王鳳祥，郝淑英，胡文華

(1.天津理工大學 機械工程學院天津市先進機電系統(tǒng)設計與智能控制重點實驗室·天津·300384;2.天津理工大學 機電工程國家級實驗教學示范中心 ·天津·300384)

0 引 言

多梁復合結構廣泛應用于航空航天工程等領域，例如：空間機械手、衛(wèi)星天線、國際空間站結構[1]、能量采集器[2]。圖1中的空間站機械手[3]和工業(yè)機械臂具有多梁復合結構的典型特征。深入研究這些結構的動力學特性是所在系統(tǒng)進行參數(shù)設計和運動控制的關鍵[4]。

(a)空間站機械手

(b)工業(yè)機械臂圖1 典型多梁復合結構Fig.1 The typical multi-beam composite structures

常見的多梁復合結構有L型梁、T型梁、Z型梁和門型梁，國內(nèi)外許多學者對這些結構的平面運動模型的頻率或振型進行了研究。Balachandran和Nayfeh[5]利用拉格朗日方程對L型結構的平面彎曲振動進行了動力學分析。Warminski等人[6]研究了兩個正交方向上具有不同柔度的L型梁的振型相互作用。Narayanan等人[7]研究了三自由度T型結構在簡諧激勵下的非線性動力學響應。Uddin等人[8]指出T型壓電懸臂梁能夠將環(huán)境振動能量轉化為生物醫(yī)學設備的電能。Wei等人[9]對帶末端質量的L型梁在不同全局模態(tài)下的動態(tài)響應進行了研究。Chen等人[10]通過三次多項式近似地求出了L型梁的撓度[11-13]。Erturk等人[14]設計了L型壓電能量采集器，指出該型采集器具有較寬的能量采集頻帶。三梁結構也引起了研究者的廣泛關注[15-17]。Filipich等人[18]研究了附有扭簧和集中質量的門型框架的自由振動。Pan等人[19]討論了五種典型的門型框架屈曲問題。此外，工程中也常用到折疊結構，如機械臂和旋臂起重機。Guan和Zhu[20]指出Z型熱微致動器與傳統(tǒng)V型致動器相比有一定的優(yōu)勢。Mardanpour和Hodges[21]將機翼等效成Z型結構研究其變形過程。在結構的動力學研究和控制中，結構振型的精度至關重要。Kim和Yoo[22]研究了多參考系對折角旋轉梁結構振型分析收斂性和準確性的影響。Tripathi和Bajaj[23]用有限元法計算了幾種多梁復合結構的振型，并且分析了振型誤差。Wei等人[24]建立了非線性節(jié)點連接的多梁結構的動力學模型。Zhang等人[25]用實驗方法定性地驗證了所獲得的Z型梁的解析振型。梁結構的非平面運動控制方程中通常存在較多耦合變量，因此，其非平面動力學特性比平面動力學特性更為復雜。Ho等人[26]分析了簡支梁的彎曲和縱向變形。Silva和Glynn[27-28]建立了強迫振動下梁的非平面運動控制方程。Zhang[29]分析了懸臂梁結構的非平面振動特性。Georgiades等人[30]研究了L型梁的非平面線性振型。

上述文獻在多梁復合結構的平面或非平面運動模型上做了很多工作，但很少涉及解析振型的定量驗證。本文利用哈密頓原理建立多梁復合結構的動力學模型，得出運動控制方程及其邊界條件，給出了多梁復合結構的線性頻率和全局解析振型的求解方法，提出了在數(shù)值結果的基礎上通過MAC和頻率對比對全局解析振型進行了定量驗證的方法，以L型梁和Z型梁為例說明了求解及驗證全局解析振型的有效性。本文提出的一種求解多梁復合結構的全局解析振型并進行定量驗證的方法，對相關工程應用中多梁復合結構的參數(shù)設計和運動控制具有指導意義。

1 理論建模

1.1 位置向量

多梁復合結構是指多根直梁組成的復合結構，常見的形式有L型梁、V型梁、Z型梁以及門型梁等結構。圖2中，(a)為L型梁結構，(b)為Z型梁結構，坐標OXYZ表示慣性坐標，oixiyizi是結構中第i部分的局部坐標。

(a)L型梁

(b)Z型梁圖2 多梁復合結構示意圖Fig.2 Scheme of multi-beam composite structures

多梁復合結構中各部分的位置向量可表示為

(1)

式中：Πi見附錄A；ui、vi、wi分別表示多梁復合結構中各部分在xi，yi和zi軸方向的位移；Li是第i部分的長度。n是復合梁結構包含的直梁個數(shù)。如果只考慮復合梁結構在平面內(nèi)位移，公式(1)可簡化為平面運動模型。當n=2時，公式(1)可用于描述V型梁和L型梁；當n=3時，公式(1)可用于描述Z型梁和門型梁。

1.2 系統(tǒng)能量

多梁復合結構中各部分的動能可表示為

Ti=

i∈{1,2,…,n}

(2)

式中：符號| |表示對矢量取模，ρi是多梁復合結構中第i部分的密度；Jix、Jiy、Jiz分別表示沿x、y、z方向的主質量慣性矩；ωix、ωiy和ωiz分別表示沿x、y、z方向的角速度；Ai是橫截面積；Kix是扭轉剛度；Kiy和Kiz分別表示沿y、z方向的彎曲剛度；κix、κiy、κiz分別表示沿x、y、z方向的曲率。

多梁復合結構中各部分的勢能可表示為

(3)

式中σi和εi分別表示多梁復合結構中第i部分的應力和應變。

1.3 控制方程及邊界條件

將系統(tǒng)動能和勢能代入哈密頓方程，有

(4)

式中：Hi是為方便和簡化計算而引入的符號。

通過變分計算，得出多梁復合結構的運動控制方程及邊界條件如下

(5)

(6)

式中：i∈{1,2,…,n}，γi∈{ui,vi,wi,θi},θi表示多梁復合結構中第i部分繞各自xi軸的扭轉角度，單撇號表示對xi求一次偏導數(shù)，雙撇號表示對xi求兩次偏導數(shù)。

2 全局解析振型

2.1 理論分析

對小幅振動，可以忽略式(5)中的非線性項，得到多梁復合結構的線性運動控制方程如下

(7)

(8)

對式(7)、(8)中的變量進行變量分離，可以得到

(9)

根據(jù)Georgiades等人[28]的研究，整個結構的運動是同步的。因此

(10)

將式(9)、(10)代入式(7)、(8)可以得到如下振型

(11)

2.2 數(shù)值分析

本節(jié)以平面運動模型說明利用有限元法分析多梁復合結構的振型和頻率。令結構中每個單元包含兩個節(jié)點，每個節(jié)點具有三個自由度。例如，第k個單元的局部位移用第ζ個節(jié)點和第η個節(jié)點定義并表示為

(12)

令長度為lk的第k個元素的形函數(shù)Nk為

(13)

(14)

(15)

為了獲得質量和剛度的總矩陣，引入定位矩陣Lk和全局廣義坐標p：

(16)

(17)

利用式(16)和(17)將每個節(jié)點的運動δk表示為

δk=Lkp

(18)

將單元的動能和勢能代入到哈密頓方程：

(19)

通過變分計算并簡化式(19)，得到

(20)

式中：M和K分別由式(21)和(22)表示

(21)

(22)

給定多梁復合結構的材料和幾何參數(shù)，由式(20)可以計算出結構的線性頻率和數(shù)值振型。

2.3 分析實例

2.3.1 L型梁

圖3 L型梁的全局解析振型Fig.3 Global analytical modes of L-shaped beams

2.3.2 Z型梁

本節(jié)以Z型梁為例說明多梁復合結構的全局解析振型的定量和定性驗證方法。令Z型梁一端固定一端自由，其幾何和材料參數(shù)為：Ei=69GPa，ρi=2730(kg·m-3)，μi=0.33，Li=0.1m，bi=1.2×10-2m，hi=1×10-3m，i={1，2,3}，基于式(11)和式(20)可以求解出結構的線性頻率。

圖4給出了Z型梁的基于式(11)和式(20)獲得的前三階頻率之間的相對誤差。圖中，f表示頻率，上標T是解析結果，上標N是數(shù)值結果，下標是頻率的階數(shù)。從圖中可以看出，解析頻率與數(shù)值頻率最大相對誤差在±0.001以內(nèi)，這表明兩種結果具有良好的一致性。

圖4 Z型梁的前三階頻率相對誤差Fig.4 The relative errors of the first three order frequencies of a Z-shaped beam

圖5 Z型梁的前四階解析振型Fig.5 The first four mode shapes of Z-shaped beams

圖6 前五階振型的MACFig.6 MAC of the first five order mode shapes

圖7(a)所示的實驗系統(tǒng)通常用來獲取多梁復合結構的頻率和振型。信號發(fā)生器輸出激勵信號經(jīng)過功率放大器后輸出到激振器，激振器振動多梁復合結構，數(shù)據(jù)采集器和傳感器檢測并記錄結構的響應信號。圖7(b)是Z型梁的實驗現(xiàn)場圖片。圖中，鋁合金Z型梁安裝在激振器上，應變片貼在Z型梁的固定端，非接觸位移傳感器放置在Z型梁的側面。應變片和非接觸位移傳感器分別用來測量結構的面內(nèi)外位移。

(a)實驗系統(tǒng)示意圖

圖8給出了Z型梁在折疊角為60°時的振型。圖8(a)、(b)和(c)分別是第一階面內(nèi)的解析振型、數(shù)值振型和實驗振型，圖8(d)、(e)和(f)分別是第一階面外的解析振型、數(shù)值振型和實驗振型。圖中，解析振型由式(11)計算所得，數(shù)值振型由有限元軟件ANSYS獲得，實驗振型由圖7所示系統(tǒng)進行純模態(tài)實驗拍照所得。從圖中可以看出，三種方式所獲得的結果基本一致，這定量地驗證了Z型梁全局解析振型的正確性。

圖8 Z型梁的第一階面內(nèi)外振型Fig.8 The first in-plane and out-of-plane order mode shapes of a Z-shaped beam

本節(jié)給出了關于多梁復合結構全局解析振型的求解方法，提出了基于數(shù)值分析以及實驗分析的全局解析振型定量定性驗證手段，以L型梁和Z型梁為例介紹了關于多梁復合結構的頻率的解析方法和數(shù)值方法的誤差分析，以及多梁復合結構全局解析振型的定性定量分析方法。

3 非線性模型

基于上一節(jié)中得到并驗證的全局解析振型，利用伽遼金法，將公式(4)中各位移變量進行截斷：

(23)

式中：qj是第j階的無量綱廣義坐標；φj是第j階的振型；m是截斷階數(shù)；ε是小參數(shù)。

將式(23)代入式(4)，有

=0

(24)

引入無量綱時間：

(25)

將式(25)代入式(24)，得到

(26)

考慮系統(tǒng)受小幅激勵情況，有

(27)

將式(27)代入式(26)，考慮阻尼，得到無量綱的m自由度非線性系統(tǒng)：

(28)

式中：ωj表示第j階的無量綱頻率；μj表示第j階的無量綱阻尼系數(shù)；Non表示非線性項；ζ∈{1,2,…,m}；Fj表示第j階的無量綱外激勵幅值分量；ω表示無量綱外激勵頻率。

本節(jié)利用伽遼金方法對連續(xù)系統(tǒng)進行截斷，得到了系統(tǒng)的常微分運動控制方程，可為多梁復合結構的非線性動力學特性研究提供基礎。顯然，式(28)中各參數(shù)與式(23)中引入的全局解析振型φj有密切關系，因此，解析振型的準確性對系統(tǒng)非線性動力學特性分析有很大影響。

4 結 論

本文給出了多梁復合結構的位移場的一般表達式，通過哈密頓原理推導出多梁復合結構的運動控制方程及其邊界條件的通式，給出了多梁復合結構的全局解析振型的一般求解過程，并提出了基于數(shù)值分析和實驗分析對多梁復合結構的全局解析振型進行定性定量驗證的方法，以L型梁和Z型梁為例利用頻率誤差分析、振型的定性比較以及定量MAC分析說明了本文提出的全局解析振型求解驗證方法的正確性，進一步利用伽遼金方法和全局解析振型對多梁復合結構進行截斷，得到了其對應離散系統(tǒng)的一般形式，為后續(xù)研究非線性動力學特性提供了理論基礎。

解析振型的準確性對利用伽遼金方法截斷系統(tǒng)進而進行非線性動力學特性分析有很大影響。本文提出的全局解析振型求解驗證方法，可以提高基于振型對原系統(tǒng)進行截斷得到的非線性離散系統(tǒng)的準確性，對工程中多梁復合結構非線性動力學響應的參數(shù)影響規(guī)律研究有重要意義，該方法也可以拓展應用于對更一般形式的復合結構的動力學研究。

(A1)

(A2)

(A3)

附錄B

(B1)

(B2)

(B3)

(B4)

(B5)

(B6)

(B7)

(B8)

附錄C

(C1)

(C2)

(C3)

式中：ωφ表示與振型φ對應的頻率。