何祥宇，于 斌，夏玉杰

(1.洛陽師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，河南 洛陽 471934; 2.國(guó)家電投集團(tuán)南陽熱電有限責(zé)任公司 發(fā)電運(yùn)行部，河南 南陽 473000)

0 引言

多目標(biāo)跟蹤的任務(wù)就是從測(cè)量值集合中獲取目標(biāo)的個(gè)數(shù)及位置。在復(fù)雜的多目標(biāo)跟蹤環(huán)境中，測(cè)量值不但受到噪聲的影響，而且存在雜波和漏檢現(xiàn)象[1]，因此，在復(fù)雜的跟蹤環(huán)境中，如何有效地跟蹤多個(gè)目標(biāo)在理論和應(yīng)用方面都是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的研究課題。

大多數(shù)傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤算法如數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)[2-3]和多假設(shè)跟蹤算法[4-5]等都需要對(duì)測(cè)量值與目標(biāo)進(jìn)行關(guān)聯(lián)；然而，在實(shí)際應(yīng)用中，這種測(cè)量值與目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)過程需要耗費(fèi)大量的時(shí)間進(jìn)行處理。近年來，越來越多的專家學(xué)者利用基于隨機(jī)有限集(Random Finite Set， RFS)的濾波與平滑理論實(shí)現(xiàn)復(fù)雜場(chǎng)景中多個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤之目的。概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density，PHD)多目標(biāo)濾波器[6]和帶勢(shì)估計(jì)的概率假設(shè)密度(Cardinalized PHD，CPHD)多目標(biāo)濾波器[7]是基于RFS理論的兩種有效的貝葉斯多目標(biāo)濾波算法，這兩種濾波器不需要關(guān)聯(lián)計(jì)算確定目標(biāo)與傳感器測(cè)量值之間的關(guān)系，從而降低了算法的計(jì)算量，提高了算法的運(yùn)行速度。

粒子濾波算法是一種應(yīng)用廣泛的信號(hào)處理算法[8-9]，如應(yīng)用于目標(biāo)定位的粒子濾波算法[10-12]和目標(biāo)跟蹤的粒子濾波算法[13-15]等。基于粒子實(shí)現(xiàn)的PHD濾波器稱為粒子PHD濾波器[16]，用于處理PHD濾波器遞歸中存在的積分運(yùn)算。此外，高斯混合PHD濾波器[17]是PHD濾波器另一種實(shí)現(xiàn)算法，用于處理線性高斯假設(shè)條件下的多目標(biāo)跟蹤問題。在高斯混合PHD濾波器的基礎(chǔ)上，根據(jù)擴(kuò)展目標(biāo)PHD濾波器，通過定義增廣的狀態(tài)變量，文獻(xiàn)[18]中提出了一種改善的目標(biāo)跟蹤算法，該算法在跟蹤多目標(biāo)的同時(shí)對(duì)傳感器的系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，可有效地處理存在測(cè)量偏差的目標(biāo)跟蹤問題。最近，文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]先后采用不同的理論提出了一種前后向PHD平滑器，與PHD濾波器相比，可有效地提高目標(biāo)的位置估計(jì)精度。類似于PHD濾波器，PHD平滑器有兩種實(shí)現(xiàn)算法，分別稱為粒子PHD平滑器[19-20]和高斯混合PHD平滑器[21]。

粒子PHD平滑器包含一個(gè)前向?yàn)V波過程和一個(gè)后向平滑過程，其前向?yàn)V波使用的是標(biāo)準(zhǔn)的粒子PHD濾波算法；在后向平滑過程，當(dāng)前時(shí)間步的平滑PHD分布由當(dāng)前時(shí)間步及將來時(shí)間步的濾波結(jié)果計(jì)算得到。在粒子PHD平滑過程中，由于存在著目標(biāo)消失及漏檢等情況，致使某些時(shí)間步的目標(biāo)量測(cè)出現(xiàn)丟失的現(xiàn)象。在某一時(shí)間步，某目標(biāo)一旦未被檢測(cè)到，則粒子PHD濾波器的濾波結(jié)果中就會(huì)馬上遺棄該目標(biāo)的相關(guān)信息[22]。在平滑過程中，濾波結(jié)果的丟棄將導(dǎo)致后向平滑不能獲取正確的平滑PHD分布，從而產(chǎn)生異常的平滑問題；也即是粒子PHD平滑器獲得錯(cuò)誤的目標(biāo)個(gè)數(shù)平滑估計(jì)值及丟失相應(yīng)的目標(biāo)狀態(tài)。

針對(duì)粒子PHD平滑器存在的異常平滑問題，本文提出了一種改進(jìn)的粒子PHD平滑算法。該算法利用修正的前向?yàn)V波公式進(jìn)行計(jì)算存活目標(biāo)的濾波估計(jì)值，并利用存活目標(biāo)的濾波估計(jì)值作為目標(biāo)消失或漏檢發(fā)生判據(jù)，確定平滑迭代計(jì)算過程中的存活概率值，進(jìn)而改進(jìn)平滑權(quán)值的計(jì)算公式以獲取所跟蹤目標(biāo)的平滑PHD分布函數(shù)。

1 粒子PHD平滑器

粒子PHD平滑器采用有限個(gè)隨機(jī)粒子的加權(quán)和形式描述跟蹤目標(biāo)的濾波PHD分布函數(shù)和平滑PHD分布函數(shù)[19-20]，用于近似處理濾波與平滑過程中的積分計(jì)算問題，是前后向PHD多目標(biāo)平滑器的一種實(shí)用近似算法。

在k-1時(shí)間步，假設(shè)粒子PHD平滑器的濾波PHD分布vk-1可用Lk-1個(gè)粒子表示為如下的粒子加權(quán)和形式：

(1)

此外，若k時(shí)間步分配給新目標(biāo)的粒子個(gè)數(shù)為Jk，則k時(shí)間步的預(yù)測(cè)PHD分布vk|k-1可表示成Lk-1+Jk個(gè)存活目標(biāo)粒子和新目標(biāo)粒子的加權(quán)和形式為：

(2)

給定k時(shí)間步預(yù)測(cè)的PHD分布vk|k-1和測(cè)量集Zk，粒子PHD平滑器的更新PHD分布vk的計(jì)算公式為：

(3)

其中：

(4)

(5)

其中vk-l|k中的相關(guān)參數(shù)計(jì)算為：

(6)

(7)

2 本文算法

針對(duì)粒子PHD平滑器存在的異常平滑問題，本文提出了一種改進(jìn)算法。該算法首先根據(jù)前向?yàn)V波過程得到的存活目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)值，定義后向平滑計(jì)算用到的存活概率；然后利用此定義的存活概率計(jì)算后向平滑PHD分布。定義k-1時(shí)間步的單個(gè)目標(biāo)狀態(tài)為xk-1，假定其狀態(tài)方程可表示為：

xk=φk-1(xk-1)+qk-1

(9)

其中φk-1(·)和qk-1分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和狀態(tài)噪聲。

該算法包含前向?yàn)V波和后向平滑兩部分，過程詳述如下。

2.1 前向?yàn)V波

(10)

(11)

(12)

其中：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

2.2 后向平滑

(20)

(21)

據(jù)此，本文改進(jìn)算法在k-l時(shí)間步的目標(biāo)個(gè)數(shù)平滑估計(jì)值計(jì)算如下：

(22)

根據(jù)存活目標(biāo)目標(biāo)個(gè)數(shù)的濾波估計(jì)值，判斷跟蹤過程中是否有目標(biāo)消失或者是漏檢產(chǎn)生，據(jù)此定義后向平滑的存活概率，進(jìn)而計(jì)算相應(yīng)的粒子PHD平滑分布，可很好地改善粒子PHD平滑器的目標(biāo)跟蹤性能和解決后向平滑過程中產(chǎn)生的異常平滑估計(jì)問題。

3 仿真結(jié)果與分析

目標(biāo)的狀態(tài)方程設(shè)置為：

(23)

ωk=ωk-1+Δuk-1

(24)

(25)

量測(cè)方程設(shè)置為：

(26)

新生目標(biāo)的PHD分布γk|k-1設(shè)置為：

(27)

仿真實(shí)驗(yàn)中，目標(biāo)的檢測(cè)概率pD=0.98；標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)分別設(shè)置為σq=0.6 m/s2，σu=π/180 rad/s和σv=1 m。每一個(gè)存活目標(biāo)或新生目標(biāo)分配200個(gè)粒子。雜波設(shè)置為一均勻分布在跟蹤場(chǎng)景中的速率為r=5的泊松隨機(jī)集，平滑延時(shí)設(shè)置為l=3時(shí)間步。

仿真中不同多目標(biāo)跟蹤算法的目標(biāo)跟蹤性能采用最優(yōu)子模式分配(Optimal SubPattern Assignment, OSPA)距離評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)估，其定義[23]如下：

(28)

其中：X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}表示任意子集，c>0，1≤p<∞，參數(shù)c和p設(shè)置為p=2，c=50 m。

為充分評(píng)估本文算法在復(fù)雜環(huán)境中跟蹤多個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的有效性，仿真實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景內(nèi)相繼有5個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，且存在漏檢、目標(biāo)出現(xiàn)和消失等情況。5個(gè)目標(biāo)的x坐標(biāo)與y坐標(biāo)隨時(shí)間的變化情況如圖1所示，其中正方形表示每一個(gè)目標(biāo)出現(xiàn)的時(shí)間步及對(duì)應(yīng)位置，三角形表示每一個(gè)目標(biāo)消失的時(shí)間步及對(duì)應(yīng)位置。在此設(shè)定的跟蹤場(chǎng)景中，目標(biāo)3和目標(biāo)4分別出現(xiàn)在21時(shí)間步和31時(shí)間步；目標(biāo)1、目標(biāo)2和目標(biāo)3分別在30時(shí)間步、20時(shí)間步和40時(shí)間步后消失；目標(biāo)5的運(yùn)行時(shí)間為整個(gè)跟蹤過程。

圖1 真實(shí)目標(biāo)軌跡Fig. 1 True target trajectories

圖2為雜波環(huán)境中50個(gè)時(shí)間步的跟蹤持續(xù)時(shí)間內(nèi)5個(gè)目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡和每個(gè)時(shí)間步接收到的量測(cè)，其中實(shí)線表示每一個(gè)目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡，交叉號(hào)表示的是每個(gè)時(shí)間步接收到的量測(cè)值。對(duì)于該設(shè)定的跟蹤場(chǎng)景，由于環(huán)境存在干擾和傳感器存在缺點(diǎn)等原因，三個(gè)不同的目標(biāo)分別在時(shí)間步15、10和5未被傳感器檢到，相應(yīng)目標(biāo)沒有產(chǎn)生量測(cè)也即是發(fā)生了漏檢。在圖2中，圓圈標(biāo)識(shí)的是漏檢產(chǎn)生的時(shí)間步。

圖2 真實(shí)軌跡與量測(cè)Fig. 2 True trajectories and measurements

圖3為粒子PHD濾波器和粒子PHD平滑器的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)。從圖3可以看出，在5、10和15這些漏檢發(fā)生的時(shí)間步上，粒子PHD濾波器的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)值小于真實(shí)值。粒子PHD平滑器通過平滑計(jì)算，把目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)值小于真實(shí)值的情況轉(zhuǎn)移到了2、7和12時(shí)間步。此外，由于目標(biāo)1、目標(biāo)2和目標(biāo)3分別在30時(shí)間步、20時(shí)間步和40時(shí)間步后消失，粒子PHD平滑器在18～20、28～30和38～40這些時(shí)間步上產(chǎn)生了錯(cuò)誤的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)值。

圖3 粒子PHD濾波器和粒子PHD平滑器的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)Fig. 3 Target number estimations of particle PHD filter and PHD smoother

圖4為粒子PHD平滑器和本文所提算法的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)。從圖中可以看出，本文所提算法很好地解決粒子PHD平滑器中由漏檢或目標(biāo)消失導(dǎo)致的目標(biāo)個(gè)數(shù)低估問題，并且本文所提算法在整個(gè)跟蹤過程中的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)值始終等于目標(biāo)個(gè)數(shù)的真實(shí)值。

圖4 粒子PHD平滑器和本文算法的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)Fig. 4 Target number estimations of particle PHD smoother and proposed algorithm

圖5和圖6分別給出了3種算法的目標(biāo)位置估計(jì)。從圖中可以看出，在5、10和15時(shí)間步，當(dāng)漏檢發(fā)生時(shí)，由于目標(biāo)信息的丟失使得粒子PHD濾波器未能獲取相應(yīng)目標(biāo)的位置估計(jì)。此外，對(duì)于粒子PHD平滑器來說，由于濾波輸出取決于以前的濾波結(jié)果，粒子PHD平滑器在其目標(biāo)個(gè)數(shù)低估的那些時(shí)間步上丟失了相應(yīng)的目標(biāo)位置估計(jì)。圖6顯示，在整個(gè)跟蹤期間，本文所提算法在那些目標(biāo)個(gè)數(shù)低估的時(shí)間步上不存在目標(biāo)位置估計(jì)丟失的現(xiàn)象，能夠獲取5個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)連續(xù)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖5 粒子PHD濾波器和粒子PHD平滑器的目標(biāo)位置估計(jì)Fig. 5 Position estimations of particle PHD filter and PHD smoother

圖6 粒子PHD平滑器和本文算法的目標(biāo)位置估計(jì)Fig. 6 Position estimations of particle PHD smoother and proposed algorithm

圖7為不同算法在每一個(gè)時(shí)間步上的OSPA距離。

圖7 不同算法的OSPA距離Fig. 7 OSPA distances of different algorithms

從圖7可以看出，粒子PHD平滑器的OSPA距離在其目標(biāo)個(gè)數(shù)錯(cuò)的那些時(shí)間步上出現(xiàn)了12個(gè)高峰值誤差，這些峰值誤差的最大值可達(dá)29.91 m。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文所提算法的位置估計(jì)沒有較大的跟蹤誤差，在整個(gè)跟蹤過程中有著令人滿意的跟蹤精度。此外，目標(biāo)跟蹤過程中，粒子PHD平滑器出現(xiàn)的12個(gè)高峰值誤差導(dǎo)致其時(shí)間平均的OSPA距離誤差高達(dá)7.75 m；但由于本文所提算法在整個(gè)跟蹤過程中沒有較大的跟蹤誤差，使得其時(shí)間平均的OSPA距離誤差低至1.05 m，相對(duì)于粒子PHD平滑器，本文所提算法的目標(biāo)跟蹤性能有了明顯提升。

4 結(jié)語

為解決粒子PHD平滑器在處理復(fù)雜環(huán)境中多目標(biāo)跟蹤問題時(shí)產(chǎn)生的異常平滑估計(jì)問題，提出了一種基于存活概率修正的改進(jìn)粒子PHD平滑器。該算法根據(jù)存活目標(biāo)的前向?yàn)V波估計(jì)值，通過定義存活概率修改了平滑權(quán)值的計(jì)算公式。仿真結(jié)果表明，所提算法可有效地解決粒子PHD平滑器的異常平滑問題。

本文算法在線性高斯條件下有待改進(jìn)，其原因?yàn)閰⑴c濾波和平滑計(jì)算的粒子數(shù)目較多，對(duì)平滑算法的運(yùn)行速度影響較大。在本文研究基礎(chǔ)之上，下一步將研究前后向PHD平滑器的高斯粒子實(shí)現(xiàn)算法。