【摘 要】具有知識(shí)論、教學(xué)論、課程論以及哲學(xué)、歷史學(xué)等多維視角的HPM，有助于學(xué)生建構(gòu)包含系統(tǒng)思維、邏輯思維、抽象思維、發(fā)散思維、創(chuàng)造思維等多種思維在內(nèi)的全景式思維。教師應(yīng)在基于HPM視角培養(yǎng)學(xué)生的全景式思維方面做出自己的努力。

【關(guān)鍵詞】HPM;全景式思維;邏輯意識(shí);方法建構(gòu);跨界發(fā)展

【中圖分類號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1005-6009（2020）01-0047-03

【作者簡(jiǎn)介】陳小彬，江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)分校（江蘇常州，213161）科研中心主任，高級(jí)教師，常州市優(yōu)秀教育工作者。

美國(guó)數(shù)學(xué)史家莫里斯·克萊因提出：“歷史呈現(xiàn)了知識(shí)的來(lái)龍去脈，敘說(shuō)人類的認(rèn)識(shí)是如何步步深入的，在抽象的過程中我們就能體會(huì)和把握認(rèn)識(shí)提升的關(guān)鍵?！睌?shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)知識(shí)的起源、形成和發(fā)展，具有知識(shí)論、教學(xué)論、課程論以及哲學(xué)、歷史學(xué)等多維視角的HPM，已然成為幫助學(xué)生建構(gòu)包括系統(tǒng)思維、邏輯思維、抽象思維、發(fā)散思維、創(chuàng)造思維等多種思維在內(nèi)的全景式思維的有效途徑。

一、HPM與全景式思維

1972年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組（International Study Group on the Relations Between the History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM）。今天，我們通常也將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系這一學(xué)術(shù)領(lǐng)域本身稱為HPM。

基于HPM視角，帶領(lǐng)學(xué)生追根溯源，相對(duì)完整地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、衍化和發(fā)展的關(guān)鍵脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生多維度地認(rèn)識(shí)、理解、“刻畫”數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的全景式思維?；贖PM視角培養(yǎng)學(xué)生的全景式思維，需要教師引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)、每種數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史源頭開始研究，明晰或經(jīng)歷其產(chǎn)生和發(fā)展的關(guān)鍵過程。

二、基于HPM視角培養(yǎng)學(xué)生全景式思維的策略

（一）模塊重組：梳理數(shù)學(xué)史文化脈絡(luò)，喚醒學(xué)生全景式思維的邏輯意識(shí)

1.閱讀積淀，啟發(fā)學(xué)生思辨原點(diǎn)。

通過閱讀生動(dòng)、豐富的數(shù)學(xué)歷史故事，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中若干重要人物、重要事件與重要成果，初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過程，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家鍥而不舍的探索精神和嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。蘇教版1 ～ 6年級(jí)12冊(cè)教材一共安排了65個(gè)“你知道嗎？”內(nèi)容，展示了一些數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)趣聞、數(shù)學(xué)史料和數(shù)學(xué)應(yīng)用案例等，可以借此帶領(lǐng)學(xué)生開展豐富多彩的數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)，讓學(xué)生初步了解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史背景，感知數(shù)學(xué)在人類社會(huì)進(jìn)步和文明發(fā)展中的作用，欣賞數(shù)學(xué)的美。

2.創(chuàng)設(shè)情境，搭建學(xué)生思考支架。

教學(xué)時(shí)，把一些知識(shí)點(diǎn)置于具體的史料情境中，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、比較、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，有助于他們實(shí)現(xiàn)古今知識(shí)的對(duì)接，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容及其實(shí)質(zhì)的理解。例如：教學(xué)蘇教版五上《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》一課時(shí)，可以以負(fù)數(shù)歷史演變的情境引入新課——我國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，李悝在《法經(jīng)》中說(shuō)“衣五人終歲用千五百不足四百五十”。成書于公元一世紀(jì)左右的《九章算術(shù)》中記載：“糧食入倉(cāng)為正，出倉(cāng)為負(fù)，收入的錢為正，支出的錢為負(fù)?！苯柚湃说闹饔^表達(dá)幫助學(xué)生理解負(fù)數(shù)，然后與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活中直觀的溫度計(jì)、海拔進(jìn)行比較，尋找共同點(diǎn)，幫助學(xué)生深入理解負(fù)數(shù)。這樣教學(xué)，順應(yīng)人類思維發(fā)展規(guī)律，為學(xué)生搭建起了思考的支架，在一定程度上促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)理解。

3.復(fù)現(xiàn)歷史，助推學(xué)生思維生長(zhǎng)。

美國(guó)教育心理學(xué)家奧蘇貝爾指出：要根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行教學(xué)。原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響的變量主要有三個(gè)，即可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性。在教學(xué)過程中重演歷史，幫助學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而清晰地辨別原有知識(shí)和新知識(shí)的異同點(diǎn)，并按照一定的結(jié)構(gòu)嚴(yán)密地組織起來(lái)。如此，面對(duì)新的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生便能迅速地在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到學(xué)習(xí)新知識(shí)的固定點(diǎn)，從而順利實(shí)現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)向?qū)W生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)充和新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立。例如：教學(xué)蘇教版四下《三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》一課，計(jì)算123×24，就可以引導(dǎo)學(xué)生將古今中外的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比（如圖1）。

通過重演123×24計(jì)算的歷史，可以溝通古代印度、古代中國(guó)、當(dāng)今中國(guó)的豎式計(jì)算方法，讓學(xué)生在古今中外數(shù)學(xué)知識(shí)互相作用的基礎(chǔ)上，將所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)形成系統(tǒng)，從而在頭腦中形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)板塊，呈板塊結(jié)構(gòu)狀態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)不僅便于儲(chǔ)存，還便于提取，是一個(gè)不斷發(fā)展、變化的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，更是學(xué)生思維的生長(zhǎng)點(diǎn)。

（二）系統(tǒng)重構(gòu)：鏈接古今數(shù)學(xué)方法，指向?qū)W生全景式思維的方法建構(gòu)

1.追本溯源，尋找學(xué)生概念建構(gòu)的契合點(diǎn)。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方式包括概念的形成與概念的同化。概念的形成揭示的是各種概念是如何通過個(gè)體思維的活動(dòng)轉(zhuǎn)化為個(gè)體所掌握的概念的過程，它一般要經(jīng)歷“辨別—分化—類化—抽象—檢驗(yàn)—概括—形式化”的過程。概念的同化實(shí)際上就是利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)過程。在概念的建構(gòu)過程中，以追本溯源的方式學(xué)習(xí)關(guān)鍵概念，有助于學(xué)生重組經(jīng)驗(yàn)世界、拓展認(rèn)知疆域、提升數(shù)學(xué)思維。例如：教學(xué)蘇教版四上《認(rèn)識(shí)平行》，課始，課件演示鉛筆盒不小心從桌子上掉下去，掉出兩支鉛筆，出現(xiàn)兩種情況——一種是兩支鉛筆都掉到了地上;一種是一支鉛筆掉到了地上，一支鉛筆掉到了椅子上。兩支鉛筆都在地上，在數(shù)學(xué)里我們就說(shuō)“兩條直線在同一平面內(nèi)”。接著出示——早在3000多年前，我國(guó)《墨經(jīng)》說(shuō)：“平，同高也”“平，謂臺(tái)執(zhí)也，若兄弟”。拓展學(xué)生的平面知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)平行和平面知識(shí)概念的建構(gòu)。

2.歷史相似，勾連數(shù)學(xué)家錯(cuò)誤與學(xué)生錯(cuò)誤的融合點(diǎn)。

學(xué)生的理解具有歷史相似性。學(xué)生當(dāng)下遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長(zhǎng)期思索和探討后所克服的實(shí)際困難。困擾古人的問題往往也會(huì)困擾學(xué)生，學(xué)生在其發(fā)展過程中會(huì)以類似的方式來(lái)克服類似的困難?？v觀數(shù)學(xué)科學(xué)不斷展拓的歷程，以此反觀現(xiàn)實(shí)中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。教師可以通過關(guān)注歷史上“數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤”，深刻理解并正確對(duì)待今天課堂上學(xué)生出現(xiàn)的類似錯(cuò)誤，尋找錯(cuò)誤的同源性，對(duì)癥下藥，勾連數(shù)學(xué)家錯(cuò)誤與學(xué)生錯(cuò)誤的融合點(diǎn)。

（三）項(xiàng)目推進(jìn)：實(shí)踐探索聚焦本質(zhì)，推進(jìn)學(xué)生全景式思維的跨界發(fā)展

1.序列研究，催生知識(shí)與思維的層級(jí)遞進(jìn)。

序列研究是對(duì)不同年齡組的被試進(jìn)行橫向研究，然后在間隔一定時(shí)間后，對(duì)同一批被試進(jìn)行一次或多次重復(fù)研究，從而構(gòu)成縱向研究，是橫向研究與縱向研究的結(jié)合。開展序列研究可以帶給學(xué)生探索的體驗(yàn)、創(chuàng)新的嘗試、實(shí)踐的機(jī)會(huì)和發(fā)展的能力。例如：筆者以蘇教版五上“面積”為主題，帶領(lǐng)學(xué)生開展了序列研究活動(dòng)。通過引導(dǎo)學(xué)生多角度地進(jìn)行“面積”的序列研究，把學(xué)生置于歷史的時(shí)空，溝通了平面圖形、立體圖形的面積的相關(guān)知識(shí)，對(duì)接了數(shù)學(xué)中面積的相關(guān)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，在不知不覺中發(fā)展了學(xué)生以空間形式和數(shù)量關(guān)系為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)為思維載體，以認(rèn)識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的數(shù)學(xué)思維。主要研究過程如下：

研究1：我來(lái)說(shuō)面積。查找面積相關(guān)的史料，再以故事的形式講一講面積，介紹有關(guān)面積的前世今生。

研究2：三角形的面積研究。學(xué)生以小組為單位，用多種方法研究梯形、三角形的面積計(jì)算公式。

研究3：圓的面積研究。不管哪一種研究路徑，曲邊圖形向直邊圖形的轉(zhuǎn)化都是圓面積探索中無(wú)限圖形序列的終極狀態(tài)，也就是無(wú)窮系列的極限。

（1）課堂研究：

（2）劉徽方法：? （3）印度圓：S=rc÷2=πr2

（4）教材呈現(xiàn)：

2.跨界融通，啟動(dòng)創(chuàng)造與思維的深度開發(fā)。

所謂跨界，是指突破原有行業(yè)的慣例和常規(guī)，通過嫁接其他行業(yè)的理念和技術(shù)實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新和突破的行為。在數(shù)學(xué)史料視野下，筆者認(rèn)為，要關(guān)注學(xué)生的深度需求，構(gòu)建線上、線下相融合的學(xué)習(xí)模式，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置于大研究的背景下，讓體驗(yàn)、操作、猜想、合作、交流成為學(xué)生學(xué)習(xí)的常態(tài)。如教學(xué)蘇教版五上《校園綠地面積》一課，教師將學(xué)生分成四人小組，并布置了幾個(gè)任務(wù)：（1）了解我國(guó)有哪些傳統(tǒng)的面積單位（如畝、分等），以及與我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的國(guó)際通用單位之間有什么聯(lián)系;（2）每個(gè)小組實(shí)地勘察，按照1︰100的比例尺繪制校園平面圖;（3）測(cè)量校園綠地面積，填寫調(diào)查表;（4）開展校園一景寫生活動(dòng);（5）設(shè)計(jì)校園綠地;（6）對(duì)校園綠地建設(shè)提出改進(jìn)建議。在上述活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了查閱史料、實(shí)際勘察、測(cè)量、應(yīng)用公式計(jì)算等學(xué)習(xí)過程，甚至為了計(jì)算圓的面積計(jì)算公式，自覺超前學(xué)習(xí)，進(jìn)一步鞏固面積的相關(guān)知識(shí)，拓展了他們學(xué)習(xí)、研究的視野。通過開展校園景色寫生、設(shè)計(jì)校園綠地、對(duì)校園綠地建設(shè)提改進(jìn)建議等活動(dòng)，讓學(xué)生將閱讀、研究、實(shí)踐、寫作融為一體，不斷構(gòu)建學(xué)習(xí)能力的關(guān)聯(lián)性模型。

總之，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅能促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，還能為其學(xué)習(xí)的遷移提供潛在的支持，激發(fā)學(xué)生各種思維能力協(xié)同發(fā)展，推動(dòng)學(xué)生各種智力因素和非智力因素協(xié)調(diào)發(fā)展，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的全景式發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]斯特科.數(shù)學(xué)史[M].侯德潤(rùn)，張?zhí)m，譯.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2010.

[2]汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[3]蔡宏圣.數(shù)學(xué)史：走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016.