丁 寧，管新榮,，楊煒偉，李彤凱，王建設(shè)

(1.陸軍工程大學(xué) 通信工程學(xué)院，南京 210007； 2.深圳電器公司 博士后工作站，廣東 深圳 518001；3. 96669部隊(duì)，北京 100094)

0 引言

在無線通信環(huán)境中由于無線信道的廣播特性，兩個(gè)合法用戶之間傳輸?shù)南⒋嬖诒桓`聽的風(fēng)險(xiǎn)，針對(duì)此類威脅的解決方案通常是使用加解密機(jī)制[1]，用密鑰對(duì)消息進(jìn)行加密，以保證消息的可靠性和完整性。傳統(tǒng)上，密鑰分發(fā)管理方案如Diffie-Hellman密鑰交換算法[2]，計(jì)算復(fù)雜度較高，并且安全性依賴于對(duì)方運(yùn)算能力受限的假設(shè)。近年來，基于無線信道物理特征的密鑰生成技術(shù)提供了另一種方法。該方法是在時(shí)分雙工(Time Division Duplex，TDD)系統(tǒng)下利用下行鏈路和上行鏈路的信道互易性，分別在兩個(gè)通信節(jié)點(diǎn)上生成一致密鑰[3]。

通常，無線密鑰生成主要包括4個(gè)步驟：信道探測(cè)、量化、密鑰協(xié)商和隱私放大。在第1個(gè)步驟中，信道探測(cè)即采集Alice和Bob通信雙方之間的信道特征信息作為生成密鑰源。在第2個(gè)步驟中，通信雙方將采集到的信道特征信息量化成比特序列。理想情況下，信道的互易性使得通信雙方量化出的比特序列是一致的；然而，實(shí)際情況中由于隨機(jī)噪聲、估計(jì)誤差和非同步測(cè)量等原因，雙方不能獲得完全一致的信道狀態(tài)信息(Channel State Information， CSI)，從而導(dǎo)致通信雙方量化出的比特序列存在差異[4]，因此，量化步驟研究的目的是在盡可能降低通信雙方量化后比特序列不一致率的同時(shí)保證密鑰生成速率。在第3個(gè)步驟中，將經(jīng)過量化后存在差異的比特序列進(jìn)行密鑰協(xié)商，糾正通信雙方初始密鑰中不一致的比特，使得Alice和Bob通信雙方具有相同的密鑰比特序列。雖然協(xié)商過程交互的不是密鑰本身，但Eve仍能從中獲取部分信息從而威脅密鑰安全，因此，在最后步驟中，采用隱私放大來消除信息泄露的影響。

通過對(duì)上述整個(gè)密鑰生成過程的觀察，可以推斷，如果在第2步驟之后，密鑰不一致率(Key Disagreement Rate，KDR)足夠低，那么在第3步驟中的交互將大量減少，從而降低消息泄露的風(fēng)險(xiǎn)。相應(yīng)地，為了減小信道探測(cè)中隨機(jī)噪聲、估計(jì)誤差和非同步測(cè)量等因素對(duì)密鑰一致性的影響，很多文獻(xiàn)設(shè)計(jì)了不同的量化方案來增強(qiáng)密鑰一致性。文獻(xiàn)[5]針對(duì)基于相位的無線密鑰提取算法，提出在量化邊界處設(shè)立保護(hù)帶(Guard Band，GB)，刪除誤差較大的估計(jì)值，從而有效提高雙方生成密鑰的一致性。文獻(xiàn)[6]針對(duì)保護(hù)帶大小進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，在給定密鑰不一致率前提下使得密鑰比特?cái)?shù)最大化，缺點(diǎn)是只考慮了單比特量化方案，密鑰速率生成速率較低。文獻(xiàn)[7]中提出了一種類似于熵約束的量化方案，使量化誤差最小化，其缺點(diǎn)是只從密鑰的一致性方面進(jìn)行評(píng)價(jià)，缺乏考慮密鑰生成速率。除了量化方法，還有文獻(xiàn)提出一些變換域的方法對(duì)信道估計(jì)值進(jìn)行預(yù)處理，從而提高生成密鑰的一致性。文獻(xiàn)[8-9]分別通過曲線擬合和Savirzky Golay濾波的方法改善TDD系統(tǒng)半雙工時(shí)延對(duì)信道特征互易性的影響。文獻(xiàn)[10]中提出了一種基于小波分析(Wavelet Analysis, WA)的密鑰生成方案，增強(qiáng)信道特征測(cè)量值的互易性。雖然文獻(xiàn)[5-10]中針對(duì)非完美信道估計(jì)的影響提出了多種改善方案，但是缺乏高效的理論性能分析。文獻(xiàn)[11]分析了信道估計(jì)誤差導(dǎo)致的密鑰不一致率，并基于高斯—拉格朗日正交得到一個(gè)近似解，但不是閉式表達(dá)結(jié)果，缺少KDR的精確數(shù)學(xué)表達(dá)式。文獻(xiàn)[12]給出了閉式表達(dá)式，但只是在單比特量化條件下的結(jié)果，缺乏考慮多比特量化情況，密鑰生成效率低下。

由于上述文獻(xiàn)缺乏非完美信道估計(jì)對(duì)無線密鑰性能影響的理論分析，且只從單比特量化方案考慮密鑰的一致性，性能評(píng)價(jià)指標(biāo)單一，因此，本文在多比特量化方案下，對(duì)信道估計(jì)誤差的影響進(jìn)行理論推導(dǎo)，從密鑰不一致率和有效密鑰速率兩個(gè)方面評(píng)價(jià)無線密鑰性能。針對(duì)上述研究的不足，本文主要工作包括：1)建立了估計(jì)誤差分析模型，研究了非完美信道估計(jì)條件下多比特量化密鑰生成方案，設(shè)計(jì)添加保護(hù)帶的多比特量化器，可以輸出更多的二進(jìn)制比特序列用于密鑰生成，從而提高密鑰生成效率。推導(dǎo)了添加保護(hù)帶多比特量化情況下KDR的閉式表達(dá)結(jié)果，進(jìn)而給出了信道估計(jì)誤差和量化階數(shù)以及保護(hù)帶與密鑰不一致率的關(guān)系。2)定義了密鑰有效速率(Effective Key Generation Rate， EKGR)來評(píng)價(jià)量化階數(shù)和保護(hù)帶設(shè)置帶來的影響，揭示出增大量化階數(shù)提高密鑰生成速率同時(shí)也增加了密鑰不一致率的問題，進(jìn)一步探討研究在選擇量化階數(shù)和保護(hù)帶大小時(shí)的KDR與EKGR折中問題。

1 系統(tǒng)模型

1.1 無線密鑰生成模型

圖1 無線密鑰生成模型Fig. 1 Wireless key generation model

1.2 信道估計(jì)相關(guān)模型

假設(shè)采用LS(Least Square)信道估計(jì)方法[12]，發(fā)送導(dǎo)頻符號(hào)的功率為Ppilot。由于估計(jì)誤差，Alice和Bob之間信道估計(jì)值[13]可以表示為：

(1)

(2)

(3)

2 性能分析

2.1 多比特量化器設(shè)計(jì)

(4)

圖2 量化器示意圖Fig. 2 Quantizer diagram

2.2 密鑰不一致概率

(5)

其中，α的概率密度函數(shù)為：

(6)

由于ga和gb相互獨(dú)立，則ga和gb聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

(7)

根據(jù)式(7)，則Alice落在第i個(gè)區(qū)間同時(shí)Bob落在第j個(gè)區(qū)間的概率記為Pij，可以表示為：

(8)

其中Q1(x)是Marcum Q函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的式(29)，并對(duì)變量作一些變換可得：

(9)

其中：Γ(x)是Gamma函數(shù)，Γ(x,y)是上不完全Gamma函數(shù)，Υ(x,y)是下不完全Gamma函數(shù)[13]。將變換所得的式(9)代入式(8)中，根據(jù)文獻(xiàn)[16]中3.3節(jié)，可得：

(10)

特別地，當(dāng)i=j=1時(shí)，Alice和Bob同時(shí)落在第一個(gè)相同區(qū)間的概率記為P11可以表示為：

(11)

當(dāng)i=j=N時(shí)，Alice和Bob同時(shí)落在最后一個(gè)相同區(qū)間的概率記為PNN可以表示為：

(12)

綜上所述，根據(jù)Pij可以得到Alice和Bob同時(shí)落在相同區(qū)間的概率Psame，表示如下：

(13)

同理，可以得到Alice和Bob同時(shí)落在不同區(qū)間的概率Pdiff，表示如下：

(14)

根據(jù)2.2節(jié)中所述的情況3)，Alice和Bob分別將各自的探測(cè)值ga和gb輸入量化器中，當(dāng)Alice和Bob的探測(cè)值至少有一個(gè)落入保護(hù)帶時(shí)，相應(yīng)的估計(jì)結(jié)果視為無效將被剔除，因此，量化得到的密鑰序列均由有效采樣點(diǎn)構(gòu)成。其中，量化結(jié)果不一致的概率，即密鑰不一致概率為：

(15)

2.3 有效密鑰速率

在量化器設(shè)計(jì)過程中，主要涉及到量化階數(shù)和保護(hù)帶大小兩個(gè)參數(shù)的優(yōu)化調(diào)整；然而，并不是調(diào)整這兩個(gè)參數(shù)使得不一致率越低越好，需要同時(shí)兼顧密鑰的生成效率問題。例如，增大量化階數(shù)M可以使得每個(gè)采樣點(diǎn)經(jīng)過量化器量化得到的比特?cái)?shù)增加，從而提高密鑰的生成速率；然而，這將同時(shí)導(dǎo)致密鑰的不一致率上升。又如，在量化步驟中可以通過增大保護(hù)帶間隔因子δ，來剔除更多不一致的采樣點(diǎn)，從而獲得更低的密鑰不一致率PA，缺點(diǎn)是許多有效采樣點(diǎn)也被剔除，導(dǎo)致可用于最終生成密鑰的比特序列減少。此外，根據(jù)上文所述，在量化門限設(shè)置時(shí)，不同的量化階數(shù)對(duì)應(yīng)的δ都有一定的范圍，δ的取值不能使得上下門限有重合區(qū)域，因此，為了綜合考慮量化階數(shù)M與保護(hù)帶間隔因子δ的影響，本文定義有效密鑰速率(Effective Key Generation Rate， EKGR)來進(jìn)一步探討研究在選擇量化階數(shù)M與保護(hù)帶間隔因子δ時(shí)帶來密鑰不一致率PA與密鑰生成速率的折中問題，用Re表示有效密鑰速率為：

(16)

Tk為密鑰采樣周期，密鑰不一致率反映了生成密鑰的一致性，而有效密鑰速率反映了生成密鑰的有效性。本文根據(jù)上述兩個(gè)密鑰性能來優(yōu)化量化過程中的參數(shù)包括：導(dǎo)頻信號(hào)功率、量化階數(shù)和保護(hù)帶。

3 仿真比較與結(jié)果分析

圖3分別給出了保護(hù)帶間隔因子δ=0和δ=0.1時(shí)，1比特、2比特和3比特量化情況下，密鑰不一致率PA隨著信噪比γpilot的變化情況。首先，可以直觀地看到密鑰不一致率PA隨著信噪比γpilot的增大而減小。當(dāng)信噪比γpilot增大時(shí)，相關(guān)系數(shù)ρ相應(yīng)增大，可以有效降低信道估計(jì)誤差，從而降低密鑰不一致率。其次，在相同信噪比γpilot的情況下，密鑰不一致率PA隨著量化階數(shù)的增大而增加。說明增大了量化階數(shù)，使得經(jīng)過量化器輸出的錯(cuò)誤比特序列增多，從而導(dǎo)致密鑰不一致率PA增加，與上述理論分析相符。最后，相同比特量化情況下，隨著信噪比γpilot的增高，δ=0.1的不一致率比δ=0的不一致率下降得快。說明隨著導(dǎo)頻信號(hào)信噪比γpilot的增加，添加保護(hù)帶的作用更加明顯。

圖3 M=1,2,3的密鑰不一致率Fig. 3 KDR with M=1,2,3

圖4分別給出了不同信噪比γpilot下，有效密鑰速率Re隨著量化比特?cái)?shù)M的變化情況。觀察圖4可以看出，信噪比γpilot=0 dB時(shí)，M=2的有效密鑰速率最高，γpilot=14 dB時(shí)，M=3的有效密鑰速率最高，γpilot=22 dB時(shí)，M=4的有效密鑰速率最高。根據(jù)以上觀察：首先，M在不同的信噪比γpilot下均有最優(yōu)值。因?yàn)樵谛旁氡纫欢l件下，當(dāng)M較小時(shí)，不一致率較低，此時(shí)增大M能夠提高有效密鑰生成速率，但是當(dāng)M增大到一定值時(shí)，繼續(xù)增大M將導(dǎo)致不一致率急劇上升，從而又降低有效密鑰生成速率。其次，隨著信噪比增大，最優(yōu)的M值也越來越大。因?yàn)?，?dāng)信噪比γpilot增大的同時(shí)，密鑰不一致率PA不斷減小，高階量化得到的比特序列數(shù)量增多，使得最終生成的密鑰數(shù)量變多，M值越大則有效密鑰速率越大,整個(gè)密鑰生成有效性得到提升。

圖4 M=1～6時(shí)的有效密鑰速率Fig. 4 EKGR with M=1-6

圖5分別給出了1比特、2比特和3比特量化情況下，密鑰不一致率PA隨著保護(hù)帶間隔因子δ的變化情況。首先，密鑰不一致率PA隨著保護(hù)帶間隔因子δ的增大而減?。黄浯?，隨著量化階數(shù)M的增大，密鑰不一致率PA也隨之增大。為了增大量化階數(shù)的同時(shí)有效降低密鑰不一致率，可以采用更大的保護(hù)帶間隔因子；然而，間隔因子并不能無限制地持續(xù)增大。當(dāng)間隔因子過大時(shí)，相鄰量化區(qū)間將出現(xiàn)交疊，也就是所有估計(jì)值都將落入保護(hù)帶，從而導(dǎo)致量化器失效。例如，當(dāng)M=3時(shí)，間隔因子需滿足：

(17)

圖5 密鑰不一致率隨δ變化情況Fig. 5 KDR changes with δ

圖6分別給出了1比特、2比特和3比特量化情況下，有效密鑰速率Re隨著保護(hù)帶間隔因子δ的變化情況。首先，有效密鑰速率Re隨著保護(hù)帶間隔因子δ的增大而減小。原因是由于增大間隔因子意味著排除更多的采樣點(diǎn)，其中包含著相關(guān)性很強(qiáng)本來應(yīng)該能夠得到相同量化結(jié)果的采樣點(diǎn)，使得量化出的有效密鑰長度減小，從而降低了密鑰生成效率。其次，量化階數(shù)越高，隨著保護(hù)帶間隔因子δ增大，Re下降的速度越快。因?yàn)椋S著δ增大，量化階數(shù)越高，則需要剔除的采樣點(diǎn)數(shù)成M倍增加。最后，綜合圖5和圖6，在提高量化階數(shù)的同時(shí)，增大保護(hù)帶間隔一方面可以降低密鑰不一致率，另一方面降低了有效密鑰速率，應(yīng)當(dāng)根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)景選擇不同的保護(hù)帶間隔因子δ來平衡KDR和RKGR。

圖6 密鑰有效速率隨δ變化情況Fig. 6 EKGR changes with δ

4 結(jié)語

本文針對(duì)信道估計(jì)誤差嚴(yán)重影響密鑰一致性的問題，研究了非完美信道估計(jì)條件下的多比特量化密鑰生成方案。推導(dǎo)了添加保護(hù)帶多比特量化情況下KDR的閉式表達(dá)結(jié)果，并定義了有效密鑰速率來評(píng)估在無線密鑰生成過程中量化階數(shù)和保護(hù)帶間隔因子δ的影響。仿真結(jié)果表明，通過優(yōu)化量化參數(shù)可以減小估計(jì)誤差對(duì)密鑰生成一致性的影響，增大量化階數(shù)的同時(shí)選擇合適的保護(hù)帶不僅提高密鑰生成速率，還能有效降低密鑰不一致效率，為無線密鑰生成過程中導(dǎo)頻功率的選擇以及量化器的參數(shù)優(yōu)化提供了參考。文中僅考慮了信道估計(jì)誤差的影響，后續(xù)還可以分析時(shí)延誤差對(duì)密鑰性能的影響。