李玲靜

有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)結(jié)構(gòu)化的關(guān)聯(lián)材料、多元化解決問(wèn)題的策略對(duì)比，從而建構(gòu)相對(duì)完善的知識(shí)系統(tǒng)，形成正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的過(guò)程。這一學(xué)習(xí)過(guò)程富有挑戰(zhàn)性、批判性?！俺朔e哪個(gè)大”這節(jié)課是基于學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行設(shè)計(jì)的，從學(xué)?！癒FS第二課堂”的后臺(tái)數(shù)據(jù)看，部分比較大小的乘法題錯(cuò)誤率較高，其中三道題的數(shù)據(jù)均低于50%：（40+4）×25○11×（4×25）得分率41%，257×75○256×76得分率39%，342×248○343×247得分率24%。從單道題的運(yùn)算上看，學(xué)生的得分率就高很多，比如，（40+4）×25的運(yùn)算學(xué)生很少會(huì)出錯(cuò)，11×（4×25）的運(yùn)算學(xué)生也很少會(huì)出錯(cuò)，但是將兩個(gè)算式放在一起比大小，出錯(cuò)率明顯就高很多。像257×75○256×76、342×248○343×247這兩組數(shù)據(jù)，面對(duì)這樣大數(shù)據(jù)的比較時(shí)，精確計(jì)算的學(xué)生容易出錯(cuò)，又很難在短時(shí)間內(nèi)選擇一種比較好的方法比較出大小，所以出錯(cuò)率相當(dāng)高。可見，當(dāng)兩個(gè)算式發(fā)生關(guān)聯(lián)時(shí)學(xué)生就容易出錯(cuò)，關(guān)聯(lián)能力需要關(guān)注。筆者結(jié)合課例談?wù)勅绾谓M織學(xué)生進(jìn)行有關(guān)聯(lián)地學(xué)習(xí)。

一、材料結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)

一份好的學(xué)習(xí)材料是組織學(xué)習(xí)的前提，如何讓好材料發(fā)揮出更大的功效是一門學(xué)問(wèn)。材料間的組織要注意結(jié)構(gòu)化，可以是縱向的知識(shí)關(guān)聯(lián)，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，也可以是橫向的板塊聯(lián)通，如數(shù)形結(jié)合等。

【案例1】

教師從最后一題逐題出示，讓學(xué)生估計(jì)得分率可能會(huì)是多少（見表1）。

師：你估計(jì)一下最后一道題為什么得分率會(huì)這么低？

生：因?yàn)閿?shù)據(jù)太大了。

生：因?yàn)橛?jì)算很麻煩。

生：因?yàn)槿粩?shù)乘三位數(shù)我們還沒(méi)有學(xué)。

師：三位數(shù)乘三位數(shù)我們雖然沒(méi)有學(xué)，但是還有36%的同學(xué)做對(duì)了，非常棒！

（出示上面三題的得分率）。

師：你有什么想說(shuō)的。

生：前面是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，后面是三位數(shù)乘兩位數(shù)，最后是三位數(shù)乘三位數(shù)。有聯(lián)系的。

師：幾年級(jí)學(xué)的呢？

生：三年級(jí)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)，這個(gè)學(xué)期我們學(xué)習(xí)了三位數(shù)乘兩位數(shù)。

師：為了方便研究，我們就先取前三題進(jìn)行研究。仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這幾道題的和是一樣的。

師：順著他的思路我們可以研究一下這幾題有什么判斷的秘訣。

（小組合作研究和、差、積之間的關(guān)系）。

通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，這些和一樣的算式，差越小，乘積越大。

這份材料的結(jié)構(gòu)性體現(xiàn)在縱向的知識(shí)關(guān)聯(lián)，本學(xué)期研究的三位數(shù)乘兩位數(shù)是基于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)進(jìn)行延續(xù)，是自主建構(gòu)三位數(shù)乘三位數(shù)計(jì)算方法的基礎(chǔ)。兩者乘積的大小可以通過(guò)精確計(jì)算來(lái)判斷，也可以通過(guò)規(guī)律來(lái)判斷。讓學(xué)生感受到同類型的題有相同的規(guī)律可循，增強(qiáng)規(guī)律意識(shí)。

【案例2】

首先，觀察周長(zhǎng)面積材料聯(lián)想（見圖1）。引導(dǎo)：長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等、面積如何變化？達(dá)成共識(shí)：在周長(zhǎng)相等的情況下，長(zhǎng)和寬越接近，面積越大。

其次，觀察幾何畫板演示聯(lián)想（見圖2）。 引導(dǎo)：是不是所有的長(zhǎng)方形都存在這樣的規(guī)律呢？

你發(fā)現(xiàn)了什么？達(dá)成共識(shí)：周長(zhǎng)不變的情況下，長(zhǎng)和寬越接近，面積越大。

最后，三組材料對(duì)比關(guān)聯(lián)（見圖1，圖2，表2）。

師：三組材料之間有什么關(guān)聯(lián)？

生：我發(fā)現(xiàn)它們之間的道理是相通的。

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬就是兩個(gè)乘數(shù)，“長(zhǎng)和寬越接近，它的面積就越大”和“兩個(gè)乘數(shù)的差越小，乘積就越大”是有聯(lián)系的。

師：你的眼光非常犀利，幾個(gè)材料放在一起比，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)共同的特點(diǎn)。

溝通數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，利用關(guān)聯(lián)遷移方法，并靈活選擇策略判斷，是教學(xué)的難點(diǎn)所在。面對(duì)乘積大數(shù)據(jù)的比較，學(xué)生容易產(chǎn)生畏難心理，如果讓學(xué)生們知道有些很巧的方法可以快速解決，學(xué)生們會(huì)更喜歡數(shù)學(xué)。數(shù)的運(yùn)算是很枯燥的，如果單純告訴他們“和相等，兩個(gè)乘數(shù)越接近，積越大”，很多學(xué)生是不理解的，只會(huì)套用一下結(jié)論而已，通過(guò)將長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)面積問(wèn)題進(jìn)行關(guān)聯(lián)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)道理是相通的，能更好地構(gòu)建知識(shí)。

二、策略多元化關(guān)聯(lián)

這節(jié)課的目標(biāo)是理解乘法算式的意義，并學(xué)會(huì)快速比較兩組算式乘積的大小，通過(guò)觀察、對(duì)比、數(shù)形結(jié)合等策略積累比較經(jīng)驗(yàn)，并能靈活比較乘積哪個(gè)大，發(fā)展數(shù)感、運(yùn)算能力，激發(fā)學(xué)好數(shù)學(xué)的積極情感。

【案例3】

師：（出示4道題及得分幾率，見表3）對(duì)比不同的解題思路，有什么不一樣？

師：請(qǐng)他們來(lái)說(shuō)一說(shuō)自己的想法。

生1：第一道我是通過(guò)估算比大小的。把96估計(jì)成100，100×30=3000，右邊95也估成100，48估成50，100×50=5000，3000<5000，所以右邊大。

生2：96比95才多1，另一個(gè)乘數(shù)48比30多了18，肯定右邊大。

生3：左邊表示30個(gè)95加1個(gè)30，右邊表示40個(gè)95加8個(gè)95，右邊大。

師：看來(lái)估算能解決比大小的問(wèn)題。第二題如何比的呢？

生1：左邊表示48個(gè)125，右邊表示14個(gè)125，左邊的大。

生2：用計(jì)算。

師：第三題與第四題的思路，大家有什么不同的比較方法嗎？

生1：128×10可以表示9個(gè)128加1個(gè)128，比右邊的多100。

生2：右邊的28加100就與左邊一樣了。

生3：第四題的左邊算出來(lái)是1000+100=1100，右邊是11×100=1100，所以相等。

生4：左邊表示44×25，右邊也表示11和4先乘，再乘25，也是44×25。

師：你利用了什么規(guī)律？

生4：乘法結(jié)合律。

師：剛才有同學(xué)運(yùn)用了乘法的運(yùn)算律快速地比較出兩個(gè)算式的大小。精確計(jì)算與估算及意義轉(zhuǎn)化比大小，你們比較喜歡哪一種？

（大部分學(xué)生喜歡估算和意義轉(zhuǎn)化）

師：是不是精確計(jì)算就沒(méi)有價(jià)值了呢？

生：不是，精確計(jì)算可以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

生：精確計(jì)算可以用來(lái)驗(yàn)證。

小結(jié)達(dá)成共識(shí)：在判斷乘積哪個(gè)大的時(shí)候，有時(shí)可以利用乘法意義來(lái)判斷，有時(shí)候可以通過(guò)估算來(lái)解決，有時(shí)候可以利用運(yùn)算律來(lái)轉(zhuǎn)化意義再比較大小，如果一下子沒(méi)有辦法看出來(lái)的，可以用精確計(jì)算來(lái)判斷。

在判斷兩個(gè)乘積大小的時(shí)候，主要有估算、意義轉(zhuǎn)化、精確計(jì)算、找規(guī)律等策略，這份材料將這些多元化的策略集結(jié)到一起，讓學(xué)生進(jìn)行思辨。什么樣的情況用什么策略進(jìn)行比較是學(xué)生數(shù)感及運(yùn)算能力的重要體現(xiàn)，策略關(guān)聯(lián)對(duì)比能提高學(xué)生思維的靈活性與批判性。

三、應(yīng)用價(jià)值性關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)是解決問(wèn)題的工具，同時(shí)，數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決過(guò)程應(yīng)該是自然而然、愉悅互動(dòng)的過(guò)程。學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力之一。培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析意識(shí)，讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值觀的形成。

“乘積哪個(gè)大”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，基于大數(shù)據(jù)的背景而設(shè)計(jì)，基于真實(shí)的問(wèn)題而展開。這節(jié)課以后臺(tái)的兩個(gè)數(shù)據(jù)包A、B為載體，在呈現(xiàn)數(shù)據(jù)包A、B的時(shí)候，讓學(xué)生猜題目的得分率，引發(fā)學(xué)生的好奇心，推測(cè)錯(cuò)誤的原因，用頭腦風(fēng)暴的方式培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，在錯(cuò)誤中思辨，在對(duì)比中建構(gòu)。

【案例4】

在練習(xí)環(huán)節(jié)組織學(xué)生快速口答以下題目。

32×28（ ? ）33×27

72×22（ ? ）63×31

172×22（ ? ）63×131

最后一題，通過(guò)規(guī)律判斷交流之后，提問(wèn)：還有不同的方法快速比較出答案嗎？

生：172估成170，22估成20，170×20=3400;63估成60，131估成100，60×100=6000;明顯右邊大。（此處有掌聲）

追問(wèn)思考：學(xué)了規(guī)律后一定是用規(guī)律判斷最簡(jiǎn)便嗎？

生1：不是，有些很明顯的可以通過(guò)估算快速得出。

生2：有些復(fù)雜的算式不能用這個(gè)規(guī)律。

生3：我發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律在有些乘數(shù)之和不一樣的算式中也可以用。不過(guò)需要進(jìn)一步驗(yàn)證。

師：同學(xué)們很會(huì)思考，的確，規(guī)律只能幫我們解決一部分的問(wèn)題，在規(guī)律不能使用，估算值也比較接近，意義轉(zhuǎn)化比較不方便的情況下，哪種方法更合適？

生：精確計(jì)算。

師：看來(lái)，不同的方法有不同的使用價(jià)值。

在鞏固練習(xí)的環(huán)節(jié)安排了最后一道計(jì)算題，如果套用規(guī)律時(shí)間上會(huì)花得更多，反而是估算能馬上得出結(jié)論。在呈現(xiàn)多種方法后，讓學(xué)生對(duì)如何選擇合適的方法進(jìn)行判斷，通過(guò)這樣的討論活動(dòng)讓學(xué)生形成正確的問(wèn)題解決觀，深度學(xué)習(xí)自然而然地發(fā)生。

有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，可以通過(guò)材料的結(jié)構(gòu)化選擇進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過(guò)問(wèn)題的系列化設(shè)計(jì)，學(xué)習(xí)策略多元化的對(duì)比關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有深度、有廣度、有溫度。

（作者單位：浙江省義烏市繡湖小學(xué)教育集團(tuán)）

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