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        以全國卷為例探究高考題中的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

        2020-06-17 08:04:44王瑞丁
        關(guān)鍵詞:半軸零點(diǎn)最值

        ■王瑞丁

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》提出數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng),即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。而數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)是六大核心素養(yǎng)之首,它既是數(shù)學(xué)的基本思想,也是形成理性思維的重要基礎(chǔ),它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征并貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用的整個過程中。要求學(xué)生能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學(xué)命題,能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題。下面筆者以兩道高考題為例具體探究高考數(shù)學(xué)題中的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

        例1(2017年全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第12題)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上。若,則λ+μ的最大值為( )。

        圖1

        解析:由題意,畫出圖1。設(shè)BD與☉C切于點(diǎn)E,連接CE。以A為原點(diǎn),AD為x軸正半軸,AB為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0)。因為|CD|=1,|BC|=2,所以。因為BD切☉C于點(diǎn)E,所以CE⊥BD,所以CE是Rt△BCD中斜邊BD上的高。所以,即☉C的半徑為。因為P在☉C上,所以P點(diǎn)的軌跡方程為。

        接下來求解λ+μ的最大值,采用兩種方法進(jìn)行解答。

        方法一:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由題易知,結(jié)合題意可知(x0,y0)=(0,λ)+(2μ,0)=(2μ,λ),則,令,則x0+2y0-2z=0。因為點(diǎn)P在圓(x-2)2+上,則圓心到直線的距離d小于等于圓的半徑r,即,解得1≤z≤3,則zmax=3。

        方法二:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程為而。因為(2μ,λ),所以。兩式相加得λ+μ=1+。當(dāng)且僅當(dāng)時,λ+μ取得最大值3。

        小結(jié):應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算。用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量形式,再通過向量的運(yùn)算來解決。在求解最值問題時,可以先轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求最值或者轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程,然后構(gòu)造函數(shù)求最值。

        例2(2016年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn)。

        (1)求a的取值范圍。

        (2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點(diǎn),證明:x1+x2<2。

        解析:(1)a的取值范圍為a>0(解題過程略)。

        (2)由(1)知,若x1,x2是f(x)的兩個零點(diǎn),則a>0。不妨令x1<x2,則x1<1<x2。要證x1+x2<2,只要證x1<2-x2。因為x2>1,所以2-x2<1,當(dāng)a>0 時,f(x)在(-∞,1)上遞減,且f(x1)=0,f(1)<0,所以只要證f(2-x2)<0。f(2-x2)=-x2e2-x2+a(1-x2)2,又f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。令y=-xe2-x-(x-2)ex(x>1),y′=-e2-x+xe2-x-ex-,因為x>1,所以x-1>0,e2<e2x,所以y′<0。所以y=-xe2-x-(x-2)ex在(1,+∞)上遞減,當(dāng)x=1 時,y=0。因為x>1,y<0,即f(2-x2)<0成立,所以x1+x2<2成立。

        小結(jié):對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則是不缺、不漏、最簡。解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解。這里構(gòu)造函數(shù)來解決問題,突出了對數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的考查。

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