林麗

例題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點F的坐標(biāo)是（4，2），點P為一個動點，過點P作x軸的垂線PH，垂足為H，點P在運動過程中始終滿足PF=PH。

（1）判斷點P在運動過程中是否經(jīng)過點C（O，5）;

（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，填寫下表，并在給定坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像;

（3）點C關(guān)于x軸的對稱點為C'，點P在直線C'F的下方時，求線段PF長度的取值范圍。

【分析】（1）當(dāng)P與C（O，5）重合，證明PH=PF即可解決問題。

（2）由PF2=PH2，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式即可解決問題。由題意，得y2= （x-4）2+（y-2）2，整理，得y=1/4x2-2x+5，∴函數(shù)表達(dá)式為y= 1/4x2-2x+5。

（3）先求出直線FC的表達(dá)式，再求出直線FC'與拋物線的交點坐標(biāo)即可判斷。

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題。

雖然本題始終未提及“二次函數(shù)”，但其卻是一道不折不扣的“二次函數(shù)”壓軸題。題目中的點P具有如下特征：到定點（F）的距離和到定直線（x軸）的距離相等，從而得到點P運動的軌跡是拋物線y=1/4x2- 2x+5。也就是說，二次函數(shù)可以看作是到定點距離等于到定直線距離的點的軌跡。

【延伸】二次函數(shù)圖像的頂點在原點O，經(jīng)過點A（l，1/4）。點F（O，1）在y軸上。直線y=一1與y軸交于點H。

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）點P是（1）中圖像上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-l交于點M，求證：FM平分∠OFP;

（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時，求P點的坐標(biāo)。

【分析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2，將點A代入函數(shù)表達(dá)式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的表達(dá)式。

（2）過點P作PB⊥y軸于點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，則∠PFM=∠PMF，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論。

（3）首先可得∠FMH=30°，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，1/4x2），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案。

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、角平分線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)等知識。解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，才能將所學(xué)知識融會貫通。

本題中，點P到定點F的距離和到定直線y=-l的距離相等，同樣，點P是拋物線y=1/4x2上的點，亦屬于軌跡類問題。

【新題】如圖3，以y軸為對稱軸的拋物線與坐標(biāo)軸交于點A（O，4）、B（4，0），y軸上有一定點C（O，3），若點P為拋物線在第一象限內(nèi)的一動點。

（1）直接寫出拋物線的表達(dá)式;

（2）如圖4，連接PC、PB、BC，△PBC面積的最大值是_____：

（3）如圖5，若以P為圓心，PC為半徑的圓與x軸相切于點日，則P點坐標(biāo)是______;

（4）如圖6，點D坐標(biāo)為（2，O），求△PDC的周長最小值。

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式。

（2）過點P作x軸的垂線，交直線BC于點M，利用鉛垂高求三角形面積的最大值。

（3）當(dāng)OP與x軸相切時，PC=PH，通過方程求出點P坐標(biāo)。

（4）過P作PH⊥x軸于點H，易證PC+PH=5（定值），而DC始終不變，從而得知當(dāng)PD與x軸垂直時，△PDC的周長有最小值。

【點評】本題考查了待定系數(shù)法、鉛垂高求面積、二次函數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合等知識，特別是第（4）小題，運用了拋物線的特殊點的特殊性質(zhì)解決了動點最值問題。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學(xué)）