林季資 肖沛 趙越 張玉峰 王勇幸

摘? 要：大學物理以研究矢量、變量為主，在數(shù)學處理上常采用微積分方法，與中學物理有著很大不同。大學物理教師若能在課堂上較好地將微積分思想融入課堂教學當中，將有助于學生掌握微積分方法。本文結(jié)合大學物理中的經(jīng)典例題，闡述微積分在大學物理中的應用，為更好地提升學生解決物理問題水平及能力提供幫助。

關(guān)鍵詞：微積分? 導數(shù)? 無限分割? 微分方程

中圖分類號：O172? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2020）08（c）-0203-03

Abstract： College physics mainly studies vector and variable， and calculus is often used in the mathematical processing， which is quite different from middle school physics. If college physics teachers can better integrate calculus into classroom teaching， it will help students master calculus methods. In this paper， combined with the classic examples in college physics， the application of calculus in college physics is expounded， which can help to improve the ability of students to solve physics problems.

Key Words： Calculus; Derivative; Unlimited division; Differential equation

1? 微積分與物理學

17世紀時，在力學、光學、天文學等領(lǐng)域，人們面臨四類科學問題亟需解決，它們分別是求解曲線切線問題、計算曲線長度及面積問題、計算瞬時速度及加速度問題、求解最優(yōu)問題。在先輩們工作（如逼近法、割圓術(shù)等）基礎(chǔ)上[1]，經(jīng)過科學家們的努力，建立了現(xiàn)在稱之為微積分學的數(shù)學理論很好地解決了上述問題。微積分是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎(chǔ)學科，內(nèi)容主要包括極限、微分學、積分學及其應用[2]。

大學物理作為高等學校理工科專業(yè)學生必修的一門公共基礎(chǔ)課，在整個人才培養(yǎng)方案中占據(jù)基礎(chǔ)性關(guān)鍵性位置。該課程的開設，是為了打好理工科專業(yè)學生必要的物理基礎(chǔ)，幫助學生增強分析和解決問題能力，也為后續(xù)課程的學習打下堅實基礎(chǔ)[3]。近年來，為適應高等職業(yè)教育發(fā)展需要，各職業(yè)院校紛紛對人才培養(yǎng)方案進行修訂，著力進行課程教學改革，縮減部分基礎(chǔ)課程如大學物理課的學時。為應對學時不足，諸多院校不約而同地采用模塊化教學，針對不同專業(yè)選修相應內(nèi)容[4-6]。其中，力學及電磁學部分通常都作為必選部分。在這兩部分教學內(nèi)容中，涉及大量與微積分有關(guān)的公式，理論性強且較為抽象。學生在學習過程中普遍認為比較難，相當部分學生在短時間內(nèi)無法理解及掌握，只能依靠死記硬背，無法體會理論中所蘊含的物理之美，導致缺乏學習興趣。因此，如何在教學中更好地融入微積分思想，培養(yǎng)學生利用微積分分析及解決問題的能力，提高教學質(zhì)量，是大學物理教師要深入思考的問題。

2? 微積分在大學物理中的應用

大學物理比中學物理涵蓋范圍更廣，相應的物理理論及規(guī)律更具有普遍性。因此，在對物理概念、定理（定律）進行公式化描述時就采用微積分。如前所述，微積分包含微分和積分。在對問題進行分析時，將復雜過程進行無限分割，以適用于理想特殊條件即為微分，而把無限多個微分進行累積就是積分。換句話說，微積分方法就是先化整為零，再積零為整，實現(xiàn)復雜問題求解[7-8]。下面結(jié)合大學物理中力學、電磁學內(nèi)容的典型例題做簡要分析。

例題1.如圖1所示， 湖中有一小船，有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運動。設該人以勻速率v0收繩，繩不伸長且湖水靜止，試求小船的速率[9]。

解析：該例題在使用運動合成與分解方法求解時容易將合速度和分速度混淆。若能按照速度定義，采用導數(shù)方法，則很容易求解。按圖1中建立的坐標系，設t時刻，船位置坐標為x。由已知條件有，這里l表示船到滑輪間繩子長度，顯然它是隨時間發(fā)生變化的。則有，其中。整理可得，。故小船速率為，顯然是隨時間發(fā)生變化的。

例題2 一人從10.0m 深的井中提水，起始桶中裝有10.0kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏掉0.20 kg的水。試求水桶被勻速地從井中提到井口時拉力所作的功[9]。

解析：該例題涉及變力做功。若能利用微分方法，將路徑分成無窮多個小段，在每個小段上拉力近似看作恒力，則由恒力做功可計算出每段上所做的元功，然后對所有元功求和即為整個路徑上拉力所做的功。如圖2所示，由于水桶勻速向上運動，此時拉力與重力平衡即。重力與坐標y間關(guān)系為。則有：

由以上求解過程可以看出，當把路徑分割成無限小段時，每段上的拉力近似看作恒力即把變量看作是常量進行處理，使問題變得簡單了。實際上，利用微分方法在處理問題時常常是將一個整體分割成無窮多個小部分（如這里的路徑分割成小段），在每個小部分上相應的變量當做常量處理，使問題簡單化。在剛體力學部分求解轉(zhuǎn)動慣量時也常常采用這種方法，如圖3所示。圖3（a）中，先計算質(zhì)量元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，然后對所有質(zhì)量元的轉(zhuǎn)動慣量進行求和（λ=m/l）;圖3（b）中，圓盤質(zhì)量分布均勻可以看成由很多個小環(huán)帶構(gòu)成，先計算出每個環(huán)帶對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量，（），再對所有環(huán)帶轉(zhuǎn)動慣量求和

例題3、正電荷q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上。計算在環(huán)的軸線上任一點P的電場強度[9]。

解析：該帶電體系電荷分布連續(xù)，且電荷分布具有軸對稱，我們建立如圖坐標系。采用微積分方法，將帶電圓環(huán)分割成無限多個點電荷，每個點電荷帶電量，先計算出每個點電荷在P點激起的電場場，然后進行積分求出總的電場。與前面例2不同的是，電場強度是矢量，因此一般不直接進行求和積分，而是將在坐標軸上進行投影，求出各個投影分量再積分求出各個分量，最后合成求出總的電場強度。

利用點電荷場強公式有。由于，且電荷分布具有軸對稱，則有（如圖4所示），故

從本例題可以看出，在不能直接應用公式（如點電荷電場強度公式）進行電場強度求解時，應采用微積分思想解題即在滿足物理學原理前提下，按步驟建好坐標系及選擇恰當微元（如本例中的電荷元dq），寫出相應微分關(guān)系式并在特殊方向上進行投影，然后利用積分先求出各分量，最后再合成求解并討論。在大學物理磁場部分，利用畢奧-薩伐定律求解磁場強度、求解載流導線在磁場中受到的安培力等，也都會用到上述求解方法。因此，若能在教學過程中把握好這幾個求解環(huán)節(jié)，就能提高學生在大學物理中的求解及思考問題能力。

例題4勁度系數(shù)為k、原長為l、質(zhì)量為m的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運動，試求其運動方程。

解析：本例題是有關(guān)彈簧振子運動問題。一般教材介紹彈簧振子簡諧運動時都是將彈簧視為輕彈簧即忽略彈簧的質(zhì)量。若考慮彈簧質(zhì)量，振子運動情況又會如何，這是筆者在教學過程中學生提的較多問題之一。該問題可以從守恒量出發(fā)，得到振子運動滿足的微分方程，進而獲得振子運動詳情。

如圖5所示，彈簧自然伸長時所在位置取為坐標原點O。當振子運動到位置X時，彈簧固定端位移為零，而另一端位移為X。此時，原位于l處的彈簧質(zhì)元dl（其質(zhì)量為mdl/L）的位移為lx/L，速度為ldx/Ldt，則彈簧與振子的動能分別為：

系統(tǒng)彈性勢能為：EP=kx2/2。由于系統(tǒng)機械能守恒，則有：

兩邊對時間求導，可得，進而得到，其中。由此可知，當振子在做微小運動時，振子的運動可視為簡諧運動。由本例題可以看出，利用微分方程建立函數(shù)與自變量間的關(guān)系，從而求出各物理量間變化關(guān)系。微分方程在物理領(lǐng)域應用十分廣泛如量子力學中的一維、二維、三維諧振子模型等，因此掌握微分方程對學習大學物理至關(guān)重要。

3? 結(jié)語

本文通過具體例題分析了微積分在大學物理中的應用，為學生將微積分思想運用在變力做功、電場強度求解等問題有著一定指導作用，有助于學生理解并掌握微積分的思想，提升學生分析和解決問題的能力。

參考文獻

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