孫震震，李玉光，王淑芬，楊 鐸，李富強

(大連大學 機械工程學院，遼寧 大連116622)

0 引 言

在減速器傳動過程中，齒輪傳動效率的高低直接影響著減速器的傳動性能。目前，針對提高齒輪傳動效率的優(yōu)化有大量研究，如耿智博[1]通過對齒輪載荷譜分析，優(yōu)化了齒輪模數(shù)和螺旋角，改善了振動性能；李玉龍[2]通過基于齒輪最佳摩擦學性能優(yōu)選傳動參數(shù)，提高了傳動效率；宗長富[3]以齒輪宏觀參數(shù)為變量，建立了降低振動和減小質(zhì)量的目標函數(shù)，通過優(yōu)化處理提高了傳動效率；馮海生[4]研究了齒面摩擦對齒輪傳動效率的影響關系；葛敏[5]通過對齒輪的微觀修形，降低了齒輪振動與噪聲，間接改善了傳動性能；付學忠[6]將齒輪的承載接觸分析與遺傳算法相結(jié)合優(yōu)化了小輪修形參數(shù)，減少了齒輪傳動的振動與噪聲；王春華[7]基于改進粒子群算法，以傳動效率作為優(yōu)化目標函數(shù)優(yōu)化，改進了齒輪參數(shù)，提高了傳動效率。

但是以上研究主要集中于固有齒輪上，對于立足于傳動系統(tǒng)整體進行的齒輪研究較少。

本文以減速器作為整體，通過分別優(yōu)化齒輪的宏觀參數(shù)與微觀參數(shù)，來減少齒輪嚙合功率損失，提升減速器的傳動效率；首先運用遺傳算法對齒輪的宏觀參數(shù)進行優(yōu)化，以此為基礎，運用KRIGING算法，擬合出齒輪的微觀參數(shù)與齒輪嚙合功率損失的關系，在保證精度的前提下運用EI準則尋找最優(yōu)解，最終達到提升減速器傳動效率的目的。

1 斜齒輪宏觀參數(shù)變量的優(yōu)化

本文以某一級減速器為例，如圖1所示。

圖1 一級減速器模型

第一次優(yōu)化目的主要是在降低齒輪體積的情況下，降低斜齒輪嚙合功率損失，需要先建立兩個優(yōu)化目標函數(shù)，然后線性加權轉(zhuǎn)換成一個新的優(yōu)化目標函數(shù)。

一個優(yōu)化目標是降低斜齒輪的嚙合功率損失；另一個優(yōu)化目標是在保證齒輪強度與耐久性的前提下，減輕齒輪的重量。

1.1 參數(shù)及范圍的確定

本研究對斜齒輪較有獨立性的結(jié)構參數(shù)，如模數(shù)mn、螺旋角β、壓力角an、齒數(shù)z進行優(yōu)化。其范圍變化分別為：

2.5≤mn≤3.5,11°≤β≤13°,18°≤an≤25°。

1.2 目標函數(shù)

1.2.1 斜齒輪的嚙合功率損失

斜齒輪的嚙合功率損失主要由滑動摩擦功率損失和滾動摩擦功率損失組成，其中，滑動摩擦功率損失占主要部分[8]，所以斜齒輪的滑動摩擦功率損失可為目標函數(shù)一。

由文獻[9]可知，斜齒輪的滑動摩擦功率損失為：

(1)

(2)

(3)

式中：p—滑動摩擦功率損失；Fn—齒面法向載荷；f—嚙合摩擦系數(shù)，此處混合狀態(tài)下取0.04；mt—端面模數(shù)；i—齒輪傳動比。

同時有：α≤ε∑。其中：ε∑—重合度；α—取小于等于ε∑的正整數(shù)。

1.2.2 斜齒輪的總體積

由立體幾何知識可得，斜齒輪的總體積函數(shù)為：

(4)

為了使這兩個目標函數(shù)相互關聯(lián)，本研究通過加權的方式，使兩個目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個目標函數(shù)。其加權系數(shù)W1、W2分別表示為：

(5)

(6)

式中：Pmin—單目標最小滑動摩擦功率損失；Vmin—單目標最小體積。

通過線性加權處理后，得到的優(yōu)化目標為：

g=W1P+W2V

(7)

1.3 約束條件

(1)中心距約束：

(8)

(2)最小變位系數(shù)x約束：

x

(9)

式中：xmin—不發(fā)生根切時的最小變位系數(shù)。

齒輪速比約束為：

(10)

(3)重合度ε∑約束：

εα+εβ≥ε∑

(11)

式中：εα—端面重合度；εβ—軸向重合度。

(4)強度與耐久性約束：

斜齒輪的失效形式主要為齒根斷裂和齒面點蝕，需分別約束齒根彎曲強度與接觸疲勞強度。根據(jù)文獻[10]，可計算出符合要求的參數(shù)。

1.4 優(yōu)化方法及結(jié)果

遺傳算法是計算機對生物系統(tǒng)進行模擬的一種算法，其通過交叉、變異、選擇等選出最優(yōu)解。本次優(yōu)化通過遺傳算法求解。

優(yōu)化后斜齒輪宏觀變量參數(shù)優(yōu)化前后對比如表1所示。

表1 斜齒輪宏觀變量參數(shù)優(yōu)化前后對比

借助ROMAX軟件，仿真數(shù)據(jù)顯示斜齒輪嚙合功率損失為85 W，降低了33.3%；同時，斜齒輪質(zhì)量降低了0.058%，減速器的傳動效率由98.4%提升到98.6%。

2 KRIGING模型及增點準則

齒輪微觀參數(shù)與齒輪嚙合功率的損失之間是一種非線性關系，難以從理論上給出具體的解析式。為解決該問題，本文運用KRIGING算法，擬合齒輪微觀參數(shù)對齒輪嚙合功率的損失之間的關系，并求出最優(yōu)解。

故筆者先運用均方誤差(MSE)準則，來提高代理模型的精度，根據(jù)滿足精度要求的代理模型，來判斷齒輪微觀參數(shù)對齒輪嚙合功率的損失之間的關系，而后用期望改善(EI)準則來尋求最優(yōu)解。

2.1 KRIGING模型的基本原理

KRIGING是一種半?yún)?shù)化的擬合方法，包含參數(shù)化模型與非參數(shù)化模型，因此更具靈活性，可以通過已知信息來推導某點的未知信息。

給定m個參考點，其通式表達式為[11]：

(12)

式中：X—單一樣本點列向量；φ—線性回歸系數(shù)；f(X)—響應的數(shù)學期望；z(X)—被視作隨機過程的實現(xiàn)。

此處參數(shù)化模型部分選擇二次函數(shù)模型，故有：

(13)

式中：n—參數(shù)數(shù)量。

任意兩樣本點滿足：

cov[z(Xi),z(Xj)]=σ2R[R(Xi,Xj)],i,j=1,…,m

(14)

式中：R(Xi,Xj)—任意兩點間的空間相關函數(shù)。

相關函數(shù)模型常用的理論模型有3種，分別為：球形模型、高斯模型和指數(shù)模型?？臻g相關函數(shù)控制著KRIGING模型擬合的準確性，因為高斯模型可以描述高度連續(xù)的區(qū)域變量，且具有較好的精確性。

此處空間相關函數(shù)選擇高斯模型，其通常表達式為：

(15)

式中：θk—參數(shù)。

經(jīng)擬合值的最小化誤差均方差與無偏估計，擬合表達式可轉(zhuǎn)換為目標函數(shù)：

(16)

式中：rT(X)—含自變量的矩陣。

rT(X)={R(X,x1),R(X,x2),…,R(X,xn)}

(17)

(18)

φ=(FTR-1F)-1FTR-1F

(19)

(20)

(21)

式中：Y—樣本點的響應值列陣。

預測點處均方誤差(MSE)為：

(22)

式中：u=FTR-1r-f。

2.2 EI準則

EI是EGO(efficient global optimization)算法的核心，用來權衡局部搜索和全局搜索，但是往往忽略模型整體的精度，所以在運用MSE準則提高模型精度的前提下，運用EI準則對模型尋優(yōu)。

記fmin=minY為當前樣本點響應值的最小值，則任意點X處改善I為：

(23)

期望改善EI為：

(24)

(25)

式中：φ(·)—標準正態(tài)分布的分布函數(shù);σ(X)—點X處的預測值的標準差;φ(·)—標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)[12]。

2.3 模型優(yōu)化尋優(yōu)流程

本文依據(jù)MSE準則，來提高DACE中KRIGING代理模型的精度；當MSE達到一定收斂條件時，再用EI準則來尋優(yōu)得最優(yōu)解。

其具體步驟為：

Step1。通過拉丁超立方抽樣方法在樣本點空間選取初始樣本，通常樣本點數(shù)為變量維度的10倍；

Step2。根據(jù)樣本點及其響應值構建KRIGING模型；

Step3。對不同維變量進行格網(wǎng)劃分，并根據(jù)KRIGING模型預測格網(wǎng)劃分后點的響應值；

Step4。判斷該模型預測點的max(MSE)是否滿足要求。若不滿足，則確定max(MSE)及對應點，記錄該點并以該點及其響應值作為一個新的樣本點，然后重復Step2；若滿足要求，則進行EI收斂判斷；

Step5。若EI收斂，則輸出最優(yōu)解；若EI不收斂，則確定max(EI)及對應點，記錄該點并以該點及其響應值作為一個新的樣本點，然后重復Step2，直至達到收斂條件。

3 斜齒輪微觀參數(shù)的優(yōu)化

3.1 變量及范圍的確定

由式(1)可以看出，齒面接觸情況影響著斜齒輪嚙合功率。輪齒修形是改善齒面接觸情況的一種措施，因此，可把齒向修形和齒廓修形確定為斜齒輪微觀變量參數(shù)，齒向修形和齒廓修形均采用鼓形修形。

為簡化優(yōu)化過程，本次微觀參數(shù)優(yōu)化的對象為小齒輪輪齒修形。ROMAX軟件仿真顯示，優(yōu)化后減速器斜齒輪的嚙合錯位峰值為1.95 μm，故初定齒輪齒向鼓形修形為1.95 μm。

齒廓鼓形修形量σa可由下列公式計算[13]：

(26)

式中：ω1—單位長度載荷;Cy—平均嚙合剛度。

通過計算可得σa為4.55 μm。以上述輪齒修形初定量為基準值，在其上下3倍標準差區(qū)間內(nèi)尋優(yōu)。

標準差公式可近似由下列公式計算：

(27)

式中：Fp—齒距累積總公差。

(28)

式中：d—齒輪分度圓直徑。

計算得σ=3.29 μm。

3.2 目標函數(shù)

輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間是一種非線性關系，理論上難以給出其解析表達。為了更好地解決此問題，本文運用KRIGING這一具有“統(tǒng)計性”的近似技術，來數(shù)值模擬輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間的關系。故此處筆者以式(16)作為目標函數(shù)。

3.3 約束條件

由上文可知：

-7.92≤x2≤11.82,-6.32≤x2≤13.42

本次優(yōu)化可簡寫為：

s.t.-7.92≤x1≤11.82，-6.32≤x2≤13.42。

3.4 優(yōu)化方法及結(jié)果

本文中輪齒修形參數(shù)為齒向修形與齒廓修形，故n=2。通過拉丁超立方抽樣方法，選取10個樣本點。精確度要求為：max(MSE)<1，max(EI)<10-6。

在Matlab上，本研究編寫相應優(yōu)化程序，然后根據(jù)樣本點擬合模型。

選取的10個樣本點及其對應的響應值如表2所示。

表2 樣本點及其對應的響應值

經(jīng)過10次迭代后結(jié)束，擬合出KRIGING模型預測點的均方誤差如圖2所示。

圖2 KRIGING模型預測點的均方誤差曲面圖

由圖2可知，在整個尋優(yōu)區(qū)域內(nèi)，KRIGING模型預測均方誤差在0.5以下。

采用KRIGING模型，擬合出的輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關系如圖3所示。

圖3 輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關系擬合曲面圖

由圖3可知：

(1)在一定的誤差條件下，斜齒輪嚙合功率損失在所取輪齒修形范圍內(nèi)，隨齒廓鼓形修形量的增大而減??；

(2)同一齒廓鼓形修形量下，齒向鼓形修形量越趨近與零，斜齒輪嚙合功率損失越??；

(3)斜齒輪擬合功率損失的響應值對齒廓修形的敏感度大于對齒向修形的敏感度。

根據(jù)式(16)，以斜齒輪嚙合功率損失最小為優(yōu)化目標，在尋優(yōu)區(qū)域內(nèi)進行尋優(yōu)，其結(jié)果為：x1=0 μm、x2=13.42 μm；此時，減速器傳動效率為98.8%。

從圖3還可知，輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間的關系具有一定的趨勢，所以為了得到更好地優(yōu)化參數(shù)，可以對輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失的關系再次進行擬合。

根據(jù)圖3顯示的輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間的趨勢，此次設定變量優(yōu)化范圍為：-6 μm≤x1≤6 μm、10 μm≤x2≤70 μm。

根據(jù)上述抽樣方法，筆者抽取20樣本點及其響應值如表3所示。

表3 樣本點及其對應的響應值

再擬合精度要求和前次擬合中精度要求一樣。經(jīng)過5次迭代后結(jié)束，擬合出的輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關系如圖4所示。

圖4 輪齒修形與斜齒輪嚙合功率損失之間關系的擬合圖

由圖4可知：輪齒修形量與斜齒輪嚙合功率損失的關系和圖3顯示的一樣，但預測值隨著齒廓修形量的增大逐漸收斂。

接下來仍以斜齒輪嚙合功率損失最小為優(yōu)化目標，在尋優(yōu)區(qū)域內(nèi)進行尋優(yōu)，其結(jié)果顯示：x1=0.424 2 μm，x2=70 μm。

輪齒修形量如圖5所示。

圖5 輪齒修形曲面

此時，最優(yōu)解為27.85 W。輸入優(yōu)化后的齒輪修形量，ROMAX仿真數(shù)據(jù)顯示，齒輪嚙合功率損失大小為27.9 W，與預測點處的誤差僅為0.179%；減速器傳動效率為98.9%，整體傳動效率又提高了0.3%。

4 結(jié)束語

筆者運用遺傳算法對齒輪的宏觀參數(shù)進行優(yōu)化，運用KRIGING算法，擬合出齒輪的微觀參數(shù)與齒輪嚙合功率損失的關系，在保證精度的前提下運用EI準則尋找最優(yōu)解，減速器的傳動效率提高了0.2%，斜齒輪的質(zhì)量減輕了0.056%。

本研究利用KRIGING算法，及MSE和EI增點準則擬合輪齒修形參數(shù)與斜齒輪嚙合功率損失之間的關系，并進行了微觀參數(shù)尋優(yōu)，得到了最優(yōu)結(jié)果，減速器的傳動效率又提升了0.3%。

經(jīng)兩次優(yōu)化后，減速器傳動效率由98.4%提升至98.9%，總共提升了0.5%,驗證了這種優(yōu)化方法的可行性；同時，該方法可為以后全面提升減速器的傳動效率作參考。