丁吉文

數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念及其性質(zhì)教學(xué)占有重要地位，是數(shù)學(xué)單元知識教學(xué)的基礎(chǔ)與起點(diǎn)?，F(xiàn)在這部分教學(xué)通常采用設(shè)計(jì)情境法，這也是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的。情境分為問題情境、模型情境、案例情境三種。本文主要就模型情境展開論述，并把它與問題情境進(jìn)行比較，說明它們各自優(yōu)勢與必要性。

模型情境教學(xué)，就是進(jìn)行新概念及其性質(zhì)教學(xué)時(shí)借助已知模型，關(guān)注它們的聯(lián)系和應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)跨領(lǐng)域的場景，用模型的屬性抽象成新概念屬性的教學(xué)方式1。模型情境與問題情境不同，問題情境是通過還原知識發(fā)生場景，設(shè)置問題鏈引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。

一、模型情境教學(xué)

模型情境教學(xué)操作流程：

具體操作（以向量的學(xué)習(xí)為例）：

第一步，引出新概念，給出定義，分析強(qiáng)調(diào)定義的構(gòu)成要素，讓學(xué)生先找感覺，有感性認(rèn)識。認(rèn)識效果不必在意，能為進(jìn)入下一環(huán)節(jié)提供聯(lián)想條件就可以了。向量學(xué)習(xí)伊始，給出并刻意強(qiáng)調(diào)向量定義包含兩個(gè)要素，大小和方向。大部分學(xué)生對有大小與方向的量不陌生，他們有知識儲備有能力聯(lián)想，描繪出向量的幾何模型。

第二步，導(dǎo)出模型，建立新舊知識聯(lián)系，確立模型。學(xué)生已對新概念有了感性認(rèn)識，啟發(fā)學(xué)生，在學(xué)習(xí)過的知識中，有沒有相關(guān)類似知識，如果有，能聯(lián)系嗎。這一環(huán)節(jié)中，教師啟發(fā)是必須而且及時(shí)的。當(dāng)學(xué)生聯(lián)想正確，迅速建立它們關(guān)系，確立新概念的數(shù)學(xué)模型。向量教學(xué)，第一步中，學(xué)生自然在知識庫中檢索出，物理中速度，位移等量也是有大小與方向的量，它們是向量嗎，它們性質(zhì)向量是否也具有。教師給出肯定答案時(shí)，確立物理中的速度為向量的模型。

第三步，數(shù)學(xué)模型與新概念進(jìn)行知識同化。分析新概念與數(shù)學(xué)模型，揭示它們本質(zhì)屬性與聯(lián)系，指出它們根本上是相同或者相關(guān)的，有相同或者相關(guān)性質(zhì)，分析新知識只需知道舊知識這個(gè)模型就可以了。列出模型的有關(guān)系性質(zhì)。向量教學(xué)中，速度本質(zhì)上講也是向量，是向量的一種具體形式，而向量是對速度等物理量的一種抽象，所以速度的有關(guān)知識可以移植到向量中去。速度的合成，速度的分解等。

第四步，舊知識遷移，把新概念納入到既有知識體系中去，成為學(xué)生知識庫的一部分。分析了數(shù)學(xué)模型有關(guān)系屬性，通過遷移得到新概念的屬性，最后學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，新也是舊，核心知識沒變，只是包裝變了，研究對象變了。新概念是舊知識在另外一個(gè)領(lǐng)域的呈現(xiàn)，是舊知的拓展與延伸，新還是舊。這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就擴(kuò)大了，認(rèn)知內(nèi)容豐富了，容量大了。向量學(xué)習(xí)中，速度也是向量，之前研究的是向量一個(gè)個(gè)具體對象，現(xiàn)在把它們當(dāng)成整體來研究了，是知識的拓展不是知識的創(chuàng)新。

二、模型情境的分類與案例

模型情境教學(xué)，關(guān)鍵是數(shù)學(xué)模型，首先是要有，然后是用。模型情境中的模型可分為知識內(nèi)容模型與研究方法模型兩大類

1.知識內(nèi)容類模型

數(shù)學(xué)單元中，知識本質(zhì)相同，即知識體系中核心知識一樣，只不過研究的問題指向與對象不同，就有了不同知識表象和不同名字，我們權(quán)且把它們稱知識列。在這個(gè)知識列中，如果學(xué)習(xí)了其中一個(gè)，學(xué)習(xí)其它時(shí)，就可以學(xué)習(xí)過的作模型應(yīng)用模型情境教學(xué)。高中數(shù)學(xué)，可以稱為知識列的很多，下面做一個(gè)小節(jié)。

二分系列。一個(gè)整體，一分為二，合二為一就又成為一個(gè)整體。其來源應(yīng)該是數(shù)學(xué)加法原理中的分類原理，體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)文化中的二元思想。一分為二數(shù)學(xué)中頗多出現(xiàn)，高中最先應(yīng)用是集合關(guān)系中的集合互補(bǔ)，把全集分成兩部分，對應(yīng)兩個(gè)集合就是互為補(bǔ)集。在學(xué)習(xí)概率時(shí)，對立事件也體現(xiàn)一分為二思想，整體分成兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件為對立事件。證明中的反證法，結(jié)論判定有兩種結(jié)果，對與錯，命題學(xué)習(xí)中的求命題的否定，都是二分原理具體體現(xiàn)。學(xué)習(xí)了補(bǔ)集后，完全可以以它為模型，用模型情境來學(xué)習(xí)其它知識，因?yàn)楸举|(zhì)上講，它們是相同的。

向量與復(fù)數(shù)（這里向量特指平面向量）。向量與復(fù)數(shù)是兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，給學(xué)生感覺它們是不同，它們也的確不盡相同，它們研究不同對象過程中，生出不同分支，但就本質(zhì)而言，它們都是研究二維數(shù)的，主干一樣。數(shù)的發(fā)展，首先是一維的實(shí)數(shù)，然后是二維的復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)自然是復(fù)數(shù)，二維向量本質(zhì)上也是復(fù)數(shù)，是復(fù)數(shù)的幾何形式。編排中向量在前，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí)就可以向量做為模型。

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)。指數(shù)與對數(shù)本質(zhì)相同ab=N與logaN=b，它們反映三個(gè)量a 、b 、N關(guān)系沒變，變的只是形式，在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)時(shí)，就可心指數(shù)函數(shù)作模型來研究對數(shù)函數(shù)，特別是其中的a，為什么要分成01兩種情況。

這一類數(shù)學(xué)模型很多。需要我們老師研究教學(xué)，深刻把握教材，我們老師研究到位了，才能在上課時(shí)熟練應(yīng)用。

2.研究方法類模型

大部分人說數(shù)學(xué)難學(xué)，抽象復(fù)雜，難得要領(lǐng)，但也有人說數(shù)學(xué)不難，研究數(shù)學(xué)方法就那幾種，舉一反三就可以了，不似語文英語要記那么多字詞。后面這種人悟到了數(shù)學(xué)精髓，學(xué)數(shù)學(xué)，內(nèi)容上打破知識壁壘，求其本質(zhì)，學(xué)習(xí)方法上講復(fù)制，相近相同，特點(diǎn)相近的知識，可以用同樣的方法研究。

例如，學(xué)習(xí)過指數(shù)函數(shù)后，接著是對數(shù)函數(shù)，完全可以指數(shù)函數(shù)為模型研究對數(shù)函數(shù)，上面講過它們之間數(shù)學(xué)內(nèi)容上的模型，現(xiàn)在講的是研究方法模型。指數(shù)函數(shù)研究方法是做圖，研究圖形特點(diǎn)，得到函數(shù)的性質(zhì)，在研究圖形時(shí)，包括函數(shù)定義域、值域、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性，是否過特殊點(diǎn)，在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)時(shí)，如法炮制就可以了。學(xué)習(xí)所有函數(shù)性質(zhì)時(shí)，都是如此，包括冪函數(shù)，三角函數(shù)等。

數(shù)列學(xué)習(xí)中，講完等差數(shù)列后，再講等比數(shù)列時(shí)，研究方法同樣是復(fù)制等差數(shù)列就可以了。先是定義，然后是數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后是前N項(xiàng)和，中間穿插數(shù)列的性質(zhì)。

立體幾何學(xué)習(xí)時(shí)，研究方法更加如此，線面平行學(xué)習(xí)后，其研究方法與過程就可做為模型，來研究其它關(guān)系，線面垂直、面面平行、面面垂直。方法都是，先定義，然后判定，然后性質(zhì)。

我們教師重視數(shù)學(xué)知識教學(xué)，也要重視數(shù)學(xué)研究方法教學(xué)，授人以魚不如授人以漁，學(xué)生需要金子，更需要那根點(diǎn)石成金的手指，唯有學(xué)生學(xué)會能用研究方法，學(xué)生才算是學(xué)過數(shù)學(xué)的人，他們不是知識的搬運(yùn)工，而是知識的建設(shè)者。

三、模型情境原則

模型情境在數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)教學(xué)中的作用已經(jīng)顯而易見，它是培養(yǎng)學(xué)生能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要保證。提高學(xué)生素養(yǎng)不是口號，要能調(diào)動學(xué)生，讓學(xué)生主動研究，把提高學(xué)生素養(yǎng)落實(shí)到具體教學(xué)中去。在調(diào)動學(xué)生上模型情境起到了發(fā)動機(jī)作用，學(xué)生發(fā)動起來了，主動而不是被動參與，余下事情就容易做了。但模型情境也不是任何時(shí)候都可以用，要遵守以下原則。

（1）學(xué)生主體性原則。數(shù)學(xué)模型情境教學(xué)中，學(xué)生是教學(xué)過程中的主體，任務(wù)的完成主要是靠學(xué)生的分析、聯(lián)想、類比、遷移來完成的，老師不可越俎代庖，教程中大包大攬，教師只是起到必要及時(shí)的引導(dǎo)作用。核心素養(yǎng)下，要求我們老師人僅重視教，還要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，要努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使更多學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)2。

（2）內(nèi)容適用性原則。上面分析過，它在學(xué)生知識來源上，是知識的傳承，不是知識的創(chuàng)造，所以在用之前，先清楚是否有模型，沒有就不能生搬硬套，亂點(diǎn)鴛鴦譜，還是要問題情境發(fā)揮作用。講指數(shù)函數(shù)時(shí)，其概念就找不到其數(shù)學(xué)模型，反正我沒找到。

（3）適度性原則。用數(shù)學(xué)模型情境進(jìn)行數(shù)學(xué)概念及性質(zhì)教學(xué)時(shí)，能解決一部分問題，不是全部，用數(shù)學(xué)模型要適度。數(shù)學(xué)模型溝通的是新舊知識關(guān)系，新知識是舊知識的發(fā)展，不是簡單重復(fù)，它們在解決不同問題過程中衍生出不同的知識體系，不能把它們等同起來，哪怕它們知識本質(zhì)是相同的。復(fù)數(shù)與向量都是研究二維數(shù)字，但它們后來的研究方法不同，我們用模型只是解決它們在概念與運(yùn)算這些性質(zhì)上，不可盲目擴(kuò)大。

（4）方式方法發(fā)展性原則。用數(shù)學(xué)模型情境時(shí)，同一個(gè)模型，要隨著知識面的擴(kuò)展與程度加深而有所以變化，不可一個(gè)模型一成不變用下去，要適度增加一些內(nèi)容，讓模型變得豐富，更實(shí)用。指數(shù)函數(shù)模型用來研究對數(shù)函數(shù)非常好，但到了三角函數(shù)時(shí)，要增加函數(shù)周期性，三角函數(shù)有周期性，指數(shù)函數(shù)沒有。學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)，還沒接觸函數(shù)的周期性。

模型情境教學(xué)要求教師對教材有深刻的認(rèn)識與理解，唯有如此，才能數(shù)學(xué)知識之間自如縱橫聯(lián)系，互為模型實(shí)施教學(xué)。正如廚師煮菜，技術(shù)有了，還要有食材，沒有食材，廚師煮不出菜，教師沒研究透徹知識間本質(zhì)關(guān)系，也用不好模型情境教學(xué)法。所以我們要堅(jiān)持研究教學(xué)與教材，把數(shù)學(xué)知識融會貫通。這樣，我們才可以把這個(gè)工作做得更好，課堂更有效。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)