張漢元張漢營梁澤宇

(1.山東建筑大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，山東 濟(jì)南250101；2.山東建筑大學(xué) 熱能工程學(xué)院，山東 濟(jì)南250101)

0 引言

近年來，工業(yè)生產(chǎn)更加倚重能夠生產(chǎn)小批量、高附加值產(chǎn)品的間歇過程。 高效可靠的故障檢測(cè)對(duì)保證間歇過程的生產(chǎn)安全起著至關(guān)重要的作用。 基于在間歇過程中采集和存儲(chǔ)的大量過程數(shù)據(jù)，以多路主元分析 MPCA (Multiway Principal Component Analysis)為典型代表的基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的監(jiān)控方法得到了廣泛的研究和應(yīng)用[1]。 由于間歇過程具有非線性特征，劉世成等[2]在提出的多向核主元分析中利用非線性核函數(shù)提取過程數(shù)據(jù)的非線性信息。 為了在監(jiān)控時(shí)利用間歇過程的高階統(tǒng)計(jì)量信息，謝曉慶等[3]提出基于核獨(dú)立元分析的方法應(yīng)對(duì)過程數(shù)據(jù)的非高斯特征。 由于設(shè)備溫度漂移和營養(yǎng)物質(zhì)減少等操作條件的變化，間歇過程在一個(gè)生產(chǎn)批次中動(dòng)態(tài)地從一個(gè)操作狀態(tài)變化到另一個(gè)操作狀態(tài)。 針對(duì)間歇過程的動(dòng)態(tài)特性，翟坤等[4]利用先前的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)當(dāng)前的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行維度擴(kuò)展，提出了一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)核主元分析算法監(jiān)測(cè)間歇過程的故障。考慮主元得分向量的動(dòng)態(tài)特性，齊詠生[5]在提出的改進(jìn)的MPCA 方法中釆用隨時(shí)間變化的主元協(xié)方差計(jì)算HotellingT2統(tǒng)計(jì)量。 為了提高動(dòng)態(tài)間歇過程中微弱故障的檢測(cè)率，Wang 等[6]討論了多模型單一動(dòng)態(tài)核主元分析 KPCA ( Kernel Principal Component Analysis)方法處理間歇過程的時(shí)變動(dòng)態(tài)特性和多階段特性。 然而，這些基于動(dòng)態(tài)PCA 和動(dòng)態(tài)偏最小二乘PLS(Partial Least Squares)的監(jiān)控方法不能從測(cè)量數(shù)據(jù)中提取導(dǎo)致間歇過程動(dòng)態(tài)時(shí)變的潛在驅(qū)動(dòng)力，從而不能充分提取間歇過程的時(shí)變動(dòng)態(tài)特性[7]。

慢特征分析SFA(Slow Feature Analysis)作為一種不變量特征學(xué)習(xí)新方法，能夠從變化較快的時(shí)間序列中提取出變化緩慢的特征信息作為時(shí)變信號(hào)的不變特征[8]。 為了實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)監(jiān)控復(fù)雜動(dòng)態(tài)工業(yè)過程，Shang 等[7]研究了一種基于遞歸SFA 的故障檢測(cè)策略，通過不斷更新SFA 模型改善對(duì)過程的監(jiān)控效果。 針對(duì)過程數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)特性和噪聲干擾問題，蔣昕祎等[9]提出了一種基于SFA 與數(shù)據(jù)重構(gòu)的軟測(cè)量建模方法。 考慮到間歇過程的時(shí)變動(dòng)態(tài)特性，Zhang 等[10]討論了一種新的基于SFA 的方法，可以同時(shí)監(jiān)控正常操作條件變化導(dǎo)致的偏移和真實(shí)故障引起的動(dòng)態(tài)特性異常。 SFA 具有從動(dòng)態(tài)時(shí)變的輸入數(shù)據(jù)中提取出變化緩慢的慢特征信息的能力，能夠表征導(dǎo)致過程動(dòng)態(tài)時(shí)變的潛在驅(qū)動(dòng)力。 因此，基于SFA 的監(jiān)控方法相比傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)監(jiān)控方法，在提取間歇過程的時(shí)變動(dòng)態(tài)特性上具有更大的優(yōu)勢(shì)。

針對(duì)間歇過程的非線性和時(shí)變動(dòng)態(tài)特性，文章將核慢特征分析 KSFA ( Kernel Slow Feature Analysis)應(yīng)用于監(jiān)控間歇過程，并將全局保持結(jié)構(gòu)分析的思想融入到KSFA 中，提出了一種基于改進(jìn)核慢特征分析IKSFA(Improved Kernel Slow Feature Analysis)的故障檢測(cè)算法，能夠更加充分地提取間歇過程的動(dòng)態(tài)時(shí)變特征，改善間歇過程的故障檢測(cè)性能。 以青霉素發(fā)酵過程為仿真對(duì)象驗(yàn)證了所提出的間歇過程故障檢測(cè)方法的有效性。

1 基于核慢特征分析的間歇過程故障檢測(cè)算法介紹

不同于連續(xù)過程統(tǒng)計(jì)建模方法，間歇過程用于建模的訓(xùn)練數(shù)據(jù)通常是一個(gè)三維的數(shù)據(jù)矩陣X(I × J ×K) ，其中I為訓(xùn)練集中的批次數(shù)；J為一個(gè)批次中的過程變量數(shù)；K為一個(gè)批次中總的采樣點(diǎn)數(shù)。 因此，KSFA 方法不能直接應(yīng)用于間歇過程的統(tǒng)計(jì)建模，需要采用兩步多路數(shù)據(jù)展開技術(shù)，將三維訓(xùn)練數(shù)據(jù)展開成一個(gè)兩維的數(shù)據(jù)矩陣。 第一步是按批次方向展開，將三維矩陣X(I×J×K)展開成二維矩陣X(I×KJ)，在每個(gè)采樣時(shí)刻上沿著每個(gè)變量對(duì)二維矩陣X(I ×KJ) 進(jìn)行零均值和單位方差歸一化處理。 第二步是按變量方向的重新排列，將數(shù)據(jù)矩陣X(I × KJ) 重新排列成一個(gè)新的按變量方向展開的二維矩陣X(IK ×J) 。 兩步多路數(shù)據(jù)展開過程如圖1 所示。

圖1 兩步多路數(shù)據(jù)展開過程示意圖

在圖1 中，數(shù)據(jù)矩陣X(IK × J) 由一系列的時(shí)間切片矩陣Xk(I ×J)，k ＝1，2，…，K組成，破壞了矩陣X(IK × J) 中的時(shí)間序列結(jié)構(gòu)信息。 在KSFA 建模時(shí)，需要構(gòu)造偽時(shí)間序列以提供時(shí)間序列結(jié)構(gòu)信息。 在離散數(shù)據(jù)中，通常根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的近鄰信息產(chǎn)生偽時(shí)間序列[11-12]。 用xk(i) 表示時(shí)間切片矩陣Xk(I × J) 中的第i個(gè)樣本點(diǎn)，用xj k(i)，k ＝1，2，…，

K；j ＝1，2，…；l表示在對(duì)應(yīng)的時(shí)間切片矩陣Xk(I ×J) 中xk(i) 的l個(gè)近鄰點(diǎn)。 其中，相對(duì)于樣本點(diǎn)xk(i) 的偽時(shí)間序列由式(1)表示為

更進(jìn)一步，時(shí)間切片矩陣Xk(I ×J) 的偽時(shí)間序列矩陣構(gòu)造由式(2)表示為

以此類推，矩陣X(IK × J) 就被擴(kuò)展成一個(gè)偽時(shí)間序列矩陣T(2IKl × J) ，由式(3)表示為

對(duì)于1 ≤i≤IKl，將偽時(shí)間序列矩陣T中的第2i-1和2i個(gè)樣本點(diǎn)分別表示為τ(2i-1) 和τ(2i) 。因此，在樣本點(diǎn)τ(2i -1) 和τ(2i) 之間，可以認(rèn)為存在時(shí)間變化。 假定非線性映射函數(shù)φ(·) 將矩陣T和X變換成高維特征空間中的矩陣φ(X) 和φ(T) ， 分別表示為Xφ和Tφ，KSFA 的最優(yōu)化問題由式(4)表示為

式中:IKl ＝I × K × l；τφ(2i)＝φ(τ(2i)) ；τφ(2i -

1)＝φ(τ(2i -1)) ；xφ(i)＝φ(x(i)) 。

由于向量wj是φ(x(i)) 的線性組合，存在常數(shù)向量αj，使向量wj進(jìn)一步由式(5)表示為

式中:αij為向量αj的第i個(gè)元素。

將式(5)帶入式(4)中，JKSFA可由式(6)表示為

式中:核向量k2i ＝Xφ τφ(2i) 、k2i-1＝Xφ τφ(2i -1) ，并且核矩陣K ＝Xφ XTφ。

求解式(6)的最優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為式(7)中的廣義特征值分解問題。

基于式(7)的求解，就能夠建立基于KSFA 的間歇過程統(tǒng)計(jì)監(jiān)控模型。

2 基于改進(jìn)核慢特征分析的間歇過程故障檢測(cè)算法介紹

將KSFA 應(yīng)用于間歇過程的建模數(shù)據(jù)時(shí)，KSFA的最優(yōu)化目標(biāo)是最小化輸出信號(hào)的時(shí)間變化。 由于間歇過程輸入數(shù)據(jù)的原始時(shí)間結(jié)構(gòu)信息被破壞，可以根據(jù)最近鄰準(zhǔn)則構(gòu)造偽時(shí)間序列矩陣T(2IKl ×J) ，為矩陣X(IK×J) 提供偽時(shí)間結(jié)構(gòu)信息。 因此，KSFA 等價(jià)于一種局部近鄰數(shù)據(jù)關(guān)系保持算法，而忽略了過程的全局?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)信息。 針對(duì)KSFA 的不足，通過將全局結(jié)構(gòu)分析融入到KSFA 方法中，提出一種改進(jìn)的KSFA 方法——IKSFA，檢測(cè)間歇過程的故障。

給 出 正 常 操 作 數(shù) 據(jù) 集Xφ ＝ φ(X)＝[xφ(1)，xφ(2)，…，xφ(IK)]T，全局結(jié)構(gòu)分析的目標(biāo)是尋找一個(gè)投影向量wj，即最大化投影空間中的所有樣本點(diǎn)yj(i)＝wTj xφ(i) 與其均值之間歐式距離的平方的均值[13]。 全局結(jié)構(gòu)分析的目標(biāo)函數(shù)由式(8)表示為

考慮到投影向量wj能夠改寫成訓(xùn)練樣本的線性組合全局結(jié)構(gòu)分析的目標(biāo)函數(shù)可以進(jìn)一步改寫，由式(10)表示為

為了對(duì)過程數(shù)據(jù)降維的同時(shí)保持?jǐn)?shù)據(jù)的全局和局部結(jié)構(gòu)信息，將KSFA 的最優(yōu)化目標(biāo)JKSFA和全局保存的最優(yōu)化目標(biāo)JGlobal融合到一起，構(gòu)造IKSFA的目標(biāo)函數(shù)，由式(11)表示為

式中:β為松弛因子，0＜β ＜1 是平衡全局最優(yōu)化和KSFA 局部最優(yōu)化之間關(guān)系的參數(shù)。

為了保證獲得合理的解，附加上下面的約束條件，由式(12)表示為

由于目標(biāo)函數(shù)JKSFA和JGlobal具有不同的尺度，在式(11)中應(yīng)該對(duì)JKSFA和JGlobal進(jìn)行歸一化處理，以保證KSFA 局部最優(yōu)化和全局保持最優(yōu)化在相同的尺度下予以考慮。 歸一化后的J＾IKSFA最優(yōu)化目標(biāo)由式(13)表示為

求解式(13)中的最優(yōu)化問題等價(jià)于執(zhí)行式(14)中的廣義特征值分解問題

選擇能夠提供超過95%累積緩慢貢獻(xiàn)率的慢特征的數(shù)目作為p的值。

在監(jiān)控測(cè)試向量xte時(shí)，基于從IKSFA 模型提取出的慢特征信息建立T2和SPE監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量。 具體來說，T2監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量測(cè)量過程數(shù)據(jù)主要的緩慢變化趨勢(shì)，由式(16)表示為

式中:kte＝φ(X)φ(xte) 是測(cè)試向量xte的核向量。

相反，建立SPE統(tǒng)計(jì)量來測(cè)量過程數(shù)據(jù)中的短時(shí)波動(dòng)，由式(17)表示為

獲得T2和SPE監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量后，需要計(jì)算其各自的控制限以監(jiān)控過程的運(yùn)行狀態(tài)。 采用核密度估計(jì)方法確定T2和SPE統(tǒng)計(jì)量的控制限。

3 基于改進(jìn)核慢特征分析的仿真研究分析

為了驗(yàn)證所提出算法的故障檢測(cè)性能，在青霉素發(fā)酵過程中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。 將所提出IKSFA 方法的故障檢測(cè)性能與多路核主元分析MKPCA(Multiway Kernel Principal Component Analysis)[1-2]、多路核獨(dú)立元分析 MKICA ( Multiway Kernel Independent Component Analysis)[3]和KSFA[7，10]方法的故障檢測(cè)性能進(jìn)行比較。 青霉素發(fā)酵過程是一個(gè)廣泛用來評(píng)價(jià)間歇過程故障檢測(cè)方法的基準(zhǔn)仿真過程[6，14]，包括兩個(gè)操作階段:預(yù)培養(yǎng)階段和分批補(bǔ)料階段。 在初始的預(yù)培養(yǎng)階段，大量細(xì)胞所必須的營養(yǎng)物質(zhì)開始產(chǎn)生，青霉素細(xì)胞在細(xì)胞指數(shù)增長期出現(xiàn)。 在分批補(bǔ)料階段，為了維持較高的青霉素產(chǎn)量，需要連續(xù)不斷地給發(fā)酵過程供給葡萄糖。 為了給青霉素的生產(chǎn)提供最好的條件，對(duì)發(fā)酵罐的溫度和pH 值采用閉環(huán)控制。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，采用仿真器Pensim V 2.0 產(chǎn)生青霉素發(fā)酵過程的仿真數(shù)據(jù)[14-15]。 選擇了10 個(gè)過程變量作為監(jiān)控變量，并在變量采樣過程中添加高斯噪聲。采集正常工況下的40個(gè)批次數(shù)據(jù)組成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，每個(gè)批次的長度均為400 h。 青霉素發(fā)酵過程的正常操作條件在一定的允許范圍內(nèi)波動(dòng)，具體的波動(dòng)范圍參見文獻(xiàn)[6]和[14]。 此外，還仿真產(chǎn)生了6 個(gè)批次的故障數(shù)據(jù)，每個(gè)批次的長度也是400 h，有關(guān)仿真中所添加故障模式的詳細(xì)信息見表1。

表1 青霉素發(fā)酵過程的6 種故障模式表

在IKSFA 建模時(shí)，選用高斯核作為核函數(shù)。 采用網(wǎng)格搜索算法確定IKSFA 中核參數(shù)c和松弛因子β，分別取值為500 和0.8。 具體而言，c的搜索范圍為[1，100，200，…，900，1 000] ，β的搜索范圍為[0.1，0.2，0.3，…，0.8，0.9] ，根據(jù)正常工況數(shù)據(jù)最優(yōu)的故障檢測(cè)結(jié)果分別選取c和β的最優(yōu)取值。 近鄰樣本點(diǎn)數(shù)目l根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇為6，根據(jù)95%的累積緩慢貢獻(xiàn)率確定需要保留的慢特征數(shù)目p。 為了公平比較，在MKPCA、MKICA 和KSFA 方法中使用高斯核作為核函數(shù)，并且核參數(shù)c同樣設(shè)置為500。 在KSFA 中，近鄰點(diǎn)數(shù)目l同樣設(shè)定為6。 在MKPCA、MKICA 和KSFA 方法中，根據(jù)95%的累計(jì)信息貢獻(xiàn)率選擇所要保留的主元或獨(dú)立元的數(shù)目。 對(duì)于4 種監(jiān)控方法，將正常工況數(shù)據(jù)99%的置信限設(shè)置為每個(gè)監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量的故障檢測(cè)閾值。 故障檢測(cè)率定義為超出檢測(cè)閾值的故障樣本數(shù)與總的實(shí)際樣本數(shù)的百分比。 為了降低故障誤報(bào)率，僅當(dāng)連續(xù)的5 個(gè)樣本超出99%的置信限時(shí)，才認(rèn)為檢測(cè)到故障發(fā)生。 故障檢測(cè)時(shí)刻定義為5 個(gè)連續(xù)超限樣本中的第1 個(gè)樣本的采樣時(shí)刻。

MKPCA、MKICA、KSFA 和IKSFA 方法對(duì)故障F3 的監(jiān)控結(jié)果如圖2 所示。 在圖2(a)、(b)中，MKPCA 的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量分別在第122、130 個(gè)采樣時(shí)刻檢測(cè)到故障發(fā)生。 在圖2(d)中，MKICA 的SPE統(tǒng)計(jì)量相比于MKPCA 的SPE統(tǒng)計(jì)量獲得了更好的故障檢測(cè)效果， MKICA 的SPE統(tǒng)計(jì)量在第116個(gè)采樣時(shí)刻指示有故障出現(xiàn)。 由圖2(e)、(f)可以看出，KSFA 的T2統(tǒng)計(jì)量在第118 個(gè)時(shí)刻檢測(cè)出故障，SPE統(tǒng)計(jì)量在第138 個(gè)時(shí)刻對(duì)故障進(jìn)行報(bào)警。與圖2(a)～(f)中的故障檢測(cè)結(jié)果相比，圖2(g)、(h)中的IKSFA 方法獲得了最好的故障檢測(cè)效果。IKSFA 的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量均在第102 個(gè)時(shí)刻超出各自的控制限，故障檢測(cè)時(shí)間在4 種方法中是最早的。

4 種方法對(duì)故障F6 的監(jiān)控結(jié)果如圖3 所示。由圖3(g)、(h)可以看出，IKSFA 獲得了最好的故障檢測(cè)效果，IKSFA 的T2統(tǒng)計(jì)量在第112 個(gè)時(shí)刻檢測(cè)到故障，SPE統(tǒng)計(jì)量在第108 個(gè)采樣時(shí)刻檢測(cè)到故障。 在圖3(a)、(b)中，MKPCA 的故障檢測(cè)效果最差，T2和SPE統(tǒng)計(jì)量分別在第164、146 個(gè)時(shí)刻對(duì)故障進(jìn)行報(bào)警。 圖3(c)、(d)顯示MKICA 的I2統(tǒng)計(jì)量的故障檢測(cè)時(shí)間是第126 個(gè)采樣時(shí)刻，SPE統(tǒng)計(jì)量的故障檢測(cè)時(shí)間是第124 個(gè)采樣時(shí)刻。 由圖3(e)、(f)可以看出，KSFA 的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量分別在第122、124 個(gè)采樣時(shí)刻指示出有故障發(fā)生。 對(duì)故障F6 的監(jiān)控結(jié)果顯示基于IKSFA 的故障檢測(cè)方法能夠比其他3 種方法更為快速地檢測(cè)出故障F6 的發(fā)生。

4 種故障檢測(cè)方法對(duì)6 類故障模式的故障檢測(cè)時(shí)間和故障檢測(cè)率分別見表2、3。 由表2 可以看出，4 種方法對(duì)階躍故障F1 和F2 的檢測(cè)效果不存在延遲。 盡管4 種方法均不能在階躍故障F3 剛添加時(shí)就立即給出故障報(bào)警，但是IKSFA 的故障檢測(cè)延遲時(shí)間最短，僅為2 h。 相比具有階躍變化的故障，斜坡故障F4、F5 和F6 由于緩慢變化的過程，參數(shù)檢測(cè)起來更加困難。 對(duì)于斜坡故障的檢測(cè)問題，IKSFA 取得了最快的故障檢測(cè)效果。 由表3 可以看出，4 種方法對(duì)于階躍變化的故障F1 和F2 都能獲得100%的故障檢測(cè)率。 對(duì)于檢測(cè)起來比較困難的故障F3、F4、F5 和F6，IKSFA 在這4 種方法中獲得了最高的故障檢測(cè)率。 總而言之，結(jié)果證實(shí)了基于IKSFA 的方法與基于MKPCA、MKICA 和KSFA 的方法相比，具有更加優(yōu)越的故障檢測(cè)性能。

圖2 4 種故障檢測(cè)方法對(duì)青霉素發(fā)酵過程故障F3 的監(jiān)控圖

圖3 4 種故障檢測(cè)方法對(duì)青霉素發(fā)酵過程故障F6 的監(jiān)控圖

表2 4 種故障檢測(cè)方法的故障檢測(cè)時(shí)間(采樣時(shí)刻)比較表/h

表3 4 種故障檢測(cè)方法的故障檢測(cè)率比較表/%

4 結(jié)論

通過上述研究，可以得到以下結(jié)論:

(1) 與MKPCA、MKICA 和KSFA 監(jiān)控方法相比，IKSFA 監(jiān)控方法對(duì)間歇過程的6 種故障具有最快的故障檢測(cè)時(shí)刻。 IKSFA 方法對(duì)故障F1 和F2 在第100 個(gè)采樣時(shí)刻就檢測(cè)到故障，對(duì)故障F3、F4、F5和F6 的最快檢測(cè)時(shí)刻分別為第102、108、112 和108 個(gè)采樣時(shí)刻。

(2) 與MKPCA、MKICA 和KSFA 監(jiān)控方法相比，IKSFA 監(jiān)控方法對(duì)間歇過程的6 種故障具有最高的故障檢測(cè)率。 IKSFA 方法對(duì)故障F1 和F2 的故障檢測(cè)率均為100%，對(duì)故障F3、F4、F5 和F6 的最高故障檢測(cè)率分別為99%、96.67%、96.62%和97.97%。

(3) 仿真結(jié)果表明，在IKSFA 方法中構(gòu)造的確定保留慢特征數(shù)目的準(zhǔn)則是行之有效的。