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        一次函數(shù)中的“雙解”問題

        2020-03-08 14:43:02季黎明
        初中生世界·八年級(jí) 2020年2期

        季黎明

        一次函數(shù)是八年級(jí)上學(xué)期的重要一章,是邁入函數(shù)大門的第一步。結(jié)合同學(xué)們學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過程,季老師發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)由于對(duì)一次函數(shù)的概念及圖像性質(zhì)的理解不夠深入,導(dǎo)致錯(cuò)解或漏解。本文以四道典型題目為例,談?wù)勗谝淮魏瘮?shù)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇見的問題,希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助。

        例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m-3)x|m-2|+3是一次函數(shù),求m的值。

        【錯(cuò)解】由題意得:m-2=1或m-2=-1,所以m的值為3或1。

        【正解】由m-2=+1得:m=3或1。又因?yàn)閙-3≠0,所以m≠3,所以m的值為1。

        【點(diǎn)撥】一般地,形如y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)的函數(shù),叫做一次函數(shù)。上述解答中忽略了k≠0這一信息,當(dāng)k=0即m=3時(shí),不滿足一次函數(shù)定義。

        例2 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過A(5,0),與y軸交于點(diǎn)B,圖像與坐標(biāo)軸圍成的△OAB的面積為10,求一次函數(shù)解析式。

        【錯(cuò)解】設(shè)B坐標(biāo)為(0,b),則OB=b,所以S△ABC=1/2OA×OB=1/2×5×b=10,則b=4,所以一次函數(shù)可以表示為y=kx+4。又因?yàn)閳D像經(jīng)過A點(diǎn),將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+4可得k=-4/5,所以一次函數(shù)解析式為y=-5x+4。

        【正解】設(shè)B坐標(biāo)為(0,b),則OB=|b|,根據(jù)上述解答可知|b|=4,則b=±4,所以一次函數(shù)可以表示為y=kx+4。將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=kx+4和y=kx-4,可得k=-4/5或4/5,所以一次函數(shù)解析式為y=-5x+4或y=4/5x-4。

        【點(diǎn)撥】上述錯(cuò)解情形中,忽略了線段長(zhǎng)度的非負(fù)性。一次函數(shù)與y軸相交于點(diǎn)B,但并未明確點(diǎn)B在y軸正半軸還是負(fù)半軸上。當(dāng)B點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí),b為負(fù)數(shù),則OB=-b。同學(xué)們要注意坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的區(qū)別與聯(lián)系。

        例3 直線y=mx+m+2不經(jīng)過第三象限,求m的取值范圍。

        【點(diǎn)撥】如何解讀“直線不經(jīng)過第三象限”?“不經(jīng)過第三象限”是指經(jīng)過一、二、四象限或只經(jīng)過二、四象限或只經(jīng)過一、二象限。當(dāng)直線只經(jīng)過二、四象限時(shí),是一次函數(shù)中的正比例函數(shù)圖像,所以有m+2=0,解得:m=-2。當(dāng)直線只經(jīng)過一、二象限時(shí),則m=0,此時(shí)直線y=2平等于x軸。

        例4 已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)1≤x≤4時(shí),3≤y≤6,求一次函數(shù)解析式。

        【點(diǎn)撥】本題并沒有明確函數(shù)的增減性,所以y與x的對(duì)應(yīng)需要分類討論。當(dāng)k>0時(shí),y隨著x的增大而增大,即為上述錯(cuò)解中的情形。當(dāng)k<0時(shí),y隨著x的增大而減小,此時(shí)x=1對(duì)應(yīng)y=6,x=4對(duì)應(yīng)y=3。

        關(guān)于一次函數(shù)的學(xué)習(xí),還有諸多類似的誤區(qū)。我們要重視對(duì)概念和圖像性質(zhì)的理解和把握,打牢基礎(chǔ),不斷提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,為函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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