劉文羿，何雪浤*，謝里陽，周振東

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819；2.江蘇東邁重工機械有限公司，江蘇 昆山 215334)

0 引 言

高空作業(yè)平臺是將工作人員及工作設(shè)備運送至指定位置的特種作業(yè)設(shè)備。該設(shè)備最初是由起重機械發(fā)展而來，由于需要載人作業(yè)，其安全性和可靠性有著更高的要求[1]。

變幅機構(gòu)是高空作業(yè)平臺的主要動作機構(gòu)，且該處的力學性質(zhì)，直接影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性及可靠性[2]。目前，高空作業(yè)平臺的變幅機構(gòu)大部分采用三鉸點機構(gòu)，其計算方法可以分為理論計算和仿真模擬兩種：

(1)理論計算。主要利用力矩平衡法，建立變幅機構(gòu)的力學模型，再利用該模型對鉸點位置進行優(yōu)化設(shè)計[3-4]；

(2)仿真模擬。主要利用ADAMS軟件來模擬變幅油缸的受力情況，并利用該結(jié)果，對鉸點位置進行優(yōu)化設(shè)計[5-6]。

六鉸點變幅機構(gòu)的力學模型和運動機理與傳統(tǒng)三鉸點機構(gòu)不同，但在研究方法上卻有相通之處。

本研究從理論計算的角度出發(fā)，對六鉸點變幅機構(gòu)液壓缸推力計算進行不同建模方法的比較。在原理的選擇上，力矩平衡法是靜力學的基礎(chǔ)，也是分析受力的主要手段；同時，虛位移原理也是一種解決機構(gòu)驅(qū)動力與外部載荷關(guān)系的有效方法[7]。

故此，本研究分別采用力矩平衡法、虛位移原理兩種基本思想進行求解，其中，由于在虛位移原理的應(yīng)用中，不同的子方法可能會產(chǎn)生不同的誤差[8]，本研究分別采用整體解析法和分點解析法進行求解計算；將上述方法所得結(jié)果代入某型號的直臂式高空作業(yè)平臺六鉸點變幅機構(gòu)中，進行計算，并比較結(jié)果。

1 高空作業(yè)平臺及其力學模型

高空作業(yè)平臺力學簡化模型如圖1所示。

圖1 高空作業(yè)車力學簡化模型

為了便于描述計算過程，現(xiàn)作出如下假設(shè)：

(1)在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，前后支撐板關(guān)于變幅油缸軸心線結(jié)構(gòu)完全對稱，且材質(zhì)均勻；

(2)前支撐板重心在DB連線上；

(3)點C、D、F、G3、H、K在同一直線上；

(4)忽略變幅液壓缸[9]，調(diào)平液壓缸及各個管線的重量。

2 力矩平衡法在模型中的應(yīng)用

力矩平衡是靜力學分析的基礎(chǔ)。平面任意力系平衡的必要充分條件是：力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個坐標軸上的投影的代數(shù)和等于0，以及各力對于平面內(nèi)任意點之間的力矩代數(shù)和等于0，具體可以表述如下[9]：

∑Fx=0，∑Fy=0,∑Mo(F)=0

(1)

式中：Fx—x方向上的合力；Fy—y方向上的合力；Mo—力對任一點的力矩。

對于六鉸點變幅機構(gòu)，由于其下端與臂架的連接點數(shù)量為3個，屬于超靜定問題，不能直接對變幅油缸所受推力列出力矩平衡方程，故需要對模型進行拆分，先從整體入手，求出下端固定點支座反力的受力情況，再利用下端支座反力的受力情況，推導出變幅油缸的受力情況。

支座反力的求解如下：

將臂架、工作平臺、前支撐板、后支撐板看作一個整體系統(tǒng)，該系統(tǒng)的重力由點A和點B支撐；其主動力的力臂為各部件重心與所選取點的水平距離，主動力為各部件重力；與之平衡的力為點A和點B處的支座反力。

各部件間的幾何位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 力矩平衡法中的幾何位置關(guān)系

對點B列總體的力矩平衡方程，可得：

FAy×l1+FAx×l2+g1×(l1+l3)+g2×l4-g3×l5-g4×(l6+l7)=0

(2)

式中：FAy—A點在y方向上的支座反力；FAx—A點在x方向上的支座反力；l1—點A和點B在x方向上的距離長度；l2—點A和點B在y方向上的距離長度；l3—點A和點G1在x方向上的距離長度；l4—點G2和點B在x方向上的距離長度；l5—點G3和點B在x方向上的距離長度；l6—點K和點B在x方向上的距離長度；l7—點G4和點K在x方向上的距離長度；g1—后支撐板的重力；g2—前支撐板的重力；g3—臂架的重力；g4—前支撐板的重力。

在后支撐板上，對點C列關(guān)于后支撐板的力矩平衡方程，可得：

-FAx×l8+FAy×l9+g1×(l9-l3)=0

(3)

式中：l8—點A和點C在y方向上的距離長度；l9—點A和點C在x方向上的距離長度。

由于式(2，3)中僅含F(xiàn)Ax和FAy兩個未知量，通過聯(lián)立式(2，3)，即可解出FAx和FAy。

已知A點受力情況，根據(jù)力的平衡原理，可得出B點受力情況，即：

(4)

式中：FBy—B點在y方向上的支座反力；FBx—B點在x方向上的支座反力。

在前支撐板上，對點D列關(guān)于前支撐板的力矩平衡方程，可得：

F1×l10+g2×l12-FBy×(l12+l4)+FBx×l11=0

(5)

式中：l10—點D距離直線EF的距離長度；l11—點D和點B在y方向上的距離長度；l12—點D和點G2在x方向上的距離長度。

通過求解方程(5)，可得變幅油缸所受推力的最終表達式為：

(6)

式中：F1—利用力矩平衡法所求的變幅油缸所受推力大小。

3 虛位移原理在模型中的應(yīng)用

虛位移原理也稱為虛功原理，與力矩平衡不同，它是從能量的角度來考慮問題。其定義為：使具有理想約束的質(zhì)點系，在某一位置處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件為所有作用于質(zhì)點系的主動力，在該位置的任何虛位移中所作的虛功之和等于0。

虛位移原理的數(shù)學表達式[10]如下：

∑δWF=∑Fi×δri=0

(7)

式中：δWF—主動力所作虛功；Fi—主動力大?。沪膔i—主動力所對應(yīng)的虛位移大小。

對于高空作業(yè)平臺的六鉸點變幅機構(gòu)來說，其虛功由重力所做虛功，調(diào)平油缸所做虛功和變幅油缸所做虛功共同組成。其中，調(diào)平油缸和變幅油缸所做虛功為液壓缸推力大小與液壓缸長度虛位移的乘積；重力所做虛功為重力大小與重心在豎直方向上虛位移的乘積。

后文將利用不同的方法，求解各個部分所做虛功，最終將其統(tǒng)一成一系列關(guān)于變幅角度α1的表達式，再進行求解。

3.1 調(diào)平油缸所做虛功

調(diào)平油缸的受力分析如圖3所示。

圖3 調(diào)平油缸受力分析圖

調(diào)平油缸受力由力矩平衡法得出，即：

lHK×sinα2×Ftp-g4×lKG4=0

(8)

式中：Ftp—調(diào)平所受壓力；α2—直線HJ與直線HK所夾銳角。

為了方便后續(xù)對比，對調(diào)平油缸虛位移的計算均采用幾何法，其幾何關(guān)系表達式為：

(9)

式中：α4—直線KJ與直線HK所夾銳角。

在虛位移上對變幅角度α1求變分，可得調(diào)平油缸所做虛功為：

(10)

3.2 重力所做虛功

本文中，由于重力大小已知，只需求出重心在豎直方向上的虛位移，即可求出重力所做的虛功。由于其幾何關(guān)系的復雜性，該處采用解析法求解各部件的重力虛功。先求解各部件重心高度的表達式，再對其求關(guān)于變幅角度α1的變分，最終形成一系列統(tǒng)一的關(guān)于變幅角度α1的表達式。

各部件重心的垂直高度如圖4所示。

圖4 各部件重心的垂直高度圖

各部件重心點在Y方向(即垂直高度)上的表達式為：

(11)

式中：α5—直線CA與x軸所夾鈍角；α6—直線DB與x軸所夾鈍角。

各角度間的幾何關(guān)系如圖5所示。

圖5 各角度間的幾何關(guān)系圖

各個角度和長度之間的幾何關(guān)系為：

(12)

式中：α7—直線BD與直線CF所夾銳角；α8—直線CB與x軸所夾鈍角；α9—直線CB與直線DB所夾銳角；α10—直線CA與直線AB所夾銳角。

在各部件重心高度虛位移上，對變幅角度α1求變分，則各部分重力所做虛功如下：

(1)后支撐板所做虛功為：

(13)

(2)前支撐板所做虛功為：

(14)

(3)臂架所做虛功為：

(15)

(4)工作平臺所做虛功為：

(16)

3.3 變幅油缸所做虛功

變幅油缸受力大小為最終所求的未知量。變幅油缸虛位移表達式的求解思路為：先列出變幅油缸E、F兩鉸點的坐標表達式，再分別采用整體解析法和分點解析法進行求解。其中，E、F兩點的坐標表達式如下：

(17)

式中：α11—直線EB與x軸所夾鈍角。

3.3.1 整體解析法

整體解析法是將變幅液壓缸長度的虛位移看做變幅油缸的虛位移，在這種情況下，不論機構(gòu)處于何種狀態(tài)，變幅油缸的推力方向永遠沿著變幅油缸的長度方向。

變幅油缸長度lEF的表達式如下：

(18)

因此，在采用整體解析法求解時，變幅油缸所做的虛功為：

(19)

式中：F2—利用整體解析法所求的變幅油缸所受推力大小。

3.3.2 分點解析法

分點解析法是將變幅油缸E、F兩鉸點的位移看做變幅油缸的虛位移，并將變幅油缸受力分解為沿x方向的受力F3x和沿y方向的受力F3y，分別求解分解后的受力沿其坐標點虛位移所做的虛功。

變幅油缸沿x方向所分解的力F3x和沿y方向所分解的力F3y的表達式為：

(20)

式中：α12—直線EF與x軸所夾銳角；

式中α12由下式中的幾何關(guān)系求得：

(21)

式中：α13—直線CD與直線ED所夾鈍角；α14—直線ED與直線EF所夾銳角。

故此，采用分點解析法時，變幅油缸所做虛功為：

(22)

式中：F2—利用分點解析法所求的變幅油缸所受推力大小。

3.4 總體虛功方程

由式(7)可知，當機構(gòu)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，所有主動力所做虛功的代數(shù)和應(yīng)為0。故此，整理上述各部分虛功公式，可得到總體虛功方程。

具體為：

(1)采用整體解析法時，總體虛功方程為：

Ftp×δlJH+g1×δYG1+g2×δYG2+g3×δYG3+g4×δYG4-F2×δlEF=0

(23)

(2)采用分點解析法時，總體虛功方程為：

Ftp×δlJH+g1×δYG1+g2×δYG2+g3×δYG3+g4×δYG4-F3y×δYE-F3x×δXE+F3y×δYF+F3x×δXF=0

(24)

通過求解可得，采用整體解析法時，變幅油缸受力表達式為：

F2=

(25)

采用分點解析法時，變幅油缸受力表達式為：

F3=

(26)

4 應(yīng)用實例

某直臂式高空作業(yè)平臺變幅角度范圍為-10°～+75°，該工作平臺具體尺寸參數(shù)如表1所示。

將表1尺寸參數(shù)分別代入到上述3種方法所求得的變幅油缸推力表達式中，即式(6，25，26)，利用Matlab軟件進行求解，最終繪制出3條變幅油缸推力隨變幅角度變化的曲線。

表1 某直臂式高空作業(yè)平臺尺寸

3種算法的對比結(jié)果如圖6所示。

圖6 3種算法結(jié)果對比圖

從圖6中可以看出：3種方法的計算結(jié)果變化趨勢一致，但數(shù)值不盡相同。力矩平衡法、整體解析法、分點解析法所求得的推力最大值均在變幅角度為-10°時產(chǎn)生，其值分別為239 064.3 N，170 526.4 N，178 262.1 N。其中，利用力矩平衡法求得的結(jié)果大于其他兩種方法；整體解析法的結(jié)果在變幅角度為-10°～+22°的范圍內(nèi)大于分點解析法，其余角度均小于分點解析法。

3種方法誤差產(chǎn)生的原因分析如下：

(1)分點解析法的主要誤差是其沒有考慮到F3x和F3y在虛位移計算時的變化趨勢。由于虛位移原理的本質(zhì)是力在下一個微元上的無窮小移動，一般地，主動力只在其線性運動趨勢上產(chǎn)生虛位移。而在本文中，F(xiàn)3x和F3y并不僅在其橫向和縱向兩個線性方向上形成運動趨勢，其同時也隨變幅動作對鉸點E有一個轉(zhuǎn)動的運動趨勢。即這里不應(yīng)簡單地把F3x和F3y看成定值，這兩個力也應(yīng)該是一種包含函數(shù)關(guān)系的變化量；

(2)整體解析法的主要誤差是其沒有考慮角度變化的影響。該模型在動作時，變幅油缸不僅存在線性位移，還存在著角度變化；整體解析法雖然避開了由分解變幅油缸推力所帶來的微分誤差，但是卻沒有解決角度變化所帶來的影響；

(3)力矩平衡法的主要誤差來自于方法本身的前提假設(shè)，即假設(shè)整個機構(gòu)處于靜止或勻速運動狀態(tài)。但是六鉸點變幅機構(gòu)在運動過程中，瞬心始終在不斷地變化，因此，整個機構(gòu)很難始終保持勻速的運動狀態(tài)。

5 結(jié)束語

本文分別利用分點解析法、整體解析法、力矩平衡法，求解推導了六鉸點變幅機構(gòu)變幅油缸的受力表達式；將推導結(jié)果代入某高空作業(yè)平臺的六鉸點變幅機構(gòu)中，分別進行了計算。

本文對最終得到的結(jié)果分析如下：

(1)3種計算方法均有著自身的理論依據(jù)，從結(jié)果變化趨勢可以看出，各方法間的相對偏差來自于各方法所忽略的不同誤差因素；

(2)對各誤差因素產(chǎn)生的原因及應(yīng)用場合進行推廣分析，可得出一般性結(jié)論，即當虛位移原理應(yīng)用于主動力存在角度變化趨勢的情況時，整體解析法會由于角度變化的影響而產(chǎn)生計算誤差；在分點解析法的應(yīng)用中，如果其主動力的分解函數(shù)中存在關(guān)于變分變量的函數(shù)關(guān)系，那么該方法就會由于這種函數(shù)關(guān)系而產(chǎn)生計算誤差；力矩平衡法由于其前提假的限制，故其在瞬心變化的運動機構(gòu)受力求解中，也會存在著計算誤差；

(3)該結(jié)論也可推廣應(yīng)用于其他變幅機構(gòu)的受力分析中。

綜上所述，3種方法均存在著自身的計算誤差。在實際的工程應(yīng)用中，如果機構(gòu)存在上述提及的誤差因素，則有必要同時利用3種方法分別進行計算，并取結(jié)果中的最大值，以此保障安全。具體地，在該算例中應(yīng)采納計算結(jié)果較大的力矩平衡法。