張高峰 吉玉潔

（中國人民解放軍91336部隊(duì) 秦皇島 066326）

1 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，應(yīng)用艦空導(dǎo)彈攔截來襲反艦導(dǎo)彈已成為最主要的海上防御手段，超音速掠海飛行、末段機(jī)動(dòng)、彈道管理、新型涂層和導(dǎo)引頭等技術(shù)的采用，使得反艦導(dǎo)彈的速度、敏捷性、隱身性和抗干擾能力不斷提高，突防能力大大加強(qiáng)，艦空導(dǎo)彈在扮演著越來越重要的角色的同時(shí)，也在經(jīng)受著巨大的考驗(yàn)［1］。對(duì)艦空導(dǎo)彈攔截反艦導(dǎo)彈的作戰(zhàn)過程進(jìn)行研究，針對(duì)影響殺傷概率的主要環(huán)節(jié)進(jìn)行建模與仿真分析，有助于艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的優(yōu)化改進(jìn)，也可為指揮員的作戰(zhàn)使用提供有益的信息支持。

在艦空導(dǎo)彈攻擊反艦導(dǎo)彈時(shí)的彈目交匯末端，殺傷概率與多種因素相關(guān)，包括艦空導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的精準(zhǔn)度、脫靶量、彈目交匯時(shí)的位置關(guān)系、戰(zhàn)斗部啟爆觸發(fā)性能、爆炸威力、目標(biāo)的抗損能力等，是多種隨機(jī)因素組合作用的結(jié)果［2～3］。近年來的理論研究和靶場試驗(yàn)表明，如果來襲目標(biāo)的易損性不變，在戰(zhàn)斗部性能也固定的條件下，航空導(dǎo)彈對(duì)反艦導(dǎo)彈的殺傷概率主要受兩個(gè)隨機(jī)事件的影響，且這兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立。一個(gè)是艦空導(dǎo)彈爆炸時(shí)與目標(biāo)的接近程度，該隨機(jī)事件受艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的制導(dǎo)誤差和彈上引信啟爆特性影響；另一個(gè)是導(dǎo)彈在目標(biāo)附近某點(diǎn)爆炸后是否能夠成功毀傷目標(biāo)，該隨機(jī)事件受艦空導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部破片殺傷威力的影響［4～6］。

本文以單發(fā)艦空導(dǎo)彈對(duì)抗單個(gè)反艦導(dǎo)彈目標(biāo)時(shí)的末端攔截效能為研究對(duì)象，采用數(shù)學(xué)分析方法，對(duì)導(dǎo)彈射擊誤差分布規(guī)律和目標(biāo)坐標(biāo)殺傷規(guī)律進(jìn)行了探究，建立了艦空導(dǎo)彈對(duì)反艦導(dǎo)彈的攔截效能模型。該攔截效能模型采用蒙特卡洛方法，側(cè)重研究單發(fā)殺傷概率。利用Matlab實(shí)現(xiàn)的仿真程序?qū)δ承团灴諏?dǎo)彈與多種機(jī)動(dòng)方式的反艦導(dǎo)彈的對(duì)抗過程進(jìn)行了仿真，得出了艦空導(dǎo)彈對(duì)不同突防條件下的反艦導(dǎo)彈的攔截效能。

2 導(dǎo)彈射擊誤差分布規(guī)律

導(dǎo)彈的射擊誤差主要受導(dǎo)彈制導(dǎo)精度和引信啟爆特性的影響，其分布規(guī)律φ(x,y,z)是由導(dǎo)彈制導(dǎo)誤差分布規(guī)律 f(y,z)和導(dǎo)彈非觸發(fā)引信啟爆規(guī)律ω(x,y,z)決定的，即：

下面，分別建立導(dǎo)彈制導(dǎo)誤差分布規(guī)律模型和導(dǎo)彈非觸發(fā)引信啟爆規(guī)律模型。

2.1 導(dǎo)彈制導(dǎo)誤差分布規(guī)律

導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)是導(dǎo)彈的導(dǎo)引和控制系統(tǒng)，它通過測(cè)量和計(jì)算導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)位置，按照比例導(dǎo)引方式，形成控制指令，并送給導(dǎo)彈飛行控制系統(tǒng)，從而引導(dǎo)導(dǎo)彈逐漸逼近目標(biāo)［7］。受導(dǎo)彈武器系統(tǒng)設(shè)備性能和各類干擾因素的影響，導(dǎo)彈的實(shí)際飛行彈道與理想導(dǎo)彈（即運(yùn)動(dòng)學(xué)彈道）之間會(huì)產(chǎn)生偏差，這一偏差稱為導(dǎo)彈的制導(dǎo)誤差，如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈制導(dǎo)誤差示意

制導(dǎo)誤差的分布規(guī)律實(shí)質(zhì)上就是導(dǎo)彈飛行實(shí)際彈道和運(yùn)動(dòng)學(xué)彈道之間相互關(guān)系的散布特性。如圖1所示，制導(dǎo)誤差在二維平面(y,z)上隨機(jī)分布，是一個(gè)二維隨機(jī)變量。該二維平面稱為靶平面，用Q表示，是一個(gè)垂直于導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方向，并穿過目標(biāo)質(zhì)心點(diǎn)的平面［8］。在靶平面Q內(nèi)，實(shí)際彈道相對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)彈道的偏差即為導(dǎo)彈的脫靶量?；诟怕收摰姆椒ǎ刹捎迷撾S機(jī)變量 y、z的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差描述制導(dǎo)誤差(y,z)的概率密度為

式中，σy、σz分別為隨機(jī)變量 y、z的標(biāo)準(zhǔn)差；y0、z0分別為隨機(jī)變量 y、z的數(shù)學(xué)期望。

制導(dǎo)誤差的數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了導(dǎo)彈實(shí)際彈道的平均彈道相對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)彈道的偏差，描述制導(dǎo)誤差的平均特性，屬于系統(tǒng)誤差；制導(dǎo)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差體現(xiàn)了實(shí)際彈道相對(duì)于其平均彈道的偏差，描述制導(dǎo)誤差的離散特性，屬于隨機(jī)誤差［9］。式（2）通過隨機(jī)變量y、z的數(shù)字特征實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈制導(dǎo)誤差分布規(guī)律的數(shù)字化表達(dá)，且綜合表現(xiàn)了系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類不同特性的誤差。

2.2 導(dǎo)彈非觸發(fā)引信啟爆規(guī)律

導(dǎo)彈非觸發(fā)引信的啟爆規(guī)律ω(x,y,z)主要受兩個(gè)因素的影響。一是導(dǎo)彈爆炸點(diǎn)的散布規(guī)律，在彈道坐標(biāo)系中，炸點(diǎn)分布于沿導(dǎo)彈速度方向的x軸上，其分布的概率密度以表示；另一個(gè)是導(dǎo)彈引信的啟動(dòng)概率，以 p(r)表示。導(dǎo)彈引信啟爆規(guī)律ω(x,y,z)的表達(dá)式為

導(dǎo)彈引信的啟動(dòng)條件包括引信初始參數(shù)設(shè)置、彈目相對(duì)距離及運(yùn)動(dòng)關(guān)系、目標(biāo)特性等，如果保持脫靶量r固定不變，在彈道坐標(biāo)系中，導(dǎo)彈炸點(diǎn)沿導(dǎo)彈速度方向x軸的散布滿足正態(tài)分布規(guī)律［10～11］：

其中，xˉ(r)為在脫靶量r固定不變時(shí)，x(r)的數(shù)學(xué)期望：

σx(r)為導(dǎo)彈炸點(diǎn)相對(duì)于平均引信啟動(dòng)面的均方差：

將r賦值為不同的數(shù)值，計(jì)算得 xˉ(r)后，逐一在圖上標(biāo)注，即可得到平均引信啟動(dòng)面。

與脫靶量r相關(guān)的引信啟動(dòng)概率 p(r)的分布曲線如圖2所示。

圖2 引信啟動(dòng)概率 p(r)分布曲線

引信啟動(dòng)概率 p(r)的表達(dá)式為

式中，rmax為導(dǎo)彈的最大脫靶量。

3 目標(biāo)坐標(biāo)殺傷規(guī)律

目標(biāo)坐標(biāo)殺傷規(guī)律G(x,y,z)描述導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部啟爆點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)與啟爆之后破片殺傷反艦導(dǎo)彈要害部位（以下用“艙段”作為要害部位的統(tǒng)稱）的概率之間的關(guān)系。在不考慮多塊破片殺傷同一艙段的累積效應(yīng)時(shí)，每塊破片命中艙段后的作用效果均互不相關(guān)［12～14］。破片命中艙段后，均有兩種結(jié)果：殺傷艙段和未殺傷艙段。這樣，目標(biāo)坐標(biāo)殺傷規(guī)律可表達(dá)為

式中，mˉ為擊中艙段破片數(shù)的數(shù)學(xué)期望，p為單塊破片殺傷艙段的概率。

3.1 擊中艙段破片數(shù)的數(shù)學(xué)期望

可應(yīng)用球形投影儀的模擬實(shí)驗(yàn)法、解析法和幾何作圖法等方法確定擊中艙段破片數(shù)的數(shù)學(xué)期望mˉ［15］，本文采用解析法，mˉ可表示為

式中，ρs為擊中艙段平均單位面積上的破片數(shù)（塊/m2）；S為動(dòng)態(tài)殺傷區(qū)（戰(zhàn)斗部在飛行狀態(tài)下爆炸后絕大部分破片的飛散區(qū)域）覆蓋在艙段上的面積（m2），該面積需要在破片速度方向的垂直平面上度量。

ρs代表了所有命中艙段的破片數(shù)量的平均分布密度情況，由于破片在動(dòng)態(tài)殺傷區(qū)的分布服從正態(tài)分布規(guī)律，ρs的表達(dá)式為

式中，?fI為破片在動(dòng)態(tài)殺傷區(qū)內(nèi)的一個(gè)角度；?fI1、?fI1為動(dòng)態(tài)殺傷區(qū)覆蓋艙段區(qū)域的兩個(gè)邊界角度值；ΩI為破片的動(dòng)態(tài)飛散角；?I指動(dòng)態(tài)飛散角內(nèi)破片分布的平分線與指向?qū)楋w行方向的戰(zhàn)斗部軸線的夾角，稱為破片的動(dòng)態(tài)飛散方向角；RI為??fI所對(duì)應(yīng)帶環(huán) ?SI的半徑（m），如圖3所示；Nt為理論破片總數(shù)，由戰(zhàn)斗部結(jié)構(gòu)確定；k為破片數(shù)量損失系數(shù)，可取為0.83～0.9。

圖3 動(dòng)態(tài)殺傷區(qū)內(nèi)??fI與?SI的關(guān)系

3.2 單塊破片的殺傷概率

通常情況下，破片可通過三種不同的方式達(dá)到殺傷目標(biāo)的目的，即擊穿目標(biāo)、引燃目標(biāo)和引爆目標(biāo)［16］。破片具有很大的動(dòng)能，在命中目標(biāo)后往往會(huì)穿過目標(biāo)，在目標(biāo)艙段上形成沖擊孔，使得目標(biāo)因?yàn)閾舸┒獾狡茐?。引燃和引爆?duì)目標(biāo)的殺傷機(jī)理具有一定的相似之處，都是利用破片在極高的運(yùn)動(dòng)速度下與艙段發(fā)生的摩擦和碰撞來達(dá)到破壞艙段的目的，區(qū)別在于引燃是引起目標(biāo)上的易燃物燃燒而使目標(biāo)遭到破壞，引爆則是引起目標(biāo)內(nèi)的火藥爆炸而使目標(biāo)遭到破壞，引燃和引爆對(duì)目標(biāo)破壞的迅速性和毀壞程度是有差別的。目前大部分的火藥封裝外殼材質(zhì)都是較厚的鋼材，破片即使成功地穿過了目標(biāo)艙體外殼和火藥封裝外殼，其具有的動(dòng)能也大大衰減，再引起火藥爆炸的概率很低［17］。因此，在計(jì)算單塊破片的殺傷概率時(shí)，只考慮破片的擊穿作用和引燃作用。

不考慮破片的引爆作用時(shí)，應(yīng)用概率論原理，得單塊破片的殺傷概率 p為

式中，pa為單塊破片通過擊穿作用殺傷目標(biāo)的概率；pb為單塊破片通過引燃作用殺傷目標(biāo)的概率。

1）單塊破片的擊穿殺傷概率

為描述方便，用破片的比能代表破片動(dòng)能除以穿孔面積的商。由數(shù)學(xué)推導(dǎo)和靶場試驗(yàn)得出，單塊破片利用擊穿作用殺傷目標(biāo)的概率pa與一個(gè)比值E相關(guān)，E是破片比能除以艙段厚度的商。 pa是E的函數(shù)，可表示為

式中，qf為破片質(zhì)量（kg）；Vfd為破片對(duì)于艙段的撞擊速度（m/s）；h為艙段的實(shí)際厚度（mm）；hc為艙段的等效硬鋁厚度（mm）；σb為艙段材質(zhì)所能承受的最高強(qiáng)度（Pa）；σbc為作為標(biāo)準(zhǔn)材料的硬鋁所能承受的最高強(qiáng)度（Pa）。

2）單塊破片的引燃?xì)怕?/p>

這里，用破片的比沖量代表破片的沖量除以穿孔面積的商。由數(shù)學(xué)推導(dǎo)和靶場試驗(yàn)得出，單塊破片利用引燃作用殺傷目標(biāo)的概率pb與一個(gè)乘積U相關(guān)，U是破片的比沖量乘以彈目交匯高度的積。 pb是U的函數(shù)，可表示為

可以看出，當(dāng)遭遇高度等于或大于16km時(shí)，單塊破片的引燃?xì)怕蕿榱?，即認(rèn)為破片不能引燃目標(biāo)上的易燃物。

4 導(dǎo)彈攔截效能模型

系統(tǒng)的效能通常指系統(tǒng)在特定的條件下，完成指定任務(wù)的能力，它是系統(tǒng)固有能力的綜合反映。將武器系統(tǒng)置于特定的作戰(zhàn)條件下，計(jì)算其在指定時(shí)間內(nèi)成功完成某作戰(zhàn)任務(wù)的概率，即是武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能。對(duì)于艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)攔截來襲反艦導(dǎo)彈這一指定作戰(zhàn)任務(wù)，對(duì)艦空導(dǎo)彈攔截效能的研究主要集中在兩個(gè)層面：一是對(duì)目標(biāo)的單發(fā)殺傷概率的研究，另一個(gè)就是對(duì)武器系統(tǒng)整體防御能力的評(píng)價(jià)［18］。

本文只通過計(jì)算單發(fā)艦空導(dǎo)彈對(duì)單個(gè)目標(biāo)導(dǎo)彈的殺傷概率，討論艦空導(dǎo)彈的攔截效能問題。

由于艦空導(dǎo)彈的炸點(diǎn)位置(x,y,z)是不確定的，在計(jì)算單發(fā)導(dǎo)彈的殺傷全概率P1時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮導(dǎo)彈炸點(diǎn)分布在一個(gè)非常大的空間范圍內(nèi)，因此P1應(yīng)采用針對(duì)x,y,z的三重積分來進(jìn)行表式：

式中，φ(x,y,z)為導(dǎo)彈射擊誤差分布規(guī)律，其計(jì)算公式見式（1）。

將式（1）代入式（19）后得：

在采用蒙特卡洛方法進(jìn)行殺傷概率計(jì)算的過程中，每一次打靶計(jì)算都是一個(gè)隨機(jī)事件，而且都是互不相關(guān)的獨(dú)立事件，每一次打靶的結(jié)果互不影響［19］，因此式（20）也可表示為

式中，n為蒙特卡洛打靶次數(shù)。

由于雷達(dá)性能和各種干擾因素的影響，作為艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)制導(dǎo)系統(tǒng)重要組成部分的艦載目標(biāo)指示雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的探測(cè)捕獲也是具有一定概率的［20］。上述計(jì)算過程未考慮該雷達(dá)發(fā)現(xiàn)概率的影響，設(shè)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)概率為Pr，則單發(fā)導(dǎo)彈殺傷概率P的最終表達(dá)式為

式中，Pr可采用雷達(dá)方程進(jìn)行計(jì)算，簡化考慮時(shí)，也可令Pr為某固定值，如0.85。

5 仿真實(shí)例

通過對(duì)上述數(shù)學(xué)模型，以及艦空導(dǎo)彈和反艦導(dǎo)彈彈道模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)，并設(shè)定通過實(shí)測(cè)、調(diào)研及計(jì)算得來的模型參數(shù)，開展了艦空導(dǎo)彈對(duì)反艦導(dǎo)彈的攔截效能仿真計(jì)算。分為對(duì)平飛目標(biāo)和俯沖目標(biāo)的攔截兩種情況，分別進(jìn)行蒙特卡羅打靶，為滿足統(tǒng)計(jì)特性，打靶次數(shù)選為100次。

5.1 攔截平飛目標(biāo)仿真

對(duì)艦空導(dǎo)彈攔截處于平飛狀態(tài)的以不同速度、高度突防的反艦導(dǎo)彈目標(biāo)的對(duì)抗過程進(jìn)行效能分析。

目標(biāo)初始參數(shù)：速度分別選取為1.0Ma、2.0Ma、3.0Ma、4.0Ma、5.0Ma、6.0Ma、7.0Ma；高度分別選取為10m、1000m、100000m、200000m。分析目標(biāo)以不同高度突防時(shí)，艦空導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的殺傷概率與目標(biāo)飛行速度的關(guān)系。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 攔截平飛目標(biāo)的仿真結(jié)果

圖4 所示的各殺傷概率曲線顯示出，艦空導(dǎo)彈對(duì)反艦導(dǎo)彈目標(biāo)的殺傷概率隨速度增大而減??；且隨著高度的增加，速度對(duì)殺傷概率的影響變大。

5.2 攔截俯沖目標(biāo)仿真

對(duì)艦空導(dǎo)彈攔截處于俯沖狀態(tài)的以不同速度、高度突防的反艦導(dǎo)彈目標(biāo)的對(duì)抗過程進(jìn)行效能分析。

1）攔截不同速度俯沖目標(biāo)的仿真

目標(biāo)初始參數(shù)：高度設(shè)置為28km，速度分別選取為1.0Ma、2.0Ma、3.0Ma、4.0Ma。分析目標(biāo)以不同速度突防時(shí)，艦空導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的殺傷概率與目標(biāo)速度的關(guān)系。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 攔截不同速度俯沖目標(biāo)的仿真結(jié)果

從仿真結(jié)果可以看出，艦空導(dǎo)彈的殺傷概率對(duì)目標(biāo)突防速度敏感，特別是當(dāng)目標(biāo)速度大于3Ma時(shí)，殺傷概率幾乎為零。

2）攔截不同高度俯沖目標(biāo)的仿真

目標(biāo)初始參數(shù)：速度設(shè)置為2Ma，高度分別選取為5km、10km、15km、20km。分析目標(biāo)以不同高度突防時(shí)，艦空導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的殺傷概率與目標(biāo)高度的關(guān)系。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 攔截不同高度俯沖目標(biāo)的仿真結(jié)果

從仿真結(jié)果可以看出，艦空導(dǎo)彈的殺傷概率對(duì)目標(biāo)高度的變化并不敏感。

6 結(jié)語

導(dǎo)彈攔截過程仿真是導(dǎo)彈設(shè)計(jì)、性能分析和作戰(zhàn)使用研究的重要手段。本文基于概率論的原理和方法，基于對(duì)導(dǎo)彈射擊誤差和戰(zhàn)斗部殺傷概率的較為詳細(xì)、全面的計(jì)算，建立了艦空導(dǎo)彈對(duì)反艦導(dǎo)彈的末端攔截效能模型，并利用Matlab進(jìn)行了仿真實(shí)現(xiàn)。仿真過程支持導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)、彈道參數(shù)、戰(zhàn)斗部參數(shù)，以及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的修改和替換，仿真系統(tǒng)具有較強(qiáng)的通用性。后續(xù)還需要進(jìn)一步細(xì)化艦空導(dǎo)彈數(shù)學(xué)模型和部分參數(shù)估算算法，并建立更為復(fù)雜的目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型，以不斷提高仿真精度和仿真結(jié)果的實(shí)用性。