部分采用線性函數(shù)表示。Saatcioglu等[2]提出的應力-應變模型包括拋物線形式的上升段，線性下降段和等于20%峰值強度的殘余強度。Mander等[3]、Razvi等[4]、Chung等[5]、趙作周等[6]、史慶軒等[7]也分別提出了不同的約束混凝土本構模型。然而，上述箍筋約束混凝土應力-應變關系模型多針對試件尺寸小于工程中實際應用的構件，難以考慮試件尺寸對混凝土力學性能的影響。

在證實混凝土材料存在尺寸效應的基礎上[8-12]，研究者也對箍筋約束混凝土構件的軸心受壓性能進行了試驗研究[13-17]，結果表明：箍筋約束混凝土的軸壓強度存在明顯的尺寸效應，且隨約束作用的增強而減弱。另外，Kim等[13]基于試驗提出了箍筋約束混凝土尺寸效應公式，并且得出尺寸效應的強弱受體積配箍率的影響，即隨著體積配箍率的增加而逐漸減弱，當體積配箍率達到某一臨界值時，混凝土尺寸效應將消失。Du等[17]也得出了相同的研究結論，他們還研究了不同箍筋形式下約束混凝土抗壓強度的尺寸效應，結果表明：由于圓形箍筋約束作用較方形箍筋強，圓形箍筋約束混凝土柱的尺寸效應較弱。實際上，一些傳統(tǒng)的本構模型對尺寸效應已有考慮，如Park等[18]和Legeron等[19]的工作，采用強度折減系數(shù)(如取值為0.85)的方式來考慮試件尺寸的影響。這是一種粗糙的處理方法，不能科學地體現(xiàn)構件的承載力、變形能力隨尺寸變化而產生的非線性變化特性。宋佳等[20]在Kim等[21]提出的峰值應力(強度)尺寸效應公式基礎上，建立了可考慮尺寸影響的箍筋約束混凝土軸壓本構關系模型。盡管如此，Kim等[20]的強度模型不能描述箍筋約束作用對約束混凝土柱軸壓強度尺寸效應的定量影響。

近年來，Jin等[22]結合材料層次經(jīng)典的尺寸效應律及箍筋約束作用機制，建立了約束混凝土柱軸壓強度(峰值應力)的半經(jīng)驗-半理論公式。筆者在該研究工作的基礎上，進一步考慮試件尺寸、體積配箍率、箍筋形式對箍筋約束混凝土峰值壓縮應變的定量影響，并建立考慮尺寸影響的箍筋約束混凝土峰值應變的計算公式。進而，結合峰值應力(強度)和峰值應變計算公式，建立能考慮尺寸影響的箍筋約束混凝土軸壓應力-應變關系模型。與現(xiàn)有的考慮尺寸效應的箍筋約束混凝土本構模型相比，模型中峰值應力公式的力學機理清晰，能夠定量地描述箍筋率以及結構尺寸對峰值應力及峰值應變的影響。

1 箍筋約束混凝土的受壓性能及尺寸效應分析

1.1 箍筋約束混凝土軸壓力學性能

文獻[22-23]在箍筋約束混凝土軸壓破壞試驗[17,24]的基礎上，深入開展了三維細觀數(shù)值模擬與研究，考慮了試件尺寸、體積配箍率及箍筋約束形式的影響，分析了箍筋約束混凝土柱軸壓破壞力學性能及尺寸效應規(guī)律，最終建立了能反映箍筋率定量影響的約束混凝土軸壓強度尺寸效應半理論-半經(jīng)驗公式。表1為箍筋約束混凝土圓柱[22]及方柱[23]的試件幾何參數(shù)及部分模擬結果。試件編號如Y-0-S、F-0-S中，首字母為箍筋約束形式，“Y”代表圓形，“F”代表方形；0為體積配箍率；“S”、“M”、“L”、“U”分別表示小、中、大、特大4種尺寸，圓柱及方柱的模型尺寸見表1。試件詳細設計參數(shù)見文獻[22-23]。其中，混凝土試件的峰值應力σcc定義為

(1)

式中：Pu、As、Ac分別為峰值荷載、縱筋截面面積及混凝土截面面積。

1.2 應力-應變曲線影響因素

1.2.1 試件尺寸 圖1為文獻[22-23]模擬獲得的具有相同體積配箍率、不同試件尺寸的圓形及方形箍筋約束混凝土柱應力-應變曲線。圖1中，方形截面柱所采用的材料參數(shù)(骨料、砂漿及界面過渡區(qū)等細觀組分的本構模型力學參數(shù)，詳見文獻[22-23])比圓柱大，所以，方柱的峰值強度比圓柱高。由圖1可知，不同尺寸試件的曲線上升段幾乎重合，初始切線模量基本一致，然而峰值應力、峰值應變以及峰值后軟化曲線有較大差別。隨著試件尺寸增大，約束混凝土柱的峰值應力顯著降低，峰值應變也有所減小，但變化不明顯。同時，隨著試件尺寸增大，箍筋對混凝土的約束作用減弱，混凝土試件破壞脆性增強，應力-應變曲線下降段越來越陡。

表1 試件幾何參數(shù)及模擬結果

圖1 試件尺寸對應力-應變曲線的影響

1.2.2 體積配箍率 圖2為文獻[22-23]模擬獲得的圓形及方形箍筋約束混凝土柱在相同尺寸不同配箍率下的應力-應變曲線。從圖2中可以看出，隨體積配箍率的增大，約束混凝土的峰值應力增大，下降段的坡度變緩，試件破壞時延性有所提高。這是因為體積配箍率的增大，箍筋對混凝土的約束作用增強，混凝土的脆性程度降低。

圖2 配箍率對應力-應變曲線的影響

1.2.3 箍筋約束形式 由圖2中的曲線可知，箍筋約束形式對約束混凝土的應力-應變曲線有顯著影響。兩種曲線的區(qū)別主要體現(xiàn)在峰值點附近以及曲線的下降段。圓形箍筋約束混凝土柱的峰值點附近曲線比方形箍筋約束試件更加圓滑，沒有明顯的尖峰。另外，圓形箍筋約束混凝土柱的應力-應變曲線下降段較平緩。這是因為方形箍筋在四個角部處的約束力較大，截面邊長中部的箍筋約束力小，對混凝土的約束不均勻，而圓形箍筋對混凝土的約束力分布均勻，約束作用較強。

2 考慮尺寸影響的峰值應力和峰值應變

2.1 峰值應力

文獻[22-23]分別基于圓形和方形箍筋約束混凝土柱軸心受壓試驗，結合三維細觀數(shù)值模擬分析，探討了箍筋的約束作用對混凝土柱軸壓破壞及尺寸效應的影響機制。歸納總結出箍筋的約束作用一方面可以提高混凝土的強度，另一方面可以削弱混凝土的尺寸效應，這兩方面的作用分別由強度提高系數(shù)φ和尺寸效應削弱系數(shù)β來表征。

此外，文獻[22-23]基于Ba?ant材料層次尺寸效應律，提出了可反映箍筋約束作用的鋼筋混凝土柱軸壓破壞峰值應力(強度)尺寸效應公式，見式(2)。

(2)

式中：對于圓柱，fc為Φ150 mm × 300 mm混凝土圓柱體試件的軸心抗壓強度，對于方柱fc取150 mm× 150 mm×300 mm混凝土棱柱體試件的軸壓強度；B、D0為依賴于結構的幾何常數(shù)，通過對不同尺寸素混凝土試件的抗壓強度模擬值進行回歸分析得到，對于圓柱B=1.017、D0=800，對于方柱，B=1.176，D0=714；D為試件尺寸(圓柱為截面直徑，方柱為截面邊長)；φ為箍筋對混凝土強度的提高作用，β為箍筋對混凝土尺寸效應的削弱作用。由于約束機理不同，方形及圓形箍筋對核心混凝土的約束應力分布存在較大區(qū)別，式(2)中φ和β的確定也有所不同。

2.1.1 強度提高系數(shù)φMander等[3]考慮體積配箍率、箍筋形式、箍筋間距等因素建立了箍筋約束混凝土的應力-應變關系模型。模型中包含的核心混凝土峰值強度的計算方法常被后人借鑒，如Mirmiran等[25]、Fam等[26]在研究FRP約束混凝土時采用了該方法。該模型用有效約束系數(shù)ke來表征箍筋的有效約束力，ke為橫截面有效約束面積與混凝土核心區(qū)面積的比值。

對于圓形截面，根據(jù)Mander等[3]的理論研究可知，約束混凝土柱強度提高系數(shù)為

式中：fc為混凝土的軸心抗壓強度；fl為箍筋對混凝土的側向壓應力；fl/fc表示約束應力比；fyh為箍筋的屈服強度；s′為相鄰箍筋凈距；ρcc為核心區(qū)縱筋配筋率；ds為箍筋中心線包圍的截面直徑。

對于方形截面，強度提高系數(shù)可通過圖3查得。其中，箍筋對核心混凝土區(qū)域的有效側向約束力計算公式為

(6)

(7)

式中：c為邊緣箍筋中心間距；As為箍筋各肢在柱邊長方向投影面積之和；wi為第i個相鄰縱筋的凈距。對于方形截面柱，分別計算截面x、y方向上的有效側向壓應力，fl1、fl2分別為方形截面x、y兩個方向有效側向約束力的較小值和較大值，強度提高系數(shù)可通過圖3查得。

圖3 方形箍筋約束混凝土強度提高系數(shù)的確定

2.1.2 尺寸效應削弱系數(shù)β由于箍筋的約束作用，柱的延性能力增強，脆性程度降低，約束混凝土柱的尺寸效應逐漸削弱，該行為可用尺寸效應削弱系數(shù)β來表示。當箍筋率很小時，箍筋的存在對柱軸壓破壞尺寸效應無影響，此時β=1；箍筋率ρsv越大，強度尺寸效應的削弱作用越顯著，削弱系數(shù)β越大。

圖4給出了削弱系數(shù)β隨配箍率ρsv變化的近似關系曲線，圖中3條曲線表示β隨ρsv變化的快慢，且曲線上限和下限具有明確的物理意義和力學意義。尺寸效應削弱系數(shù)β表達式為

(8)

式中：α為調節(jié)系數(shù)，反映削弱系數(shù)β隨箍筋率變化的快慢。根據(jù)《混凝土結構設計規(guī)范》(GB 50010—2010)[27]，體積配箍率下限值ρsv,min建議取為0.25%。對于圓形箍筋約束混凝土柱，α建議取值為8.0；對于方形箍筋約束試件，α建議的值取為1.0。具體確定方法詳見文獻[22-23]。

圖4 尺寸效應削弱系數(shù)β的確定

2.1.3 峰值應力公式的驗證 為了驗證所提出的箍筋約束混凝土峰值應力尺寸效應計算公式的準確性，選取了文獻[16,28-30]中15根圓形箍筋約束混凝土柱試件和36根方形箍筋約束混凝土柱試件，對試驗數(shù)據(jù)進行了整理，如表2所示。統(tǒng)計試件的截面尺寸范圍為200～600 mm，抗壓強度范圍為25～51 MPa，配箍率范圍為0.6%～4.5%。圖5分析了搜集的Mander等[28]、Li等[16]、錢稼茹等[29]、胡海濤等[30]的試驗峰值應力值與本文公式計算值的對比情況，可以看出，峰值應力公式能較好地預測約束混凝土的峰值應力。此外，關于圓形箍筋約束混凝土柱的軸壓試驗較少，已有的試驗數(shù)據(jù)顯示峰值應力的計算值略顯保守。總體來說，所提出的峰值應力計算公式具有較高的精確度。

表2 箍筋約束混凝土柱軸壓試驗數(shù)據(jù)Table 2 Test data of stirrups-confined RC columns under axial compression

圖5 峰值應力公式計算值與其他試驗值對比

2.2 峰值應變

箍筋約束混凝土柱試件在軸心受壓破壞時，除峰值應力存在尺寸效應外，對應的峰值應變也在一定程度上受試件尺寸的影響，其尺寸效應問題不容忽視。然而，目前約束混凝土尺寸效應的研究主要集中于峰值應力，約束混凝土的峰值應變尺寸效應的研究相對較少。因此，關于箍筋約束混凝土的峰值應變尺寸效應的研究，缺少相關的試驗數(shù)據(jù)及理論分析模型。

鑒于無法通過理論分析得到峰值應變的尺寸效應規(guī)律，考慮約束比(fl/fc)和試件尺寸的影響，采用非線性最小二乘法對文獻[22-23]模擬結果進行回歸分析，得到圓形箍筋約束混凝土和方形箍筋約束混凝土的峰值應變計算公式。

圓形箍筋約束混凝土柱

(9)

方形箍筋約束混凝土柱

(10)

式中：εco為非約束混凝土的峰值應變，取為0.002；fl為側向壓應力，圓形箍筋混凝土試件通過式(4)和式(5)計算，方形箍筋混凝土試件根據(jù)式(6)和式(7)計算。

從式(9)和式(10)中可以看出，約束混凝土的峰值應變與試件尺寸成反比，即隨著試件尺寸的增大，峰值應變逐漸減小，這與試驗結果一致。此外，還可以看出，隨著約束比的增大，峰值應變也增大，即混凝土變形能力增強。

圖6為式(9)和式(10)計算值與文獻[22-23]中部分箍筋約束混凝土試驗及模擬結果的對比。從圖6可以看出，當體積配箍率相同時，隨著截面尺寸的增大，試件的峰值應變逐漸變小，箍筋約束混凝土柱的峰值應變存在明顯的尺寸效應?？偟膩碚f，式(9)和式(10)能夠較好的預測文獻[22-23]中約束混凝土試件的峰值應變尺寸效應規(guī)律。

圖6 峰值應變計算值與文獻[22-23]試驗及模擬值對比

另外，圖7分析了箍筋約束混凝土峰值應變公式計算值與文獻[16,28-30]中試驗結果的對比情況。由圖7可見，大部分峰值應變的計算值與文獻中試驗值擬合較好，圓柱峰值應變計算值與試驗值之比的平均值為0.94，變異系數(shù)為0.15；方柱峰值應變計算值與試驗值之比的平均值為0.93，變異系數(shù)為0.20。由于應變測量的敏感性，相較于峰值應力，峰值應變試驗結果具有較大的離散性。

圖7 峰值應變公式計算值與其他試驗值[16,28-30]對比

3 箍筋約束混凝土軸心受壓本構模型

在箍筋約束混凝土柱軸壓試驗及模擬結果的基礎上，通過考慮尺寸對約束混凝土峰值應力和峰值應變的影響，提出考慮尺寸影響的箍筋約束混凝土軸壓本構模型。

3.1 上升段

Hsu等[31]、Cusson等[32]以及Hoshikuma等[33]建立的箍筋約束混凝土應力-應變模型均采用Popovics[34]方程形式，Mander[3]約束混凝土應力-應變模型也采用了該方程，該公式預測準確度高，應用性較好，因此，上升段采用式(11)表示。

(11)

式中：σcc和εcc分別為約束混凝土峰值應力及峰值應變；r為混凝土脆性相關系數(shù)，表達式為

式中：Ec為混凝土的初始彈性模量，N/mm2。

3.2 下降段

在《混凝土結構設計規(guī)范》[27]素混凝土本構模型基礎上，考慮箍筋的約束作用對曲線下降段趨勢的影響，根據(jù)試驗及模擬結果對混凝土應力-應變曲線下降段的相關參數(shù)進行了調整，下降段曲線的表達式為

3.3 計算步驟

根據(jù)提出的峰值應力、峰值應變尺寸效應計算公式，建立考慮尺寸影響的箍筋約束混凝土應力-應變關系模型，主要計算步驟如下：

1)指定箍筋約束混凝土柱的初始應變εi；

2)采用式(2)～(5)、式(8)或式(2)、式(6)～式(8)計算出約束混凝土圓柱或方柱的峰值應力σcc；

3)采用式(9)或式(10)計算出約束混凝土圓柱或方柱的峰值應變εcc；

4)當εi≤εcc時，由式(11)～式(13)計算得到應力-應變曲線上一點；

5)不斷增大εi，重復步驟(4)，當εi>εcc時，由式(14)～式(16)計算得到應力-應變曲線上一點。

3.4 模型驗證

采用本文模型計算箍筋約束混凝土的應力-應變曲線，并與文獻[17,22-23]中部分試驗及模擬曲線進行了比較，如圖8、圖9所示。從圖8、圖9可以看出，不論是箍筋約束混凝土圓柱還是方柱，建議的應力-應變模型與試驗及模擬曲線吻合較好，能夠反映不同設計參數(shù)的箍筋約束混凝土柱的應力-應變規(guī)律。另外，從圖8(c)、(d)及圖9(c)、(d)可以看出，本文理論模型曲線的軟化下降段與試驗曲線還存在差異，這是由于未考慮約束混凝土極限應變及破壞應變的影響所造成的。

圖8 模型計算曲線與圓柱試驗[17]及模擬[22]曲線的對比

圖9 模型計算曲線與方柱試驗[24]及模擬[23]曲線的對比

圖10中同時給出了本文模型對文獻[22]中試件的預測曲線與Mander模型預測曲線(未考慮尺寸的影響)，可知:本文模型考慮了尺寸的影響，不同尺寸試件的峰值應力和峰值應變有較大差別。試件尺寸較小時，本文模型與Mander模型相差較小，但隨著試件尺寸的增大，考慮尺寸影響的模型與傳統(tǒng)本構模型差別愈發(fā)顯著?？傮w來說，考慮尺寸影響的軸壓本構模型能夠更加準確地預測大尺寸約束混凝土試件的軸壓性能，而未考慮尺寸影響的應力-應變模型高估了大尺寸試件的峰值應力和峰值應變，這大大降低了工程設計的可靠度。

圖10 模型計算曲線與Mander模型[3]的對比

4 結論

在前期研究的基礎上，分析箍筋約束混凝土柱軸心受壓應力-應變曲線的影響因素，提出了考慮尺寸影響的箍筋約束混凝土本構關系模型，主要結論如下：

1)試件尺寸是箍筋約束混凝土柱軸壓力學性能的重要影響因素，隨著試件尺寸的增大，峰值應力和峰值應變均有減小的趨勢，在建立箍筋約束混凝土本構關系時應考慮試件尺寸的影響。

2)對箍筋約束混凝土軸壓試驗中峰值應變數(shù)據(jù)進行回歸分析，提出了約束混凝土的峰值應變計算公式，該公式能夠較好地描述試件尺寸及約束比對峰值應變的影響。

3)建立了考慮尺寸影響的箍筋約束混凝土本構關系模型，該模型與試驗及模擬曲線吻合較好，能夠較準確地反映大尺寸試件的應力-應變關系。

本文僅探討了箍筋率、箍筋形式(方形箍筋及圓形箍筋)和試件尺寸對約束混凝土軸壓力學性能的影響，尚未考慮箍筋間距、混凝土強度及長細比等因素的影響，后續(xù)仍需對此進行深入的分析。若要提出具有更廣泛適用性的計算方法，尚需根據(jù)更多參數(shù)的試驗數(shù)據(jù)調整已有模型。