張 蕾, 郝丹輝, 強(qiáng)穩(wěn)朝

(1 西安建筑科技大學(xué)華清學(xué)院, 陜西 西安 710043;2 西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710055)

1 引 言

量子糾纏是一種重要的量子力學(xué)現(xiàn)象,作為量子信息科學(xué)中的基本資源,有其重要的應(yīng)用。例如:量子通信[1]、量子密鑰[2]、量子隱形傳送[3]、量子稠密編碼[4]等。常見的量子糾纏態(tài)有:EPR 態(tài)[5]、GHZ態(tài)[6]和W 態(tài)[7]、Cluster 簇態(tài)[8]等,然而多粒子糾纏態(tài)與兩粒子糾纏態(tài)相比有更強(qiáng)的量子非局域關(guān)聯(lián),在量子信息處理中更具優(yōu)勢。在三量子體系中,研究最多的兩類糾纏態(tài)是GHZ 態(tài)和W 態(tài),兩者之間不能通過局域操作和經(jīng)典通信(LOCC)相互轉(zhuǎn)換。兩者相比,W 態(tài)攜帶信息更穩(wěn)定,在量子比特丟失方面抵抗性強(qiáng),而且在量子網(wǎng)絡(luò)匿名傳輸和最優(yōu)量子普適克隆機(jī)[9]構(gòu)建中扮演著重要角色?？梢?W 糾纏態(tài)的制備及其應(yīng)用的研究具有非常重要的學(xué)術(shù)意義和實(shí)用價(jià)值。近幾年,人們研究了很多種關(guān)于糾纏態(tài)制備的方法,主要有: 核磁共振、腔QED[10]、離子阱[11]、超導(dǎo)量子干涉儀[12]等。還有較多研究是基于腔QED 通過原子與腔共振相互作用制備W 糾纏態(tài)的[13～17],在此類W 糾纏態(tài)制備過程中最主要的障礙就是腔場的消相干(耗散),同時(shí)對腔的品質(zhì)要求很高。還有較多研究是基于腔QED,通過原子與腔大失諧(非共振)相互作用來制備W 糾纏態(tài)[18～20],采用大失諧相互作用的優(yōu)點(diǎn)是: 有效克服了光腔的消相干,腔的耗散和熱輻射對系統(tǒng)影響小,對腔的Q 值要求不高,并且針對腔QED 雙光子過程比單光子過程更有優(yōu)勢[21],使得方案更易于在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)。

以上研究都是利用一個(gè)原子與三或四個(gè)腔場相互作用,本文提出一個(gè)基于腔QED,并利用三個(gè)全同三能級原子與一個(gè)腔場非共振相互作用制備三原子W 糾纏態(tài)的方案。該方案中,最初三個(gè)原子分別處于激發(fā)態(tài)和基態(tài),腔場處于真空態(tài),三個(gè)原子先后被送入該腔場,選擇合適的原子與腔場之間的相互作用時(shí)間就可獲得W 糾纏態(tài)。進(jìn)而討論了該方案的實(shí)驗(yàn)可行性,研究還發(fā)現(xiàn)在耦合常數(shù)不同的情況下,失諧量對保真度的影響程度不同。

2 理論模型及數(shù)值計(jì)算

要構(gòu)建的W 糾纏態(tài)為

式中1、2、3 表示三個(gè)原子。在Jaynes-Cummings 模型中,通過雙光子過程,描述一個(gè)三能級原子與單模腔場作用,在旋波近似下,相互作用繪景中,有效哈密頓量可表示為[18,22]

Fig.1 給出了三能級原子與單模腔場作用的原理圖。其中Ω 是腔場頻率,ωe、ωf、ωg分別是對應(yīng)于原子能級|e〉、|f〉、|g〉的頻率,則整個(gè)系統(tǒng)的態(tài)隨時(shí)間的演化可表示為

由薛定諤方程以及(2)式、(4)式,可得到微分方程

Fig.1 Schematic of three-level atom interacting with a single-mode cavity field

假定原子與腔場的初始態(tài)(初始時(shí)間t=0)為

式中Cn(0)表示初始場態(tài)的振幅,Ca(0)(a = e, f,g)為初始原子態(tài)(歸一化)|χ〉 =Ce|e〉+Cf|f〉+Cg|g〉的振幅。根據(jù)這些初始條件,解薛定諤方程,可得到系數(shù)

假定與腔場作用的第一個(gè)原子1 和第二個(gè)原子2 均處在激發(fā)態(tài),原子3 處在基態(tài),腔場最初處在真空態(tài)。首先,將第一個(gè)原子1 注入腔中,與腔場作用時(shí)間t1,則系統(tǒng)的態(tài)將演化為

式中C(u,v)x,y表示(7)～(9)式中的系數(shù),考慮到系統(tǒng)最初態(tài)處在(u, v), x、u 代表原子所處態(tài),y、v 代表腔場所處態(tài)。

隨后將第二個(gè)原子2 注入腔中,作用時(shí)間為t2后離開;再將第三個(gè)原子注入腔中,并與腔作用t3時(shí)間后,系統(tǒng)態(tài)可演化為

若探測腔場處于雙光子態(tài)|2〉,此時(shí)系統(tǒng)將塌縮為

其成功概率為

另外,該方案還可推廣至制備任意分權(quán)重的W 態(tài)。假設(shè)該W 態(tài)的形式為

則通過該方案可獲得的對應(yīng)的保真度為

3 數(shù)值分析及討論

當(dāng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)g1= g2= g = 17.5 MHz,失諧量δ = 9.95g,選擇的是主量子數(shù)為n ～90 的里德堡原子,原子與腔場相互作用時(shí)間t1=4μs,t2=70.38μs,t3=78.25μs,可得到該態(tài)的保真度為98.0%、相應(yīng)的成功概率為51.7%,如Table 1 所示。當(dāng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)g1= g2= g= 17.5 MHz,失諧量δ= 30g,原子與腔場相互作用時(shí)間t1= 1μs,t2= 40.8μs,t3= 21.4μs,可得到該態(tài)的保真度為99.3%、相應(yīng)成功概率為57.7%,如Table 2 所示。Fig.2 更加直觀與形象地反映了保真度隨腔場與原子相互作用時(shí)間的變化關(guān)系。Fig.2(a)表示當(dāng)g = 17.5 MHz、δ = 9.95g、t1= 4μs 時(shí),其保真度隨t2、t3的變化曲線;Fig.2(b)表示當(dāng)g = 17.5 MHz、δ = 30g、t1= 1μs 時(shí),其保真度隨t2、t3的變化曲線。在制備三原子W 態(tài)的過程中,只需要在第三個(gè)原子離開腔之前保持腔場的相干性。整個(gè)過程所需的時(shí)間約為10?4s,遠(yuǎn)小于腔場的有效衰減時(shí)間。因此,在當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)條件下可實(shí)現(xiàn)該方案。

Table 1 Fidelity and corresponding success probability under different t1, t2 and t3 with g=17.5 MHz and δ=9.95g

Table 2 Fidelity and corresponding success probability under different t1, t2 and t3 with g=17.5 MHz and δ=30g

當(dāng)耦合常數(shù)g=1 MHz,原子與腔場作用時(shí)間為t1=6μs、t2=19.7μs、t3=4.2μs 時(shí),保真度隨著δ的增大出現(xiàn)了不規(guī)則的振蕩,如Fig.3(a)所示,并且振蕩的周期在逐漸增大,但整體趨勢上保真度隨著δ的增大在減小;當(dāng)耦合常數(shù)g=17.5 MHz,原子與腔場作用時(shí)間為t1=4μs、t2=40.95μs、t3=54.75μs時(shí),如Fig.3(b)所示,保真度隨δ 的變化也出現(xiàn)了振蕩,隨著δ 的增大,振蕩的周期變化不是很明顯,振蕩的幅度與Fig.3(a)相比整體上較為穩(wěn)定?？梢?耦合常數(shù)的不同使得失諧量對保真度的影響程度不同,但當(dāng)失諧量δ=0 時(shí),Fig.3(a)和Fig.3(b)中對應(yīng)的保真度都為最大。

Fig.2 Fidelity versus t2,t3 for a fixed interaction time t1.(a)g=17.5 MHz,δ=9.95g,t1 =4μs;(b)g=17.5 MHz,δ=30g,t1 =1μs

Fig.3 Fidelity versus the detuning δ. (a)g=1 MHz,t1 =6μs,t2 =19.7μs,t3 =4.2μs;(b)g=17.5 MHz,t1 =4μs,t2 =40.95μs,t3 =54.75μs

4 結(jié) 論

基于腔QED 提出了一種通過雙光子過程、利用三個(gè)全同Ξ 型三能級原子與一個(gè)單模腔場非共振相互作用制備出具有最大保真度W 糾纏態(tài)的方案,分析和討論了該方案的實(shí)驗(yàn)可行性以及失諧量對其保真度的影響,結(jié)果表明:1)當(dāng)原子與腔場之間相互作用時(shí)間不同時(shí),獲得W 糾纏態(tài)的保真度以及相應(yīng)的成功幾率不同,通過合適選擇相互作用時(shí)間可得到具有最大保真度的糾纏態(tài),并且整個(gè)過程所需的時(shí)間10?4s 遠(yuǎn)小于腔場的衰減時(shí)間,因此,在當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)條件下該方案可實(shí)現(xiàn);2)在耦合常數(shù)不同的情況下,保真度隨著δ 的增大均出現(xiàn)了不同程度的振蕩,可見,耦合常數(shù)的不同使得失諧量對保真度的影響程度不同。另外,根據(jù)該方案可以將其推廣至制備任意分權(quán)重的W 態(tài)。