岳 川，張 健

(廣東海洋大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 廣東 湛江524088)

0 引言

軟件質(zhì)量是指軟件符合特定的功能和需求的能力[1]。軟件質(zhì)量的測(cè)評(píng)是非常重要的，特別是在軟件設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)的早期階段。良好的質(zhì)量測(cè)評(píng)能使得軟件的開(kāi)發(fā)省工、省錢(qián)、省時(shí)間。如何評(píng)價(jià)和管理軟件的質(zhì)量就成了軟件質(zhì)量研究領(lǐng)域一項(xiàng)重要的研究課題，已經(jīng)引起許多專(zhuān)家和學(xué)者的重視。

在近期的研究中，胡文生等[2]提出了一種面向?qū)ο笤O(shè)計(jì)和灰色關(guān)聯(lián)分析的軟件質(zhì)量評(píng)估方法。該方法能有效地提高軟件產(chǎn)品的可靠性和可維護(hù)性。針對(duì)用戶(hù)需求，岳川[3-4]分別給出了2個(gè)基于符號(hào)信息的軟件質(zhì)量評(píng)價(jià)模型。該類(lèi)方法能有效地提升軟件評(píng)價(jià)的可操作性?；趪?guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織和國(guó)際電工技術(shù)委員會(huì)(International Organization for Standardization/International Electrotechnical Commission, ISO/IEC) 的評(píng)價(jià)指標(biāo)和層次分析法，楊陽(yáng)等[5]和周麗等[6]分別提出了2個(gè)軟件質(zhì)量的模糊評(píng)價(jià)模型。該類(lèi)模型的優(yōu)點(diǎn)是專(zhuān)家可以對(duì)軟件質(zhì)量實(shí)施主觀的評(píng)價(jià)。針對(duì)屏幕內(nèi)容圖像，朱映映等[7]提出了一種無(wú)參考評(píng)價(jià)算法。經(jīng)實(shí)際驗(yàn)證，表明該算法優(yōu)于傳統(tǒng)的算法。針對(duì)傳統(tǒng)方法的精度低、可靠性差的缺陷,李寧[8]提出了一種改進(jìn)的粒子群算法，該算法提高了軟件可靠性的評(píng)估精度。針對(duì)某些傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)方法存在著較大的主觀性等缺陷，鄭鵬[9]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軟件質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)方法。該方法能客觀、定量、準(zhǔn)確地對(duì)軟件質(zhì)量進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。劉啟林等[10]通過(guò)分析混源軟件質(zhì)量的特性，提出了混源軟件質(zhì)量的評(píng)價(jià)模型。該方法拓寬了混源軟件的質(zhì)量評(píng)價(jià)平臺(tái)。

在近期的英文文獻(xiàn)中，?aglayan等[11]研究了大項(xiàng)目中軟件開(kāi)發(fā)者的協(xié)作活動(dòng)對(duì)軟件質(zhì)量的影響。該文獻(xiàn)找出了一些影響因素，并給出了解決的方法。Jaafar等[12]從4個(gè)軟件、22個(gè)版本中發(fā)現(xiàn)異步變更模式對(duì)于軟件設(shè)計(jì)和編碼有重大的影響，并總結(jié)出一些規(guī)律和改進(jìn)措施。Enriquez等[13]建立了一種計(jì)算軟件產(chǎn)品生命周期的模型，此模型已經(jīng)在一個(gè)大型航空企業(yè)的項(xiàng)目中得到了驗(yàn)證。Crrozza等[14]提出了基于顧客知識(shí)管理的軟件質(zhì)量評(píng)價(jià)模型，并通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查驗(yàn)證了顧客知識(shí)管理對(duì)軟件質(zhì)量的影響。Khosravi等[1]介紹了一種用于大型關(guān)鍵任務(wù)系統(tǒng)工程的軟件質(zhì)量評(píng)價(jià)方法，并通過(guò)上百個(gè)軟件系統(tǒng)的測(cè)試，表明該方法是有效的。Yue[15-16]分別介紹了2種基于用戶(hù)的軟件質(zhì)量評(píng)價(jià)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了這2種方法的有效性?；诙嘀笜?biāo)決策和層次分析法，Siavvas等[17]提出了一種軟件質(zhì)量的評(píng)價(jià)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)，它是一個(gè)魯棒性的模型。Kaliraj等[18]給出了一個(gè)軟件系統(tǒng)可靠性的測(cè)試方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了該方法確實(shí)提高了測(cè)試效率和精度。Utkin等[19]給出了一個(gè)軟件可靠性增長(zhǎng)模型，并通過(guò)與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的6組數(shù)據(jù)比較，該方法能有效地發(fā)現(xiàn)軟件的錯(cuò)誤。Shan等[20]建立了一個(gè)定向的網(wǎng)絡(luò)加權(quán)軟件質(zhì)量模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法能有效地量化軟件的結(jié)構(gòu)。Irshad等[21]和Nguyen-Duc等[22]分別給出了一個(gè)相關(guān)的文獻(xiàn)綜述。

這些研究極大地豐富和完善了軟件質(zhì)量的評(píng)價(jià)和管理；然而，本文研究發(fā)現(xiàn)還有以下問(wèn)題需要進(jìn)一步探討。

問(wèn)題1 現(xiàn)有的大部分文獻(xiàn)側(cè)重于軟件的早期質(zhì)量管理，其中，影響力較大的是來(lái)自于ISO和IEC[23]的標(biāo)準(zhǔn)，它是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織制定的一系列軟件質(zhì)量的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)。這些標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于軟件的早期質(zhì)量管理起到了許多積極的作用，然而，Condori-Fernandez等[24]和García-Mireles等[25]發(fā)現(xiàn)，軟件在使用之前，許多質(zhì)量的指標(biāo)是很難測(cè)試的。例如，它的可維護(hù)性(maintainability)、可靠性(reliability)、可復(fù)用性(reusability)等。這些指標(biāo)可能是權(quán)重各異，甚至是相互矛盾的。

實(shí)際上，在現(xiàn)存的評(píng)價(jià)方法中，決策方法[26]能有效地對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象(方案)的優(yōu)劣進(jìn)行排序，也允許方案帶有權(quán)重各異、相互矛盾的指標(biāo)，并且決策方法對(duì)樣本容量也沒(méi)有限制。

問(wèn)題2 盡管現(xiàn)有的許多模型可以定量地測(cè)度軟件的質(zhì)量，但是，仍缺乏對(duì)用戶(hù)需求的關(guān)注[15]，并且缺乏基于用戶(hù)的評(píng)價(jià)方法。

實(shí)際上，在決策方法中，如果將軟件用戶(hù)視為專(zhuān)家，這種基于用戶(hù)的決策方法就能有效地解決問(wèn)題2。

綜合上述2個(gè)問(wèn)題，本研究打算基于決策方法來(lái)建立軟件質(zhì)量的評(píng)價(jià)模型。在決策科學(xué)中，群決策[27-31]是一種能集結(jié)多個(gè)專(zhuān)家的觀點(diǎn)、綜合性更強(qiáng)的決策方法。在決策和群決策方法中，TOPSIS(Technique for Order Performance by Similarity to Ideal Solution)技術(shù)[32]是一種常用的折中方法，它能同時(shí)考慮正理想和負(fù)理想解，所以，它是一種綜合性的技術(shù)。在TOPSIS技術(shù)中，需要考慮決策方案到理想解的距離。目前，常用的測(cè)度是歐幾里得距離和海明距離。事實(shí)上，投影測(cè)度[30-37]是比距離測(cè)度更綜合的測(cè)度，它能同時(shí)考慮2個(gè)測(cè)評(píng)目標(biāo)的模和夾角。由此可見(jiàn)，在TOPSIS技術(shù)中，如果用投影測(cè)度來(lái)替代距離測(cè)度，能增強(qiáng)模型的綜合性，從而增大其應(yīng)用的范圍；然而，這個(gè)研究發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的投影測(cè)度在實(shí)數(shù)向量和區(qū)間向量空間上都是有缺陷的(見(jiàn)第1章的例1和例2)?；谝陨蠁?wèn)題，本文主要的工作如下。

1)建立一種新的投影測(cè)度。它能完善當(dāng)前實(shí)數(shù)向量和區(qū)間向量空間上投影模型的缺陷，并且，新的投影測(cè)度能:

a)滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)化的條件，即投影值介于0和1之間，滿(mǎn)足：投影值越接近于1，兩個(gè)測(cè)評(píng)對(duì)象就越接近。

b)測(cè)度2個(gè)決策矩陣的接近程度。一般的投影測(cè)度所度量的是2個(gè)向量的接近程度，本文所建的投影測(cè)度，能直接測(cè)度2個(gè)群決策矩陣的接近程度。

c)測(cè)度帶有含混信息的2個(gè)矩陣的接近程度。本文所建的投影測(cè)度，能測(cè)度2個(gè)帶有實(shí)數(shù)和區(qū)間含混向量(矩陣)的接近程度。

2)建立一種新的TOPSIS技術(shù)。該技術(shù)使用新的投影測(cè)度來(lái)替代經(jīng)典的距離測(cè)度，進(jìn)而使得模型的結(jié)果更加綜合和實(shí)用。

3)建立一種新的群決策方法。將新的投影測(cè)度和改進(jìn)的TOPSIS技術(shù)融入到帶有含混信息的群決策中，進(jìn)而建立一種方便實(shí)用的群決策模型，并且給出該算法的偽代碼。

4)建立一種新的軟件質(zhì)量的評(píng)價(jià)模型?；谛碌娜簺Q策方法，本文研究將提供一種新的軟件質(zhì)量的評(píng)價(jià)模型，以期使得軟件質(zhì)量的評(píng)價(jià)更加綜合、科學(xué)、有效和實(shí)用。

1 評(píng)價(jià)模型

為了方便于本文的模型描述，現(xiàn)就群決策中的一些常用術(shù)語(yǔ)表述如下：

1)方案，即評(píng)價(jià)的對(duì)象。將所有的方案構(gòu)成的集合記為A={A1,A2,…,Ai…,Am}，這里，i∈M={1,2,…,m}。

2)指標(biāo)，即評(píng)價(jià)的屬性。將所有的指標(biāo)構(gòu)成的集合記為U={u1,u2,…,uj,…,un}，這里，j∈N={1,2,…,n}。

4)決策者，即專(zhuān)家。將專(zhuān)家的集合記為D={d1,d2,…,dk,…,dt}，這里，k∈T={1,2,…,t}。

專(zhuān)家在實(shí)際的評(píng)價(jià)中，經(jīng)常會(huì)使用區(qū)間來(lái)打分。比如，專(zhuān)家給某個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的打分為70～80分，可記為[70,80]。這里，[70,80]是一個(gè)區(qū)間，有時(shí)也稱(chēng)為區(qū)間數(shù)。區(qū)間是一個(gè)最簡(jiǎn)單的模糊數(shù)。它使用方便，便于計(jì)算。文獻(xiàn)[32]將一個(gè)非負(fù)的區(qū)間記為α=[αL,αU]={x|0≤αL≤x≤αU}，這里，x為實(shí)數(shù)。本文所提到的區(qū)間是非負(fù)的區(qū)間，文中的專(zhuān)家打分可以采用這種形式。

假設(shè)α=(α1,α2,…,αn)和β=(β1,β2,…,βn)是2個(gè)實(shí)數(shù)向量，則稱(chēng)式(1)為α在β上的投影[34]：

Projβ(α)=αβ/|β|

(1)

一般來(lái)說(shuō)，投影Projβ(α)越大，α就越接近到β[34]；然而，從下面的例1就能看出，式(1)并不具有一般性。

例1 假設(shè)向量α=(3,0,0)，向量β=(1,0,0)。依據(jù)式(1)，顯然有Projβ(α)=3，Projβ(β)=1。這時(shí)有Projβ(α)>Projβ(β)。由此推出α接近β的程度大于β接近于β的程度，這是一個(gè)矛盾。其次，式(1)不滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)化的條件：0≤NProjβ(α)≤1。例如，本例中的Projβ(α)=3。

從例2能看出，對(duì)區(qū)間向量，式(1)也不滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)化(即，其投影值位于[0,1])的要求。投影值有的情況下可能非常大，有的情況下又可能非常小。例如，考慮2個(gè)實(shí)數(shù)向量：α=(100,100)，β=(1,0)，則αβ=100，|α|=141.42，|β|=1。依據(jù)式(1)有：Projβ(α)=100，Projα(β)=0.71。這樣，在使用式(1)來(lái)判斷2個(gè)向量的接近程度時(shí)，就很難把握其精度。為解決這些問(wèn)題，一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)化投影公式介紹如下：

假設(shè)α=(α1,α2,…,αn)和β=(β1,β2,…,βn)是2個(gè)向量，則稱(chēng)式(2)為α在β上的標(biāo)準(zhǔn)化投影:

(2)

對(duì)于例1中的2個(gè)向量α=(3,0,0)和β=(1,0,0)，顯然，αβ=3，|α|2=9，|β|2=1。于是依據(jù)式(2)有：NProj(β)(α)=11/13；NProjα(α)=NProjβ(β)=1。

同理，對(duì)于例2中的2個(gè)向量α=([0,4],[0,5])和β=([0,3],[0,4])，顯然，αβ=32，|α|2=41，|β|2=25。于是依據(jù)式(2)有：NProjβ(α)=48/55；NProjα(α)=NProjβ(β)=1。

類(lèi)似于式(2)，假設(shè)X=(xkj)t×n和Y=(ykj)t×n是2個(gè)評(píng)價(jià)矩陣，稱(chēng)式(3)為X在Y上的投影：

(3)

在本文中，被評(píng)價(jià)的軟件視為方案。每個(gè)被調(diào)查的人員視為專(zhuān)家，他(她)們同時(shí)為軟件的使用者。假設(shè)方案Ai的評(píng)價(jià)矩陣為:

(4)

(5)

假設(shè)評(píng)價(jià)指標(biāo){u1,u2,…,un}的類(lèi)型僅有效益型(越大越好)和成本型(越小越好)，則有正理想決策矩陣[34]：

(6)

類(lèi)似地，有負(fù)理想決策矩陣[34]：

(7)

依據(jù)式(3)，能得到加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi在正理想決策矩陣Y+上的投影：

NProjY+(Yi)=

(8)

類(lèi)似地，加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi在負(fù)理想決策矩陣Y-上的投影為：

NProjY-(Yi)=

(9)

依據(jù)TOPSIS[31]技術(shù)的思想，一個(gè)基于標(biāo)準(zhǔn)化投影的綜合相關(guān)系數(shù)定義為：

(10)

且NRCi越大，方案Ai就越好。

2 評(píng)價(jià)程序

基于以上建立的評(píng)價(jià)模型，給出以下評(píng)價(jià)模型算法的偽代碼。

步驟1 建立評(píng)價(jià)矩陣。

依據(jù)式(4)，建立方案Ai的評(píng)價(jià)矩陣Xi,其算法的偽代碼可表述為：

功能:建立評(píng)價(jià)矩陣Xi(i=1,2,…,m)。

Output:Xi(i=1,2,…,m);

fori:=1 tom

fork:=1 tot

forj:=1 ton

end

end

end

步驟2 建立加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣。

對(duì)決策者給定的指標(biāo)權(quán)重w={w1,w2,…,wn}，依據(jù)式(5)，建立方案Ai的加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi。其算法的偽代碼可表述為：

功能:建立加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi(i=1,2,…,m)。

Output:Yi(i=1,2,…,m);

fori:=1 tom

fork:=1 tot

forj:=1 ton

end

end

end

步驟3 確定理想決策。

對(duì)加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi，依據(jù)式(6)～(7)，分別建立正、負(fù)理想決策。其算法的偽代碼可表述為：

功能:建立理想決策矩陣Y+,Y-。

Input:Yi(i=1,2,…,m);

Output:Y+,Y-;

fori:=1 tom

fork:=1 tot

forj:=1 ton

end

end

end

步驟4 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化的投影。

對(duì)方案的正、負(fù)理想決策，依據(jù)式(8)和(9)，分別計(jì)算加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi在正、負(fù)理想決策上的標(biāo)準(zhǔn)化的投影。其算法的偽代碼可表述為：

功能:建立加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi(i=1,2,…,m)。

Input:Yi(i=1,2,…,m),Y+,Y-;

Output:NProjY+(Yi),NProjY-(Yi)(i=1,2,…,m);

fori:=1 tom

fork:=1 tot

forj:=1 ton

YiY+:=Yi1++Yi2+;

|Yi|2:=|Yi1|2+|Yi2|2;

|Y+|2:=|Y+1|2+|Y+2|2;

|Y-|2:=|Y-1|2+|Y-2|2;

end

end

end

return:NProjY+(Yi),NProjY-(Yi)(i=1,2,…,m)

步驟5 計(jì)算相關(guān)系數(shù)。

基于加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣在正、負(fù)理想決策上的標(biāo)準(zhǔn)化的投影，依據(jù)式(10)，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)。其算法的偽代碼可表述為：

功能:計(jì)算相關(guān)系數(shù)NRCi(i=1,2,…,m)。

Input:NProjY+(Yi),NProjY-(Yi)(i=1,2,…,m);

Output:NRCi(i=1,2,…,m);

fori:=1 tom

NRCi:=NProjY+(Yi)/(NProjY+(Yi)+NProjY-(Yi));

end

return:NRCi(i=1,2,…,m)

步驟6 方案排序。

基于相關(guān)系數(shù)，能給出方案的序關(guān)系。排序的準(zhǔn)則為：相關(guān)系數(shù)NRCi越大，對(duì)應(yīng)的方案Ai就較好。

3 實(shí)例分析

在廣東某高校，有4款軟件被廣泛用于教學(xué)和科研中，其軟件的質(zhì)量也由此引起用戶(hù)的關(guān)注。本章針對(duì)這4款軟件，給出其質(zhì)量的詳細(xì)評(píng)價(jià)過(guò)程。為方便表述，記這4個(gè)軟件的集合為A={A1,A2,A3,A4}={軟件1，軟件2，軟件3，軟件4}。首先，對(duì)這4款軟件的質(zhì)量進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。這里的評(píng)價(jià)專(zhuān)家集合被記為D={d1,d2,d3,d4}，其中d1,d2,d3,d4為該高校的4個(gè)學(xué)院的軟件使用者。依據(jù)測(cè)評(píng)人員的關(guān)注，本文的評(píng)價(jià)指標(biāo)為U={u1,u2,u3}={可維護(hù)性，可靠性，可復(fù)用性}。

表1 軟件的評(píng)價(jià)矩陣 Tab. 1 Evaluation matrices of software

通過(guò)參評(píng)人員的商議，確定出3個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，其結(jié)果為w={w1,w2,w3}={0.3,0.4,0.3}。由步驟2，能得到加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣。4個(gè)加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣如表2所示。

表2 加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣 Tab. 2 Weighted evaluation matrices

由步驟3，能確定正、負(fù)理想決策矩陣。2個(gè)理想決策矩陣如表3所示。

由步驟4，分別計(jì)算加權(quán)評(píng)價(jià)矩陣Yi在正、負(fù)理想決策上的標(biāo)準(zhǔn)化投影?；跍y(cè)評(píng)軟件的標(biāo)準(zhǔn)化投影，由步驟5，能計(jì)算相關(guān)系數(shù)。然后，依據(jù)步驟6對(duì)參評(píng)軟件的質(zhì)量進(jìn)行排序。4個(gè)參評(píng)軟件的標(biāo)準(zhǔn)化投影以及它們的序關(guān)系如表4所示。

從表4可以看出，4款參評(píng)軟件質(zhì)量的序關(guān)系是：

A4?A3?A2?A1

即第4款軟件的質(zhì)量被排在第一，其次是第3、第2和第1款軟件。

表3 理想決策矩陣 Tab. 3 Ideal decision matrices

表4 軟件的標(biāo)準(zhǔn)化投影、相關(guān)系數(shù)以及排序 Tab. 4 Normalized projections, relative coefficients and rankings of softwares

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了凸顯所建模型的優(yōu)勢(shì)，本章給出2類(lèi)實(shí)驗(yàn)分析：一類(lèi)是靜態(tài)的分析，另一類(lèi)是動(dòng)態(tài)的分析。

首先給出靜態(tài)的分析。先回過(guò)頭來(lái)觀察表4的結(jié)果。依據(jù)式(2)和(3)知道，式(8)中的標(biāo)準(zhǔn)化投影NProjY+(·)也是一個(gè)測(cè)度。其決策準(zhǔn)則為：較大的NProjY+(Yi)，意味著較好的方案Ai。若依據(jù)測(cè)度NProjY+(·)對(duì)其軟件質(zhì)量進(jìn)行排序，其結(jié)果見(jiàn)表4的第3列。同理，式(9)中的標(biāo)準(zhǔn)化投影NProjY-(·)也是一個(gè)測(cè)度。其決策準(zhǔn)則為：較小的NProjY-(Yi)，意味著較好的方案Ai。若依據(jù)測(cè)度NProjY-(·)對(duì)其軟件質(zhì)量進(jìn)行排序，其結(jié)果見(jiàn)表4的第5列。表4中3個(gè)排序的結(jié)果是完全一致的。這一結(jié)果從一個(gè)側(cè)面反映了該模型具有一定的魯棒性。

一個(gè)新的方法的優(yōu)劣也應(yīng)體現(xiàn)在與已有方法的對(duì)比上。若將式(8)替換為傳統(tǒng)的投影方法(見(jiàn)式(1))，其結(jié)果為:

(11)

若將式(9)替換為傳統(tǒng)的投影方法，其結(jié)果為：

(12)

若將式(10)替換為傳統(tǒng)的投影測(cè)度，其結(jié)果為：

(13)

且一般來(lái)說(shuō)，較大的RCi，意味著較好的方案Ai。

依據(jù)式(11)、(12)和(13)，4款參評(píng)軟件的投影以及它們的序關(guān)系如表5所示。

從表5中可得出：

1)依據(jù)相關(guān)系數(shù)RCi的排序?yàn)锳3?A4?A2?A1，這個(gè)序關(guān)系與基于標(biāo)準(zhǔn)化投影的序關(guān)系A(chǔ)4?A3?A2?A1(如表4)是不一致的；

2)依據(jù)相關(guān)系數(shù)RCi的序關(guān)系與依據(jù)ProjY+(Yi)的序關(guān)系也是不一致的；

3)依據(jù)相關(guān)系數(shù)RCi的序關(guān)系與依據(jù)ProjY-(Yi)的序關(guān)系也是不一致的；

4)2組投影值ProjY+(Yi)和ProjY-(Yi)均大于1。

表5中的3個(gè)測(cè)度得出了3個(gè)不同的序關(guān)系。從模型的魯棒性上來(lái)看，它暴露了經(jīng)典投影的劣勢(shì)，從而也凸顯了本文所建模型的優(yōu)勢(shì)。表5中的2組投影值ProjY+(Yi)和ProjY-(Yi)均較大。從標(biāo)準(zhǔn)化上來(lái)看，這給界定兩者的接近程度增加了困難。這一結(jié)果也從另外一個(gè)側(cè)面凸顯了標(biāo)準(zhǔn)化投影在[0,1]區(qū)間的優(yōu)勢(shì)。

表5 軟件的經(jīng)典投影、相關(guān)系數(shù)以及排序 Tab. 5 Classical projections, relative coefficients and rankings of softwares

本研究注意到：以上的實(shí)例以及實(shí)驗(yàn)均來(lái)自于一組樣本數(shù)據(jù)。如果說(shuō)這不足以凸顯本文所建模型的優(yōu)勢(shì)的話(huà)，下面的動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)芴峁┮粋€(gè)有效的補(bǔ)充。

圖1 基于式(10)的4個(gè)方案的動(dòng)態(tài)變化Fig. 1 Dynamic changes of four schemes based on Eq. (10)

圖1表明：隨著參數(shù)δ的增加，4個(gè)方案的序關(guān)系是基本穩(wěn)定的，且這個(gè)序關(guān)系是與表4中的序關(guān)系是一致的。這反映出了該模型有較好的魯棒性。

為便于對(duì)比，現(xiàn)將基于經(jīng)典投影的相關(guān)系數(shù)(見(jiàn)式(13))的動(dòng)態(tài)變化如圖2所示。

圖2表明：隨著參數(shù)δ的增加，4個(gè)方案的序關(guān)系是不穩(wěn)定的，且這個(gè)序關(guān)系是與表4中的序關(guān)系也是不一致的，4個(gè)方案序關(guān)系的區(qū)分也不明顯。圖1和圖2在動(dòng)態(tài)意義下的對(duì)比，反映出了本文所建模型也是優(yōu)于經(jīng)典的投影測(cè)度的。

圖2 基于式(13)的4個(gè)方案的動(dòng)態(tài)變化Fig. 2 Dynamic changes of four schemes based on Eq. (13)

上面的靜態(tài)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)注意到：式(8)中的標(biāo)準(zhǔn)化投影NProjY+(·)也是一個(gè)測(cè)度。類(lèi)似于上面的動(dòng)態(tài)分析，現(xiàn)將基于式(8)的4個(gè)方案A1、A2、A3、A4的動(dòng)態(tài)變化如圖3所示。

圖3 基于式(8)的4個(gè)方案的動(dòng)態(tài)變化Fig. 3 Dynamic changes of four schemes based on Eq. (8)

圖3表明：隨著參數(shù)δ的增加，4個(gè)方案的序關(guān)系是穩(wěn)定的，且這個(gè)序關(guān)系是與表4中的序關(guān)系以及圖1中的序關(guān)系也是一致的。這反映出了該模型有較好的魯棒性。

為便于對(duì)比，將基于經(jīng)典投影的式(11)的動(dòng)態(tài)變化如圖4所示。

圖4 基于式(11)的4個(gè)方案的動(dòng)態(tài)變化Fig. 4 Dynamic changes of four schemes based on Eq. (11)

圖4表明：隨著參數(shù)δ的增加，4個(gè)方案的序關(guān)系也是穩(wěn)定的，且這個(gè)序關(guān)系與表4中的序關(guān)系以及圖1中的序關(guān)系也是一致的。這一結(jié)果反映出了經(jīng)典模型在某些方面是支持本文所建的標(biāo)準(zhǔn)化投影模型的。

類(lèi)似于式(8)，式(9)中的NProjY-(·)也是一個(gè)測(cè)度。為方便于觀察，現(xiàn)將它修改為：

NNPY-(Yi)=1-NProjY-(Yi);i∈M

(14)

其中，顯然有：較大的NNPY-(Yi)意味著較好的方案Ai?，F(xiàn)將基于式(14)的4個(gè)方案A1、A2、A3、A4的動(dòng)態(tài)變化如圖5所示。

圖5 基于式(14)的4個(gè)方案的動(dòng)態(tài)變化Fig. Dynamic changes of four schemes based on Eq. (14)

圖5表明：隨著參數(shù)δ的增加，4個(gè)方案的序關(guān)系是基本穩(wěn)定的，且當(dāng)δ≤65時(shí)，這個(gè)序關(guān)系是與表4中的序關(guān)系以及圖1中的序關(guān)系也是一致的。這一結(jié)果反映出了該模型總體上有較好的魯棒性。

最后，為便于與圖5比較，將基于經(jīng)典投影的式(12)轉(zhuǎn)化為：

NPY-(Yi)=125-ProjY-(Yi);i∈M

(15)

其中，125是ProjY-(Yi)的一個(gè)上界。一般來(lái)說(shuō)，較大的NPY-(Yi)意味著較好的方案Ai?，F(xiàn)將基于式(15)的4個(gè)方案A1、A2、A3、A4的動(dòng)態(tài)變化如圖6所示。

圖6 基于式(15)的4個(gè)方案的動(dòng)態(tài)變化Fig. 6 Dynamic changes of four schemes based on Eq. (15)

圖6表明：隨著參數(shù)δ的增加，4個(gè)方案的序關(guān)系也是基本穩(wěn)定的；然而，這個(gè)序關(guān)系與圖1中的序關(guān)系是不一致的，并且與圖5中的序關(guān)系也是不一致的。這說(shuō)明了經(jīng)典的投影測(cè)度不具備魯棒性，從而從一個(gè)側(cè)面也反襯出本文所建模型的優(yōu)勢(shì)。

至此，綜合圖1～6，能動(dòng)態(tài)地看出：本文所構(gòu)建的模型不僅彌補(bǔ)了經(jīng)典投影的缺陷，而且具備較好的魯棒性，且從以上靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的2類(lèi)實(shí)驗(yàn)中，不難看出本文所建模型確實(shí)優(yōu)于當(dāng)前的經(jīng)典投影模型。

下面對(duì)于所建模型在實(shí)際操作中可能遇到的情況作些說(shuō)明：

1)第4章實(shí)例中所給出的指標(biāo)均為效益型。若指標(biāo)中既有效益型，又有成本型，它的處理與本文方法的區(qū)分僅僅體現(xiàn)在2個(gè)理想決策上。理想決策中元素的確定參見(jiàn)式(6)和(7)的說(shuō)明。其他處理方法完全一樣。

4)一般來(lái)說(shuō)，模型算法的實(shí)現(xiàn)需要依據(jù)軟件的程序。實(shí)例以及實(shí)驗(yàn)中的結(jié)果是依據(jù)Matlab編程實(shí)現(xiàn)的。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)經(jīng)典投影在測(cè)度2個(gè)向量的接近程度時(shí)出現(xiàn)的漏洞，以及投影值有時(shí)太大，有時(shí)太小，不便于認(rèn)識(shí)和使用等缺陷，本文建立了一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)化的投影測(cè)度。所建測(cè)度彌補(bǔ)了經(jīng)典測(cè)度的缺陷，并以此建立了一個(gè)軟件質(zhì)量的群決策評(píng)價(jià)方法，此方法有以下優(yōu)勢(shì)：

1)測(cè)度綜合。本文采用一種新的標(biāo)準(zhǔn)化投影的方法來(lái)測(cè)度軟件的質(zhì)量，這種測(cè)度既能反映出兩個(gè)測(cè)評(píng)對(duì)象間的距離，又能反映出兩個(gè)測(cè)評(píng)對(duì)象間的夾角，且投影值位于[0,1]區(qū)間，所以，本模型所用的測(cè)度更加綜合。

2)技術(shù)綜合。一方面，從模型上看，本文采用群決策方法來(lái)匯總評(píng)價(jià)信息和處理評(píng)價(jià)問(wèn)題。從評(píng)價(jià)信息的來(lái)源上說(shuō)，一般決策模型僅能反映出單個(gè)專(zhuān)家的評(píng)價(jià)信息，而群決策模型能匯總多個(gè)專(zhuān)家的評(píng)價(jià)信息，故在考慮問(wèn)題時(shí)，這里的群決策模型要比一般的決策模型考慮得更加全面。另一方面，從技術(shù)上看，本文采用TOPSIS技術(shù)對(duì)軟件質(zhì)量進(jìn)行排序。TOPSIS技術(shù)是一種折中的方法，它融合了包括評(píng)價(jià)矩陣、正理想決策、負(fù)理想決策在內(nèi)的3種決策信息，所以，本文方法的技術(shù)更加綜合。

3)易于實(shí)現(xiàn)。從專(zhuān)家提供的評(píng)價(jià)信息方面來(lái)看，本模型允許專(zhuān)家提供精確的評(píng)價(jià)值，也允許專(zhuān)家提供區(qū)間數(shù)據(jù)，這樣，就給專(zhuān)家決策提供了極大的方便；從模型的計(jì)算來(lái)看，借助Matlab軟件，本文的模型是很容易實(shí)現(xiàn)的。這一點(diǎn)可通過(guò)本文的實(shí)例計(jì)算和實(shí)驗(yàn)分析就能看出。本文的評(píng)價(jià)信息是實(shí)數(shù)和區(qū)間，并且是以百分制給出的實(shí)數(shù)，這是一個(gè)限制。進(jìn)一步的工作希望能將決策信息推廣到直覺(jué)模糊數(shù)、語(yǔ)言和其他含混信息，以便于方便決策者的評(píng)價(jià)過(guò)程。

本文采用TOPSIS技術(shù)對(duì)軟件質(zhì)量進(jìn)行排序，這是一個(gè)限制。進(jìn)一步的工作，希望能推廣到其他的評(píng)價(jià)技術(shù)，比如，VIKOR(VIsekriterijumska optimizacija i KOmpromisno Resenje)(折中排序)方法、網(wǎng)絡(luò)分析法(Analytic Network Process)等。