陳哲文,魏春金,張樹文

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

捕食-食餌模型一直是生態(tài)學和生物數學的重要研究內容，有很多文獻研究了該模型,并獲得了很好的研究成果[1-4]。眾所周知,心理效應[4-6]也會對種群的持久和滅絕造成一定影響。當捕食者在某一區(qū)域聚集過多時,就會給食餌帶來一定的心理影響,導致其不太愿意在該區(qū)域出現。由此,提出了以下模型

(1)

其中：x(t),y(t)分別表示食餌和捕食者在t時刻的種群密度;模型的所有參數都是正的;r1,r2分別表示食餌和捕食者的內稟增長率;a1表示食餌種群的密度制約系數;b1是捕食者對食餌的捕獲率;b2與b1有相似的意義;y(t)/f(y(t))可以用來描述“心理效應”[5],其中,y(t)/f(y(t))滿足以下2個條件：1)y(t)/f(y(t))>0;2)y(t)/f(y(t))在(0,ξ)單調遞增,在[ξ,+∞)單調遞減。

食餌x(t)會隨著y(t)/f(y(t))的增加而減少。y(t)/[ax(t)]是Leslie-Gower 項,Aziz[3]指出，它是衡量捕食者y(t)隨著它最喜歡的食餌x(t)的稀缺而減少。在食餌x(t)嚴重稀缺的情況下,捕食者y(t)有其他替代的食物來源,但它的增長仍將受到其最喜愛的食物x(t)數量不足的限制。這種情況可以通過在分母上加上一個正常數k2來處理。因此,式(1)的方程變?yōu)閐y(t)=[(r2-b2y(t))/((x(t)+k2))y(t)]dt。此外,在現實生態(tài)系統中,各種形式的環(huán)境干擾都是無時不在、無處不在的,種群的增長率經常受到隨機波動的影響。一般來說,環(huán)境中的隨機波動可以用白噪聲來描述[7]。于是,得到了下述模型:

(2)

1 預備知識

a.s.:=幾乎處處,trA(A是矩陣):=矩陣A的秩。

初值為X(t0)=X0的d維隨機微分方程

dX(t)=f(X(t),t)dt+g(X(t),t)dB(t),t0≤t≤T。

(3)

設X(t)(t≥0)是方程(3)的解,V∈C2,1(Rn×R+;R),則V(X(t),t)仍是It過程,具有隨機微分dV(X(t),t)=(Vt(X(t),t)+VX(X(t),t)f(t)+1/2 tr[gT(t)VXX(X(t),t)g(t)])dt+VX(X(t),t)g(t)dB(t),a.s.,稱此式為It公式[8]。

引理1[4](存在唯一性定理) 假設f(x(t),t),g(x(t),t)關于x(t)滿足以下條件:ⅰ)局部Lipschizt條件，存在ck>0(k=1,2,…),使得對?x,y∈Rn且|x|∨|y|≤k,有不等式|f(x,t)-f(y,t)|∨|g(x,t)-g(y,t)|≤ck|x-y|成立;ⅱ)線性增長條件，存在c>0,使得|f(x,t)|∨|g(x,t)|≤c|1+|x||,?(x,t)∈Rn×R+,則初始條件為x(0)=x0∈Rn的系統(3)存在唯一連續(xù)的局部解x(t),t∈[0,τe),其中τe是爆破時。

引理2[10]考慮下列隨機微分方程

dX(t)=X(t)[r1-a1X(t)]dt+σX(t)dB(t),

(4)

2 主要結果

證明令u(t)=lnx(t),v(t)=lny(t)。由It公式可得

(5)

dV(x(t),y(t))=LVdt+(x-1+xy)σ1dB1+(xy-1+k2y)σ2dB2,

讓Ωn={τn≤T},當n≥n1時,由上述P(τn≤T)≥ε,?n≥n1,有p(Ωn)≥ε。由停時的定義,把n和1/n代入V(x(t),y(t)),易得V(x(T∧τn),y(T∧τn))≥min{n-lnn-1 ,1/n+lnn-1,-lnn+(k2+n)n-(1+lnk2),lnn+(k2+1/n)1/n-(1+lnk2)}:=Q。則V(x(0),y(0))+MT≥E(V(x(T∧τn),y(T∧τn)))=E(1Ωk(λ)V(x(T∧τn),y(T∧τn)))≥εQ。其中,1Ωk(λ)是Ωk的指標函數。令n→∞，得到∞>V(x(0),y(0))+MT=∞,與假設矛盾，即τ∞=∞,a.s.。證畢。

證明ⅰ)對lnx(t)應用It公式可得

(6)

兩邊同時從0到t積分

(7)

對lny(t)應用It公式可得兩邊同時從0到t積分

(8)

(9)

(10)

3 數值模擬

為了驗證結果的正確性,采用Milstein高階方法[11]對隨機系統(2)進行數值模擬。取f(y)=1+αy(t)2,α是測量心理或抑制作用的參數。顯然它滿足y(t)/f(y(t))在y(t)較小的時候遞增,在y(t)較大的時候遞減。另取r1=0.4,r2=0.3,k2=1,b2=0.3,b1=0.4,a1=0.1和初值(1,0.8),通過取不同的σ1,σ2,α來研究白噪聲和心理效應對系統(2)的影響。

比較圖1、圖2可以發(fā)現,當σ1與α不變,σ2變動時,種群x(t)始終滅絕,而種群y(t)則由滅絕變?yōu)槠骄掷m(xù)生存。比較圖1、圖3可以發(fā)現,當σ2與α不變,σ1變動時,種群x(t)由滅絕變?yōu)槠骄掷m(xù)生存,而種群y(t)始終滅絕。由此可知,白噪聲過大時,種群趨于滅絕；白噪聲較小時,種群可以平均持續(xù)生存。而將圖4與圖5進行比較,當σ1與σ2均不變,將α的取值改變,在“心理效應”較小的時候,種群x(t)是平均持續(xù)生存的,在“心理效應”較大的時候,則種群x(t)趨于滅絕。而種群y(t)始終是平均持續(xù)生存的。可以看出，心理效應也會對種群x(t)的平均持續(xù)生存和滅絕造成一定影響,即較強的心理效應不利于種群x(t)的生存。

4 結論

本文研究了具有心理效應的隨機擾動捕食-食餌系統。通過構造合適的Liapunov函數并運用It公式,證明了系統(2)全局正解的存在唯一性，給出了種群x(t),y(t)滅絕與平均持續(xù)生存的充分條件。最后通過數值模擬驗證結果的正確性,得到：隨機擾動對種群的生存與滅絕扮演著重要的角色,當白噪聲較大時,種群x(t),y(t)更快地趨于滅絕;當白噪聲較小時,種群x(t),y(t)相對緩慢減少,并持續(xù)生存;種群x(t)也會受到心理效應的影響,當心理效應較大時,種群x(t)會不太愿意在該區(qū)域出現,從而導致數量減少。