胡 鑫 ，車欣原

（1. 云南省水文水資源局曲靖分局，云南 曲靖 655000；2. 云南大學經濟學院，云南 昆明 650500）

0 引言

降水中長期預測無論在水文學還是氣象學中，都是一項非常重要的工作。權馬爾可夫鏈預測模型算法簡單，思路清晰，能夠確定研究序列的狀態(tài)及具體值，在徑流、降水、城市需水、水質定量等預測中都得到了廣泛應用。近年來，眾多學者在應用馬爾可夫鏈模型預測降水、需水等方面開展了大量研究。王濤等[1]建立了適用于銀川地區(qū)年降雨量的加權馬爾可夫鏈預測模型，并采用平穩(wěn)分布估計年降雨量各狀態(tài)的重現期；岳遙等[2]將模糊集理論中級別特征值的概念引入馬爾可夫模型，提出基于投影距離的方法進行水質定量預測；韓璞璞等[3]采用權馬爾可夫鏈模型預測廬江縣降水量，為進一步研究該區(qū)域降水時空分布規(guī)律、變化趨勢、城市防洪等提供了依據；張茜等[4]應用無偏灰色馬爾可夫鏈模型對吉林省降雨量進行預測，根據預報結果討論歷史波動性與預報精度的關系；楊皓翔等[5]建立加權灰色馬爾可夫 GM（1，1）模型預測城市需水量，提高了修正灰色模型預測值的精度并拓寬了傳統灰色模型預測的應用范圍。

曲靖市地處長江、珠江流域的分水嶺地帶，山高谷深，河網發(fā)育，冬春干旱少雨，夏秋濕潤多雨，多年平均降水量為 1 068.7 mm。降水時空分布不均，5—10 月降水占全年降水的 85% 左右。北部年際變化比南部大，西部比東部大，越是小的河谷和壩區(qū)，豐枯年間的降水差異越大。由于降水影響因素的復雜性和多樣性，降水過程通常呈現較大的不確定性和隨機性，而馬爾可夫鏈比較適合預測波動較大的隨機過程。為此，本研究選取曲靖市 1976—2017 年共 42 a 降水量實測資料為數據樣本，通過建立權馬爾可夫鏈模型預測降水狀態(tài)，大量的分析、計算過程則通過 SPSS Statistics 統計軟件加以實現，操作較為簡便。因降水過程的隨機性和不確定性，給通過數學模擬的方法準確預測降水量帶來一定的難度，傳統的馬爾可夫模型通常只能預測出未來某時段降水量的適當變化區(qū)間。針對這一不足，本研究在權馬爾可夫鏈模型預測各降水量狀態(tài)（定性預報）的基礎上，引入模糊集理論中的級別特征值對 2016—2018 年降水量進行定量預測。

1 權馬爾可夫鏈預測原理及方法

1.1 馬爾可夫鏈的定義

無后效性是馬爾可夫過程最為重要、基本的特征，已知“現在”“將來”與“過去”是獨立的，這一特性被稱為馬爾可夫過程的“無后效”。具有離散時間和狀態(tài)的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈[6-7]。對于時間 t，若定義在概率空間上的隨機過程 {X (t)，t ∈T} 滿足以下條件：

1）時間集合取非負整數集 T ={0，1，2，…}，對應于每個時刻，狀態(tài)空間是離散集，記作 E ={0，1，2，…}，即 X (t) 是時間、狀態(tài)離散的。

2）對任意正整數 l，m（轉移時刻），k，任意非負整數 jl> … > j2> j1，（m > jl）與相應的狀態(tài) im+k，im，ijl，…，ij2，ij1，下式成立：

則稱 {X (t)，t∈T } 為馬氏鏈。這里要求式 (1) 的左端有意義，也就是說：P{X (m) = im，X ( j 1) = ijl，…，X ( j 2) = ij2，X ( j 1) = ij1} > 0。

在實踐中，通常會考慮到齊次馬爾可夫鏈，也就是說，任意的 k，n∈ N+，有

式中：Pij(n，k) 代表階段 n 從狀態(tài) i 通過 k 步轉變到狀態(tài) j 的概率；Pij(k) 代表通過 k 步從狀態(tài) i 向狀態(tài) j 轉移的概率。齊次馬爾可夫鏈 {X (t)} 由其初始分布 P (i0) = P{X0= i0} 及狀態(tài)轉移概率 {Pij(k) = P{X (m + k) = j |X (m) = i}，(i，j∈E )，所構成的矩陣決定[8]。P (i0) 為馬爾可夫鏈的初始分布概率，且 0 ≤P (i0) ≤ 1，i0∈E。

1.2 權馬爾可夫鏈預測的思想

為充分達到合理利用信息進行預測的目的，可根據降水量為相依的隨機變量這一性質，用自相關系數定量預測其相依關系的強弱。首先采用均值-標準差分級法劃分降水的豐枯變化區(qū)間，然后對自相關系數進行規(guī)范化處理后作為權重，再加權馬爾可夫鏈模型用于預測降水狀態(tài)。在此基礎上，通過模糊集理論中的級別特征值推測降水量的值。

1.3 權馬爾可夫鏈模型的建立及預測步驟

權馬爾可夫鏈模型的建立及預測步驟如下：

1）步驟 1。根據樣本系列計算樣本均值 x 和標準差 S，公式如下：

假設指標值序列為 x1，x2，…，xn，xi為第 i 時段指標值，以樣本均方差為標準建立指標值序列的分級標準。實際應用中，指標值的變化范圍常常為（-∞，- α1S），[- α1S，- α2S），[- α2S，+ α2S），[+ α2S，+ α1S），[x + α1S，+ ∞），其中，α1，α2分別為信度值的上限和下限，α1可在 [1.0，1.5] 中取值，α2可在 [0.3，0.6] 中取值。

2）步驟 2。根據步驟 1 所定的分類標準，確定數據序列中每一時段與指標值對應的狀況。

3）步驟 3。每個階的自相關系數 rk（k ∈E）計算如下：

式中：rk是 k 階的自相關系數；n 是指標值系列長度。4）步驟 4。對各階自相關系數標準化，即

式中：wk為不同滯時馬爾可夫鏈權重；m 為預測需要計算到的最大階數。

5）步驟 5。根據步驟 2 取得的成果，計算不同滯時馬爾可夫鏈轉移概率矩陣。

6）步驟 6。分別以若干時段的指標值為初始狀態(tài)，結合相應的各階狀態(tài)轉移概率矩陣，即可預測出該時段指標值的狀態(tài)概率Pi(k)，i∈E，k 為滯時（步長），k =1，2，…，m。

7）步驟 7。對同一狀態(tài)的各預測概率進行加權和作為指標值的狀態(tài)預測概率 Pi，即

Pi,max所對應的 i 是該時段指標值的預測狀態(tài)。具體的降水量使用模糊級理論的級別特征值計算，并與實測值進行比較。

2 模糊級理論中的級別特征值

給各個狀態(tài)賦予相應權重，則構成權重集 D ={d1，d2，d3，d4，d5}，權重取決于各狀態(tài)概率的大小，也就是說

式中：η 對應于最大作用概率系數，通常為 2 或 4。定義級別特征值 H 計算如下：

若根據最大概率確定的狀態(tài)為 i，且 H ＞ i，則預報值為 TiH/(i + 0.5)；如果 H ＜ i，則預報值為 BiH/(i - 0.5)。狀態(tài) i 區(qū)間值的上限和下限分別為Ti，Bi。

3 實例應用

選取云南省曲靖市水文水資源局具有代表性的76 個雨量站 1976—2017 年共 42 a 實測降水數據序列，通過加權馬爾可夫鏈模型進行分析和預測，說明方法的具體應用。圖 1 為應用權馬爾可夫鏈模型預測降水量的流程。

圖 1 權馬爾可夫鏈模型結合級別特征值預測降水量流程

3.1 計算降水量序列的均值及標準差

假設降水量序列為 x1，x2，…，xn，xi為第 i 時段降水量，n 為降水系列的長度，曲靖市 1976—2017 年降水量資料如表 1 所示。根據表 1 中數據計算的年降水量序列的均值 x 和標準差 S 分別為

3.2 進行降水序列的分級

取 α1= 1.1，α2= 0.5，采用樣本均值-標準差分級法將曲靖市降水量劃分為枯水年、偏枯年、正常年、偏豐年、豐水年 5 個等級，對應的狀態(tài)為 1～5，據此，年降水量的分類標準如表 2 所示。依據表 2 分級標準，確定 1976—2017 年降水序列內降水量對應的狀態(tài)，狀態(tài)計入表 1 中。

3.3 計算不同滯時的馬爾可夫鏈狀態(tài)轉移概率矩陣

根據表 2 所示的年降水量狀態(tài)序列，統計一步轉移頻率 F 如下：

表 1 曲靖市 1976—2017 年降水量序列及其狀態(tài)表

表 2 年降水量分級表

式中：fij為從狀態(tài) i 經一步轉移到狀態(tài) j 的頻率。而轉移概率為

式中：Pij(k) 代表通過 k 步從狀態(tài) i 向狀態(tài) j 轉移的概率。故可得到各種步長（1～5 階）的轉移概率矩陣分別如下：

3.4 計算研究序列各階自相關系數及其權重

本次研究選取的樣本為曲靖市 1976—2017 年共 42 a 實測降水數據序列，為計算研究序列的自相關系數，需把 xi變換成 pi，令 pi= xi- x，其中 x = 983.7 mm，計算得到的 pi的具體值如表 3 所示。

式 (5) 可變換成以下公式：

式中：n 為降水系列的個數，取 n = 42；k =1，2，…，5。

按照式 (12) 計算的 1～5 階自相關系數如下 ：

根據式 (6) 對自相關系數進行規(guī)范化處理（計算權重），則0.474 = 0.241，同理，可計算得到 w2= 0.251，w3= 0.044，w4= 0.177，w5= 0.288。各階自相關系數及其權重結果如表 4 所示。

3.5 預測 2016—2018 年降水量

根據 2011—2015 年降水量及相應的狀態(tài)轉移概率矩陣，采用 1～5 階權重系數分析和預測曲靖市2016 年降水量，結果如表 5 所示。

表 3 曲靖市 1976—2017 年降水序列樣本數據

表 5 曲靖市 2016 年年降水量預測表

由表 5 可知，Pi,max= 0.408，此時 i = 5，即 2016 年降水量的預測狀態(tài)為 5，屬豐水年（xi≥1 136.6 mm）。根據模糊級理論，當 η = 2 時，級別特征值為 4.20，可求出 2016 年降水量為 1 060.8 mm，據曲靖市水文水資源局實測數據，2016 年實際降水量為 1 099.7 mm，預測值與實測值相對誤差為 3.54%；當 η = 4 時，級別特征值為 4.78，可求出年降水量為 1 207.3 mm，相對誤差為 -9.78%。

根據 2012—2016 年降水量及相應的狀態(tài)轉移概率矩陣，采用 1～5 階權重系數分析和預測曲靖市2017 年降水量，結果如表 6 所示。

表 6 曲靖市 2017 年年降水量預測表

由表 6 可知，Pi,max= 0.364，此時 i =3，即 2017 年降水量的預測狀態(tài)為 3，年降水量區(qū)間為 [914.1，1 053.2）mm。根據模糊級理論，當 η = 2 時，級別特征值為 2.98，可求出年降水量為 1 089.6 mm，據曲靖市水文水資源局實測數據，2017 年實際降水量為 1 173.7 mm，預測值與實測值相對誤差為 7.16%；當 η = 4 時，級別特征值為 2.99，可求出年降水量為 1 093.3 mm，相對誤差為 6.85%。

根據 2013—2017 年降水量及其相應的狀態(tài)轉移概率矩陣，采用 1～5 階權重系數分析和預測曲靖市 2018 年降水量，結果如表 7 所示。

表 7 曲靖市 2018 年年降水量預測表

由表 7 可知，Pi,max= 0.458，此時 i =3，即 2018 年降水量的預測狀態(tài)為 3，年降水量區(qū)間為 [914.1，1 053.2）mm。根據模糊級理論，當 η = 2 時，級別特征值為 3.30，可計算出 2018 年降水量為 993.0 mm，據曲靖市水文水資源局實測數據，2018 年實際降水量為 1 083.8 mm，預測值與實測值相對誤差為 8.38%；當 η = 4 時，級別特征值為 3.12，可求出年降水量為 938.9 mm，相對誤差為 13.4%。

根據計算結果，對 2016，2017，2018 年降水量實測值與預測值進行誤差分析，分析結果如表 8 所示。當 η = 2 時，根據模糊集理論計算出的年降水量相對誤差為 3.54%～8.38%；η = 4 時，相對誤差為 -9.78%～13.4%。按照 GB/T 22482—2008 《水文情報預報規(guī)范》，許可誤差是依據預報成果的使用要求和實際預報技術水平等綜合確定的誤差允許范圍，降水預報以實測降水量的 20% 作為許可誤差。本次計算的降水量預測值與實測值誤差在 20% 以內，符合《水文情報預報規(guī)范》規(guī)定的誤差值要求。其成功地將馬爾可夫鏈與相關分析結合起來進行預測，方法思路清晰，計算簡便，具有一定的實用價值，可為進一步提高中長期降水量預測精度提供探索途徑。

因資料和篇幅所限，本次未涉及馬爾可夫鏈遍歷性定理方面的深入研究，未采用其他方法和模型對預測結果作進一步的對比和驗證。鑒于中長期預報的復雜性，今后隨著資料的逐步累積和代表性增強，將在以下 2 個方面加以探討和研究：1）應用馬爾可夫鏈的遍歷性定理研究序列的極限分布，進一步深入分析降水量的分布特征和狀態(tài)重現期；2）采用非平穩(wěn)序列逐步回歸分析或水文耦合模型與數理統計相結合等多種方法，對未來降水、徑流規(guī)律進行分析研究，以期為研究該區(qū)域降水規(guī)律和變化趨勢、城市防洪、水資源、水生態(tài)調度等提供依據和參考。

表 8 2016—2018 年曲靖市降水量實測值與 預測值相對誤差分析表

4 結語

本研究采用加權馬爾可夫鏈模型對曲靖市（2016—2018 年）近 3 a 降水量進行分析預測并驗證了模型的可靠性。研究結果表明：預測值與實測結果基本吻合，且相對誤差在 20% 以內，應用馬爾可夫鏈模型并結合模糊集理論定量預測降水量具有較高的可靠性，將此方法應用于降水量預測是可行、有效的。

本研究提出的權馬爾可夫鏈預測方法，應用樣本均值-標準差分級法確定分級標準，可以更充分地考慮降水量序列的數據結構，使劃分的降水量區(qū)間（分級標準）更為合理；用各種步長的馬爾可夫鏈加權預測降水，可以更充分、合理地利用信息，使