【摘 要】統(tǒng)計知識的習得與數(shù)據(jù)分析觀念的形成已成為當今社會每個公民不可或缺的基本素養(yǎng)。平均數(shù)的教學是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念的重要載體，它作為一種常用的統(tǒng)計量，其本質是它的代表性，反映了一組數(shù)據(jù)的整體水平。在教學中，我們應注重激活學生的已有經(jīng)驗，利用可觀可感的生活情境，幫助他們觸摸平均數(shù)的本質，感受平均數(shù)的基本特性，進而培養(yǎng)他們的數(shù)據(jù)分析觀念。

【關鍵詞】平均數(shù);整體水平;知識本質;數(shù)據(jù)分析觀念

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）01-0071-05

【作者簡介】周衛(wèi)東，南京市長江路小學（南京，210018）校長、黨支部書記，高級教師，江蘇省數(shù)學特級教師，“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。

【背景】

平均數(shù)的學習有三種不同的水平：一是計算水平，重平均數(shù)的實際應用——學會求平均數(shù);二是概念水平，重解釋平均數(shù)的實際意義——知道反映總體水平;三是統(tǒng)計水平，重平均數(shù)的深度解釋與應用——理解平均數(shù)的統(tǒng)計學意義及一些特有屬性。我們可以把這三種水平放在“平均數(shù)”主題單元教學的框架下思考，正好契合學生深入理解平均數(shù)的認知過程。對于平均數(shù)的教學，關鍵是要思考如何在“平均數(shù)”的主題下設計認知序列，讓學生的學習契合他們的認知規(guī)律，從而達成完整、豐滿的認知。

美國學習研究專家約翰·D·布蘭思福特等人在《人是如何學習的：大腦、心理、經(jīng)驗及學?！芬粫兄赋觯骸氨仨氂蒙倭恐黝}的深度覆蓋去替換學習過程中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得一些關鍵概念得到理解。”筆者認為，教師對平均數(shù)的教學不能囿于課本，淺嘗輒止，而應該讓知識的本質活起來，讓學生的思維動起來、情感亮起來，從而使學生充分享受數(shù)學之于知識世界與人生世界的美好。

本課定位于平均數(shù)第三種水平的教學，即統(tǒng)計水平的教學。相較于平均數(shù)的第一次認識而言，本課的立意和追求更高些：其一，讓學生進一步理解平均數(shù)的意義，即表示一組數(shù)據(jù)的整體水平，在具體的情境中鞏固平均數(shù)的計算方法;其二，引導學生在鮮活的生活場景中理解平均數(shù)的特性，如趨中性、敏感性等，進而培養(yǎng)一定的數(shù)據(jù)分析觀念;其三，激發(fā)學生熱愛生活、向往真善美的情感，體現(xiàn)學科育人的根本價值。因教學目標不同，此課時課題定為《平均數(shù)的再認識》，建議在學生學過教材內容“平均數(shù)”之后進行教學。

【教學過程及分析】

一、談話引入，孕伏概念

課前，教師板書：考得怎么樣？

師（出示考試畫面）：這是周老師教的四（3）班同學上學期期末考試時的一個鏡頭。等他們考試結束，我就忙起來了，猜猜看，我在干什么？

生：登記分數(shù)，批試卷，分析試卷……

師：都沒猜對哦！其實周老師正在跟人聊天呢！你猜，我在跟誰聊天？

生：跟其他老師聊天，跟家長聊天，向領導匯報……

師：的確，我正和我們宋校長QQ聊天呢。想不想看看我們的聊天記錄？（出示圖1）

美國教育家杜威在《思維與教學》一書中說：“在學校里，學生思維訓練失敗的最大原因，也許在于不能保障在校外實際生活那樣，有可以引起思維的經(jīng)驗和情境?！闭鎸嵉膶W習就是要讓學生在真實的學習情境中學習解決真實世界問題的方法，在完成真實世界任務的過程中習得知識、獲得理解、豐富交往、形成品格。“平均數(shù)”誕生于解決實際問題的土壤里，只有真實的生活情境才能讓它的意義得以生成與解釋。本環(huán)節(jié)截取了一則學生學習環(huán)境中常見的考試場景，巧妙孕伏需要提煉的“平均數(shù)”話題，蓄勢待發(fā)，巧妙自然，“課初始，趣亦生”。

二、逐步逼近，生成概念

師：看了剛剛的聊天記錄，你認為四（3）班這次數(shù)學考得怎么樣？

生：考得還行吧，因為不及格的人很少;有進步，上次那個不及格的同學及格了;還需要進一步努力，畢竟班上還有一個不及格的……

師：在剛剛的交流中，有的說考得還行，有的說有進步，好像還沒形成一個相對統(tǒng)一的意見。那么，僅僅靠這三句話，能判斷我們班考得怎么樣嗎？

生：不能，信息太散了。

師：是的！于是宋校長又問——那班級整體水平怎樣？（板書：整體水平）

師：宋校長究竟是什么意思呢？

生：想知道全班每個人的分數(shù)，想知道全班的總分，想知道班級的平均分……

師：你們同意誰的說法？

生（異口同聲）：平均分。

師：是的，表示整體水平的統(tǒng)計量有很多，平均數(shù)是最常用的一種。這次四（3）班考試的平均分就是一種平均數(shù)。不過，我的試卷統(tǒng)計工作還沒進行到這一步，才有了分段統(tǒng)計表。（出示圖2）

師：根據(jù)這個分段統(tǒng)計表，大膽猜一猜，這次考試的平均分是多少？

生（紛紛猜）：90、93、85、86、89、87……

師：僅憑分段統(tǒng)計表，能知道準確的平均分嗎？怎樣才能知道準確的平均分呢？

生：把每位同學的分數(shù)加起來，除以人數(shù)。

師：也就是把所有人的分數(shù)先合起來，然后再除，也可以說“先合后分”。（介紹Excel表格后，現(xiàn)場利用Excel表格求出平均分）平均分是多少？（86分）剛剛哪位同學猜得最準？

此環(huán)節(jié)采取“遠鏡頭漸進”的方式，從三句話切入，讓學生在自由評價中感受內容的零散與游離，從而體會到“平均數(shù)”產(chǎn)生的必要性，然后根據(jù)分段統(tǒng)計表呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)對平均分進行大膽猜測，提升了學生對數(shù)據(jù)進行科學預測與分析的能力。

三、巧妙對比，理解本質

師：算出了平均數(shù)，我們再來看這個頁面，這個紅色的86是平均數(shù)，好好觀察，這個表格中還有一個黑色的86，在哪兒？

生：24號同學的考分。

師：想想，這兩個86一樣嗎？

生：不一樣，黑86是24號同學自己的分數(shù)，紅86是全班同學的平均分。

師：誰還有更進一步的補充？

生：這兩個86表示的意義也不一樣，一個表示個人的，一個表示整體的。

師：是的，相同的兩個數(shù)，表示的意義不同。那么，有了個人的86，為什么還要全班的86呢？這個紅86到底有什么用？

生：個人的分數(shù)用來與個人比，表示整體水平的86可以用來與整體比，還可以用來把班上每個學生的成績與它比較，看看他們在班上所處的位置;如果考卷相同，這個平均分還可以用來與上一屆四年級進行比較，看哪一屆考得更好。

師：是啊，平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，便于我們進行各方面的比較，解決多種問題。

杜威在《我們怎樣思維·經(jīng)驗與教育》一書中指出：“兒童概念的形成，起初并不是從許多現(xiàn)成的事物中抽出一個共同的意義，而是把舊有經(jīng)驗中的結果運用于新的經(jīng)驗中，以便幫助他理解和處理新的問題。”此環(huán)節(jié)圍繞“這兩個86一樣嗎？”這個問題進行深度探問，充分激活學生的已有經(jīng)驗，使其對表示班級整體水平的平均分的作用有了更加準確、生動的理解，為學生全面理解“平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的整體水平”創(chuàng)造了良好的學習載體。

師：同學們，Excel表格還可以把這些分數(shù)轉化為條形統(tǒng)計圖，用直條表示全班的分數(shù)情況。（讓學生想象后給出統(tǒng)計圖，出示圖3）

師：這條紅色的虛線表示平均分，你覺得把它放在圖中什么地方最合適？

生（上臺指80到90之間）：因為平均分是86分。

師：是的，在80到90之間。還有不同的想法嗎？

生：和24號同學的直條一樣高，因為平均分和他的分數(shù)一樣，都是86分。

師：觀察得真仔細，他巧妙地利用24號同學的成績，精準找到了平均分的位置。

師（指54分處）：如果有同學把這條線放在這兒，你們同意嗎？說說你的想法。

生：不合適，這是最低水平。

師（指100分處）：那放這兒是什么水平？

生：最高水平。

師：你們覺得整體水平在怎樣的范圍內？

生：最高和最低之間。

師：是的，平均數(shù)處在最高和最低水平之間的范圍內，這是平均數(shù)的一個重要特性，在數(shù)學上叫作趨中性。

師：同學們，聊到這兒，我想起件事也要向校長報告一下。我們班小范同學生病請假了，沒參加考試。站在校長的角度，你會怎么想？

生：小范平常的水平怎么樣？小范如果參加考試，對整體水平有什么影響？……

師：很有數(shù)據(jù)分析意識哦，跟校長的想法差不多。校長是這樣說的——他如果參加考試，對整體水平有影響嗎？小組討論后匯報。

生1：有兩種可能，考得好的話，整體水平會上升;考得不好的話，整體水平會下降。

生2：還有第三種情況，如果小范的考分和平均分一樣的話，就沒有影響。

師：同學們想象一下，如果小范考了86.5分，對平均分有影響嗎？如果是86.1分，有影響嗎？如果是85.9分，有影響嗎？

師：盡管只是高了或低了那么一點點，但都會對平均分有影響。正如一位數(shù)學家所說——平均數(shù)很敏感，一有風吹草動，它就有變化。這是平均數(shù)的另一個重要特性，叫敏感性。

充分挖掘數(shù)據(jù)中蘊藏著的大量信息，驅動學生的思維往寬處走、往深處探，努力彰顯數(shù)學教學無窮的魅力。本環(huán)節(jié)中，借助Excel表格的繪圖功能，形象直觀地呈現(xiàn)全班考試成績的數(shù)據(jù)分布。找到平均分所處的位置之后，再與表示最低分與最高分的兩根虛線比較，讓學生感受到平均數(shù)的趨中性;同時，通過對小范考分的多次假設，讓學生深刻體悟平均數(shù)的敏感性。

四、情境重現(xiàn)，深度思考

師：上學期結束時，小范參加了補考，考了60分。班上有個小孫同學說，小范，如果你考100分，班級總分就能提高40分，正好分給其他40個同學，那班級平均分就提高1分了。對于這樣的想法，你們同意嗎？

生：他分40分的時候把小范漏掉了，全班一共有41人，要分給41個同學。

師：是呀，多出的40分要平均分給41個同學，沒有1分。

師：在我們學校，并不僅僅通過考分來評定一個學生的數(shù)學期末成績，而是通過星級評價來評定。

師（出示圖4）：算算平均星級是多少。

師：平均星級8顆星，這個8是怎么來的？

生：把四項的星加起來再除以4得到的。

師：懂你的意思，是先合后分，還有不一樣的想法嗎？

生：4個數(shù)中，有兩個8，把最多的10移2給6，就都是8了。

師：把多的移給少的，叫移多補少。求平均數(shù)有這樣兩種基本方法——先合再分和移多補少。

師：小范其實是一個全面發(fā)展的同學，在學期結束階段，他幫學校做了許多事。（呈現(xiàn)三個情境，如下頁圖5）好好想想，你覺得這三件事中哪些跟我們今天研究的平均數(shù)有關？

生1：①和③。

生2：我覺得②也是。

師：①的平均數(shù)在哪兒？

生：三次總成績除以3。

生3：我參加過立定跳遠，立定跳遠成績由自己的最高水平?jīng)Q定，所以①與平均數(shù)無關。

師：生活經(jīng)驗真豐富，為你點贊！

生：③與平均數(shù)有關，在5個評委的分數(shù)中還要去掉一個最高分和一個最低分。最高和最低是兩個極端數(shù)據(jù)，對平均數(shù)會有影響。

師：再看看②，與平均數(shù)有沒有關系？

生：有關系，10個班的人數(shù)雖然不一定都是一樣的，但平均下來大約是40人。

師：是啊！小范用了算式10×40，10表示班級數(shù)，40表示各班級的平均人數(shù)，他巧妙應用了根據(jù)平均數(shù)來算總數(shù)的原理。

此環(huán)節(jié)既讓學生在巧妙的情境中鞏固了“平均數(shù)”的兩種基本算法（先合后分與移多補少），又讓學生在復雜的情境中理解了“參考人數(shù)變化了，平均分也要變化”的多維思考。更重要的是，給學生呈現(xiàn)了三則生活場景，使學生對平均數(shù)本質的理解躍升到了一個全新的高度。

五、故事結尾，升華價值

師：最后給大家講一個故事——“埃蒙斯的最后一槍”。埃蒙斯一生中參加過三屆奧運會。第一次，2004年雅典奧運會的決賽階段，他前9槍優(yōu)勢明顯，還剩最后一槍。結果站在2號靶位的他把子彈打到了3號靶位，最后得了0環(huán)，從而與冠軍失之交臂。2008年的北京奧運會，他又來了，前9槍的平均成績是10.1環(huán)，最后一槍卻打了4.4環(huán)，又一次與冠軍錯過了。2012年的倫敦奧運會，驚人的巧合，前9槍的平均成績是10.0環(huán)，最后一槍7.6環(huán)，再一次功虧一簣。三次奧運，都因為最后一槍的成績太差而與金牌擦肩而過。聽了這個故事？你有什么感想？

生：極端數(shù)據(jù)容易影響平均數(shù)，所以我們要盡可能走好每一步;有時候就差那么一點點細微的東西，就會與重要的事物擦肩而過;關鍵時刻不能掉鏈子……

師：感悟得真深刻呀！同學們，當我們都在為埃蒙斯惋惜時，他說，他們笑話我，無所謂，再來過，我知道我人生的唯一責任，就是在活著的時候永遠竭盡全力！同學們，我們生活中也有很多考場，也有很多平均數(shù)，這其中的道理需要我們日后慢慢體會。

談到“深度學習”，北京師范大學郭華教授認為：深度學習“深”在哪里？首先“深”在人的心靈里，“深”在人的精神境界上，還“深”在系統(tǒng)結構中，“深”在教學規(guī)律中。本環(huán)節(jié)，通過“埃蒙斯的最后一槍”這一真實故事，讓學生不僅從平均數(shù)的角度理解極端數(shù)據(jù)可能給平均數(shù)帶來的影響，還從生活的角度感悟到“要盡可能走好每一步”“關鍵時刻不能掉鏈子”等一些做人做事的樸素道理，叩中了學生的靈魂，激活了學生的情感，真正落實了從“數(shù)學教學”走向“數(shù)學教育”這一根本性要求。