林建偉, 李慧敏

(莆田學院數(shù)學與金融學院，莆田 351100)

1 引言

公司債券定價問題和最佳資本結(jié)構(gòu)問題是公司金融研究的核心問題，例如Merton[1]、Black 和Cox[2]、Jones 等[3]、Leland[4]等都是在公司資產(chǎn)價值演化服從幾何布朗運動假定下考慮公司債券定價和最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題，但實際上公司將遇到許多不確定因素或突發(fā)事件，如金融危機、通貨膨脹、自然災害等，一旦發(fā)生，往往導致公司資產(chǎn)價值的劇烈震動，從而使得資產(chǎn)價值發(fā)生跳躍．鑒于幾何布朗運動無法刻畫由不確定因素引起的資產(chǎn)價值跳躍現(xiàn)象，許多學者通過不同跳擴散模型描述資產(chǎn)價值的演化過程，并對公司債券進行定價，研究工作包括：Zhou[5]、Chen 和Kou[6]、向華和楊招軍[7]、林建偉[8]等，但是他們都視破產(chǎn)等同于清算，即公司一旦宣布破產(chǎn)，將立即被清算，不考慮破產(chǎn)重組．實際上，現(xiàn)實市場中，公司一旦宣布破產(chǎn)，仍有權(quán)對公司進行破產(chǎn)重組，以期重整旗鼓．考慮到這一點，許多學者通過破產(chǎn)重組的數(shù)學建模，區(qū)別破產(chǎn)和清算，進而考慮公司債券定價問題．研究工作包括：Anderson 和 Sundaresan[9]、Fan 和 Sundaresan[10]、Broadie 和 Kaya[11]、Dai 等[12]，但這些文獻都是在公司資產(chǎn)價值演化服從幾何布朗運動假定下獲得的，不考慮公司資產(chǎn)價值跳躍因素．為了統(tǒng)一考慮資產(chǎn)價值發(fā)生跳躍現(xiàn)象和破產(chǎn)重組兩個重要的市場因素，本文擬利用文獻[6]提出的雙指數(shù)跳擴散模型來刻畫公司資產(chǎn)價值的演化過程，同時采用文獻[10]提出的債券和股票互換的破產(chǎn)重組模式，通過結(jié)構(gòu)化方法和最優(yōu)停時技巧，對具有破產(chǎn)重組的永久公司債券進行定價，并分析最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題．

2 基本假定和納什均衡分配

2.1 基本假定

1) 市場無套利和市場無風險利率為常數(shù)r；

2) 公司發(fā)行股票E 與永久公司債券D，債權(quán)人在公司宣布破產(chǎn)前可獲得每單位時間C 元的息票收益，同時公司也可獲得額外稅盾收益，即企業(yè)從發(fā)行公司債券中每單位時間獲得稅盾收益γC，γ(0<γ <1)表示企業(yè)稅率；股東按紅利獲得收益；

3) 在等價鞅測度Q[6]下，公司資產(chǎn)價值Vt演化服從雙指數(shù)跳擴散過程

這里δ 為公司總的現(xiàn)金支付率，σ 為波動率，{Wt}t≥0為一個標準的Brown 運動，{Nt}t≥0表示強度為λ 的泊松過程，隨機變量{Z1,Z2,···}獨立同分布，且假定{Wt}t≥0，{Nt}t≥0和Zi在等價鞅測度Q 之下相互獨立．k 表示平均跳躍比例，即

其中Yi=ln(Zi)服從雙指數(shù)分布，即具有如下的密度函數(shù)

且pu>0, pd>0, pu+pd=1，兩者分別表示向上跳和向下跳的概率；

4) 最佳破產(chǎn)邊界的選取標準：股票價值最大化；

5) 清算損失率為α(0<α<1)；

6) 破產(chǎn)重組模式—股票債券互換模式[10]：當公司宣布破產(chǎn)時，公司首先將債權(quán)人持有的債券等價轉(zhuǎn)化為相當份額的股票，使得公司轉(zhuǎn)化為全股票公司，并向投資者出售，獲得破產(chǎn)時刻公司的資產(chǎn)價值，由此避免直接清算而造成的資產(chǎn)價值損失；然后對獲得的破產(chǎn)時刻公司的資產(chǎn)價值進行重組，并通過納什均衡原理確定股東和債權(quán)人各自的最佳重組比例．

2.2 納什均衡分配

在任一給定公司宣布破產(chǎn)時刻τ，相應的公司資產(chǎn)價值為Vτ，若公司沒有選擇進行破產(chǎn)重組，則公司將直接被清算，導致公司損失資產(chǎn)價值αVτ，即此時股票價值為零，債券的價值為(1 ?α)Vτ；但是若公司選擇進行破產(chǎn)重組，由基本假定6)，公司根據(jù)股票債券互換模式對破產(chǎn)時刻公司的資產(chǎn)價值Vτ進行重組，即權(quán)益雙方的價值為

這里θ 為股東的分配比例．通過納什均衡分配原理，最佳分配比例θ?確定為

其中η(0 ≤η ≤1)表示股東的談判能力．綜上，在任一給定公司宣布破產(chǎn)時刻τ，股票和債券的價值為

3 公司股票價值的定價公式

對于任意公司宣布破產(chǎn)時刻(停時)τ，基于模型的基本假定，在等價鞅測度Q 下，股票價值E 的定價模型為

這里T[t,∞]表示發(fā)生在[t,∞]上所有停時的集合．等式(3)右邊第一項表示公司宣布破產(chǎn)之前股東紅利收益的貼現(xiàn)值，第二項表示破產(chǎn)時刻通過重組股東獲得收益的貼現(xiàn)值．

利用動態(tài)規(guī)劃原理，股票定價的數(shù)學模型(3)等價于如下變分不等式方程

且滿足邊界條件

這里fZ(z)表示Z 的密度函數(shù)

根據(jù)變分不等式的性質(zhì)，上述股票價值滿足的變分不等式方程轉(zhuǎn)化為如下自由邊界問題。問題P1：求{E(V),V?}滿足

這里V?表示公司最佳的破產(chǎn)邊界點．

邊界條件(5)式說明，在破產(chǎn)時刻，通過破產(chǎn)重組，股東可獲得αηV?；而(6)式表示，當公司資產(chǎn)價值趨于無窮大時，公司債券轉(zhuǎn)化為一張無風險公司債券，其價值為股票價值為公司資產(chǎn)價值V 加上稅盾收益減去無風險公司債券的價值條件(7)表示金融上的一個光滑接觸條件，即選取最佳破產(chǎn)邊界點V?使得股東權(quán)益最大化．

作變換

這里

對定解問題P2 進行求解，并返回原變量，可得如下定理．

定理1當V ≥V?時，公司的最佳破產(chǎn)邊界點V?和股票價值E(V)的表達式為

β1, β2為方程G(β)=r 的兩根，且滿足0< β1< ηd< β2< ∞，這里

這里A1, B1為待定的常數(shù)，β1, β2為方程G(β) = r 的兩根，且滿足0 < β1< ηd< β2<∞，其中

由邊界條件(8)，可得

聯(lián)立(14)和(15)，A1和B1確定如下

最后，利用光滑接觸邊界條件(10)，可得

經(jīng)過計算，可得最佳破產(chǎn)邊界V?解的表達式為

4 永久公司債券的定價公式

基于最佳破產(chǎn)邊界點V?，定義停時τ?=inf{s ≥t:Vs≤V?}，表示公司資產(chǎn)價值首次碰到最佳破產(chǎn)邊界的時刻．在等價鞅測度Q 下，永久公司債券的定價模型為

等式(16)右邊第一項表示公司宣布破產(chǎn)之前債權(quán)人獲得的總息票收益貼現(xiàn)值，第二項表示破產(chǎn)時刻通過破產(chǎn)重組債權(quán)人獲得收益的貼現(xiàn)值．

基于公司債券的數(shù)學模型(16)，通過動態(tài)規(guī)劃原理，可得到永久公司債券滿足定解問題Q1：

邊界條件(17)式表示，破產(chǎn)時刻債權(quán)人從破產(chǎn)重組中獲得(1 ?αη)V?收益；而(18)式表明，當公司資產(chǎn)趨于無窮大時，公司債券轉(zhuǎn)化為一張無風險公司債券，其價值為

作變換

問題Q1 轉(zhuǎn)化為問題Q2：

對于定解問題Q2 進行求解，返回原變量，并結(jié)合公司總價值v(V) = E(V) +D(V)，可得如下定理．

定理2當V ≥V?時，公司總價值v(V)和公司債券價值D(V)的表達式為

這里A2, B2為待定的常數(shù)．

由邊界條件(19)，可得

聯(lián)立(24)和(25)，A2和B2確定如下

最后，基于v(V) = E(V)+D(V)，結(jié)合(12)和(21)，即可獲得公司總價值v(V)解的顯式表達式(22)和相應的系數(shù)A, B 的表達式．

5 公司的最優(yōu)息票

公司一方面通過發(fā)行債券每單位時間可以獲得稅盾收益γC，但另一方面每單位時間公司需要向債權(quán)人支付息票C，使得公司面臨的破產(chǎn)風險增大，因此如何權(quán)衡公司的杠桿比例是至關(guān)重要的．這里主要通過選取最優(yōu)息票C?，使得公司總價值v 最大而確定公司最優(yōu)的杠桿比例．

基于公司總價值的表達式(22)，將公司總價值v(V)看成息票C 的函數(shù)，選取最優(yōu)息票C?，使得

可得如下定理．

定理3公司的最優(yōu)息票C?滿足非線性方程如下

6 金融意義分析

基于獲得的定價結(jié)果(11),(12)和(21),(22),(26)，在最優(yōu)息票C?下，觀察股票價值、債券價值和公司總價值關(guān)于跳躍強度λ 的依賴關(guān)系，并與Fan 和Sundaresan(FS)模型(在公司資產(chǎn)價值演化服從標準幾何布朗運動下，對具有股票和債券互換破產(chǎn)重組公司債券進行定價)相應的定價結(jié)果做比較，分析跳躍強度所引發(fā)的金融現(xiàn)象．基本參數(shù)可設定為

上跳概率pu=0.25，下跳概率pd=0.75，平均上跳幅度平均下跳幅度發(fā)生跳躍強度λ=1(表示平均每年公司資產(chǎn)價值發(fā)生一次跳躍)．

圖1 表明，在最優(yōu)息票C?下，股票價值隨著跳躍強度增大而增大，且相比于FS 模型，當跳躍強度充分大時，在跳擴散模型下股票價值更大，而當跳躍強度比較小時，股票價值趨近于FS 模型里的股票價值．其金融意義為：當公司資產(chǎn)價值變化越劇烈，股東越能在動蕩的市場環(huán)境中獲益，相應的股票價值越大；但當市場趨于平穩(wěn)時，股票價值隨之下跌．

圖1: 最優(yōu)息票C?下，股票價值E(V)關(guān)于λ 的變化關(guān)系

圖2 和圖3 表明，在最優(yōu)息票C?下，債券價值和公司總價值隨著跳躍強度增大而減小，且相比于FS 模型，在跳擴散模型下債券價值和公司總價值均更?。浣鹑谝饬x為：當公司資產(chǎn)價值變化越劇烈，市場環(huán)境越動蕩，債券越不受投資者青睞，債券價值越低，導致公司總價值也越低，即公司債券的融資規(guī)模越??；但當市場趨于平穩(wěn)時，債券價值上漲，公司債券的融資規(guī)模增大．

圖2: 最優(yōu)息票C?下，股票價值D(V)關(guān)于λ 的變化關(guān)系

圖3: 最優(yōu)息票C?下，公司總價值v(V)關(guān)于λ 的變化關(guān)系

圖4 表明，在最優(yōu)杠桿比例L(最優(yōu)杠桿比例L 等于在最優(yōu)息票C?下公司債券價值占公司總價值的比例)是跳躍強度的減函數(shù)，且相比于FS 模型，在跳擴散模型下最優(yōu)杠桿比例更低．其金融意義為：在跳擴散模型下，公司資產(chǎn)價值變化更加劇烈，市場環(huán)境更加動蕩，債券受投資者的青睞程度降低，因此相應的杠桿比例也更低．

圖4: 最優(yōu)息票C?下，最優(yōu)杠桿比例L 關(guān)于λ 的變化關(guān)系

7 結(jié)束語

本文在雙指數(shù)跳擴散模型下，基于債券和股票互換的破產(chǎn)重組模式，采用結(jié)構(gòu)化方法和最優(yōu)停時技巧建立了永久公司債券、股票定價的數(shù)學模型，并通過微分方程方法，獲得了永久公司債券、股票定價以及相應最佳破產(chǎn)邊界的顯式表達式，并以公司總價值達到最大值為優(yōu)化標準，獲得了最優(yōu)息票所滿足的非線性方程．數(shù)值分析表明：在最優(yōu)息票C?條件下，公司資產(chǎn)價值震蕩越劇烈，股東越能從動蕩的市場中獲得收益，且相比于FS 模型，當跳躍強度較大時，跳風險下股票價值更大，當跳躍強度較小時，跳風險下股票價值趨近于FS 模型中股票價值．不同于股票價值，當市場環(huán)境越動蕩，公司債券將越不受投資者青睞，公司債券價值越低，公司債券融資規(guī)模越小，最優(yōu)杠桿比例越低；而當市場環(huán)境趨于平穩(wěn)時，公司債券價值增大，公司債券融資規(guī)模增大，最優(yōu)杠桿比例增大，且相比于FS 模型，跳風險下公司債券價值，公司融資規(guī)模和最優(yōu)杠桿比例都更?。?/p>