陳逸嘉，何洪仁，邱孝兵，鄧慧文，趙蕓赫

“雙球飛石索”的物理模型及影響其繞軸纏繞圈數(shù)的因素

陳逸嘉1，何洪仁1，邱孝兵1，鄧慧文1，趙蕓赫2

（1.四川省成都市溫江中學(xué)，四川 成都 611130；2.首都師范大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100048）

為“雙球飛石索”這一傳統(tǒng)狩獵工具建立了一個(gè)簡化的物理模型，對該模型中重物迅速靜止的現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析與實(shí)驗(yàn)研究。從理論上分析了雙球飛石索的動(dòng)力學(xué)過程，并用Matlab軟件數(shù)值求解了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的有效性。通過控制變量實(shí)驗(yàn)，探究了釋放角度、輕重物質(zhì)量之比、繩長、繩與桿的摩擦因數(shù)4個(gè)自變量對輕物端細(xì)線繞桿圈數(shù)的影響，得到的4個(gè)自變量對其影響的變化關(guān)系也與理論預(yù)測較為相符。

雙球飛石索；運(yùn)動(dòng)軌跡；繞桿圈數(shù)；狩獵工具

雙球飛石索是一種古代的經(jīng)典狩獵工具，一根麻繩的兩端點(diǎn)上纏繞固定兩個(gè)石頭就構(gòu)成了其基本結(jié)構(gòu)，如圖1所示。古時(shí)候的狩獵者往往騎在飛馳的馬匹上，瞄準(zhǔn)獵物拋出飛石索，纏繞鎖住獵物的腳或者脖子，其利用的原理正是自身結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)纏繞特性。

圖1 雙球飛石索簡圖

本文在對飛石索狩獵這一工具的研究中，將其簡化為豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，其大致的運(yùn)動(dòng)過程為：將一根兩端分別固定了輕重兩物的長細(xì)繩掛在任意水平桿上，用手下拉輕物并吊起重物，釋放輕物，它即會(huì)繞桿掃動(dòng)，短暫時(shí)間后重物會(huì)突然停止下落，輕物及輕物端細(xì)繩繼續(xù)繞桿旋轉(zhuǎn)直至完全纏繞在水平桿上，便達(dá)到阻止重物落向地面的目的。該現(xiàn)象中由輕重兩物及細(xì)繩組成的系統(tǒng)即為在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的雙球飛石索模型。本文對上述現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析并建立理論模型，將得到的動(dòng)力學(xué)方程在Matlab中擬合，調(diào)整相關(guān)參數(shù)得出雙球飛石索的軌跡動(dòng)態(tài)圖，將其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比。通過實(shí)驗(yàn)探究了繞桿圈數(shù)與各變量之間的關(guān)系，這些結(jié)論在高空救援、逃生等方面有著重大意義，被救者常常會(huì)被當(dāng)作重物，在緊急情況下，通過調(diào)節(jié)雙球飛石索模型的相關(guān)參數(shù)來控制救援設(shè)備的初始條件，釋放恰當(dāng)?shù)妮p物，即可最有效、便捷地保證待救人員的人身安全。

1 雙球飛石索的理論模型

1.1 雙球飛石索現(xiàn)象的原理分析

根據(jù)《力學(xué)》（第三版）[1]可以得到雙球飛石索現(xiàn)象中重物與輕物所受拉力的關(guān)系式：

1=2μα（1）

式（1）中：1為重物端繩上拉力，即重物重力；2為輕物端繩上拉力，且1＞2；為自然底數(shù)；為繩與桿的靜摩擦因數(shù)，而在繩與桿有相對運(yùn)動(dòng)時(shí)可將視為動(dòng)摩擦因數(shù)；為繩與桿的包角。

在重物下落的過程中，輕物會(huì)繞桿掃動(dòng)，包角逐漸增大，導(dǎo)致等式右側(cè)指數(shù)倍增長，在某一極短時(shí)間內(nèi)增加直至大于等于等式左邊一項(xiàng)，繩上拉力大于等于重物重力，此時(shí)重物便突然停止。

1.2 運(yùn)動(dòng)全過程輕重物的動(dòng)力學(xué)方程

在極坐標(biāo)系下，將桿的橫截面圓心看作極點(diǎn)，以豎直向上為極軸的正方向，極角取逆時(shí)針為正方向，如圖2所示。

圖2 雙球飛石索運(yùn)動(dòng)過程中的受力分析示意圖

分析輕物的運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可得：

=0－－（π+） （2）

式（2）中：為輕物端繩長；0為繩總長；為重物端繩長；為桿的橫截面半徑；為輕物端細(xì)繩從=180°開始的繞轉(zhuǎn)角度。

=π+（3）

對式（2）兩邊求導(dǎo)得：

對輕物使用角動(dòng)量定理，因?yàn)檩p物繞繩與桿相交的切點(diǎn)掃動(dòng)，而切點(diǎn)繞桿做圓周運(yùn)動(dòng)，所以以切點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)非慣性參考系，則有：

聯(lián)立式（2）（4）（5）可得：

由重物的受力分析得：

對輕物進(jìn)行徑向受力分析得：

聯(lián)立式（1）（3）（8）（9）得：

式（10）為重物運(yùn)動(dòng)全程的動(dòng)力學(xué)方程，式（6）和式（10）這兩個(gè)方程可分別描述雙球飛石索輕、重物運(yùn)動(dòng)的軌跡，以及輕重物運(yùn)動(dòng)全程的速度、加速度、角速度、角加速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量隨時(shí)間的變化特征。此外，也可基于這兩式從不同目的對雙球飛石索切入探究。將式（6）和式（10）代入Matlab進(jìn)行數(shù)值求解即可模擬雙球飛石索的運(yùn)動(dòng)。

在式（10）中，繩與桿的摩擦因數(shù)是不可忽略的，在Matlab中雙球飛石索模型得以運(yùn)行的前提是需要明確值。以下討論測定的方法，并給出由本實(shí)驗(yàn)情況決定的值。

1.3 摩擦因數(shù)的測量

觀察在包角為180°時(shí)，輕物豎直上升，重物豎直下落的情況。

設(shè)桿上細(xì)繩對桿豎直向下的壓力為，如圖3所示。

圖3 繩對桿的壓力示意圖

正壓力N則指向圓心，它與壓力之間的關(guān)系為：

式（11）中：為正壓力與豎直方向所成夾角。

通過微元法將繩對桿施加的正壓力拆分成無數(shù)個(gè)繩微元對桿微元的正壓力之和，從左到右為由90°減小為0°時(shí)，繩微元對桿微元的正壓力變化趨勢如圖4所示。

圖4 繩對桿正壓力變化示意圖

從圖4不難看出桿兩側(cè)正壓力大小相同、方向恰好對稱，由此可將對稱的兩側(cè)正壓力合成，得到：

N合=2Ncos（12）

聯(lián)立式（11）（12）可得：

N合=2cos2（13）

對式（13）積分得：

在實(shí)驗(yàn)中，實(shí)際測量方案為：讓輕重物兩端細(xì)繩按圖3所示方式豎直懸掛在水平桿上，用力的傳感器在輕物端施加一個(gè)豎直向下的拉力，使系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。此時(shí)緩慢增大拉力，當(dāng)重物勻速上升時(shí)，觀察傳感器顯示屏上一段時(shí)間內(nèi)保持不變的拉力值，并記錄下來，用此值加上輕物重力后可得到輕物端細(xì)繩的拉力。

由受力分析可知，用輕物端細(xì)繩的拉力減去重物端細(xì)繩的拉力（即重物重力），得到滑動(dòng)摩擦力，即：

=light－h(huán)eavy（15）

式（15）中：light為輕物端細(xì)繩的拉力；heavy為重物端細(xì)繩的拉力。

此時(shí)，桿受繩的豎直壓力為：

=light+heavy（16）

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置及步驟

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，所用到的實(shí)驗(yàn)用品有鐵桿、鐵架臺、金屬墊圈、細(xì)繩以及自制量角器（用來控制初始的釋放角度）。實(shí)驗(yàn)中，將桿用鐵架臺固定并保持其水平，再把兩份數(shù)量不等的金屬墊圈分別系在細(xì)繩兩端，充當(dāng)輕、重物。將細(xì)繩掛在桿上，下拉輕物使重物上升至一定高度，再使輕物端細(xì)線與相應(yīng)的量角器刻度重合以達(dá)到控制釋放角度的目的，然后釋放輕物，用相機(jī)拍攝從輕物釋放至輕重物完成運(yùn)動(dòng)后均靜止的過程，并觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。將錄制的視頻導(dǎo) 入Tracker追蹤輕物的軌跡得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用其與理論結(jié)果比對。

圖5 雙球飛石索的裝置實(shí)物圖

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

最直觀的驗(yàn)證方法為對照輕物軌跡圖，通過觀察理論與實(shí)驗(yàn)得到的軌跡是否重合來判斷理論是否合理。根據(jù)實(shí)驗(yàn)實(shí)際相關(guān)參數(shù)，設(shè)置Matlab求解雙球飛石索運(yùn)動(dòng)程序中的初始變量值：選取水平桿橫截面半徑=0.012 m，繩與桿的摩擦因數(shù)=0.26，重力加速度=9.8 kg·m/s2，用輕重物質(zhì)量之比（M/m）、繩總長0、初始釋放角0等進(jìn)行數(shù)值模擬預(yù)測，并與實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行比對，=8、0=1.0m、0=90°條件下理論與實(shí)驗(yàn)的對比如圖6所示。

圖6 輕物軌跡的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對比多組理論和實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)之后，發(fā)現(xiàn)理論模擬與驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的輕物軌跡圖基本重合，可以看出，理論與實(shí)驗(yàn)符合度較高。

3 影響繞桿圈數(shù)的因素

3.1 理論預(yù)測

繞桿圈數(shù)是描述雙球飛石索現(xiàn)象的特征量之一。接下來討論初始狀態(tài)，即輕物釋放前，繞桿圈數(shù)與繩長、釋放角度、輕重物質(zhì)量之比、繩與桿的摩擦因素等變量的關(guān)系。

直觀感受是繞桿圈數(shù)與繩長正相關(guān)，但這樣就忽略了輕重物質(zhì)量之比的影響。實(shí)際運(yùn)動(dòng)并非那么簡單，如果繩長過長，而輕重物質(zhì)量又很接近，在這種情況下，極可能無法完成完整的運(yùn)動(dòng)：輕物還未繞過最高點(diǎn)，速度就減小為0，從而跌落返回。此時(shí)若繩長越短，繞桿圈數(shù)反而會(huì)越多，但這僅屬于特殊情況。所以成正相關(guān)關(guān)系的條件為完成完整的雙球飛石索運(yùn)動(dòng)。

由式（10）可知，在能完成完整的雙球飛石索運(yùn)動(dòng)條件下，重物質(zhì)量比輕物質(zhì)量大得越多，重物豎直向下的加速度減小越慢，下落時(shí)間就會(huì)越長?？沙橄蟮乩斫鉃橹匚锒讼牡睦K長更長，留給輕物端繞桿掃動(dòng)的繩長自然更短，繞桿圈數(shù)也就更少。此時(shí)繞桿圈數(shù)與輕重物的質(zhì)量之比的倒數(shù)正相關(guān)，但類比繩長的討論，考慮這種情況：重物質(zhì)量遠(yuǎn)大于輕物，而繩子恰巧較短，整個(gè)過程將會(huì)變得極為迅速，系統(tǒng)變得極不穩(wěn)定，將很難確保它有較多的繞桿圈數(shù)。

繩與桿的摩擦因數(shù)也會(huì)存在影響。由式（10）不難發(fā)現(xiàn)，在能完成完整的雙球飛石索運(yùn)動(dòng)的條件下，摩擦因數(shù)越大，重物豎直向下的加速度減小得越快，重物就會(huì)越早停止下落，于是重物端消耗的繩長更短，留給輕物端繞桿掃動(dòng)的繩長會(huì)更長，繞桿圈數(shù)也就越多。

對于釋放角度的影響，通過觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可知：釋放角度過大或過小時(shí)，繞桿圈數(shù)往往都不會(huì)太大，而選取一個(gè)折中的范圍繞桿圈數(shù)會(huì)更大，這很像二次函數(shù)的變化關(guān)系。

3.2 釋放角度的影響

通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論預(yù)測的結(jié)果，并在探究相關(guān)因素時(shí)使用控制變量法。在其他量不變時(shí)，釋放角度范圍選取30°～150°，中間取15°為間隔進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。在此基礎(chǔ)上，討論在不同釋放角度下繞桿圈數(shù)的特點(diǎn)，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄多組實(shí)驗(yàn)的圈數(shù)，取平均值作為實(shí)際圈數(shù)，繞桿圈數(shù)釋放角度的函數(shù)關(guān)系如圖7所示，以下對自變量的探究采用同樣的方式。

圖7 輕物繞桿圈數(shù)隨釋放角度變化的規(guī)律

輕物繞桿圈數(shù)隨釋放角度變化規(guī)律為：繞桿圈數(shù)與釋放角度呈近似開口向下的二次函數(shù)關(guān)系變化，且最大值在釋放角為90°～105°范圍內(nèi)，這也就意味著將輕物舉起至水平面或略高于水平面時(shí)，其繞桿圈數(shù)達(dá)到上限，整個(gè)過程也就顯得更穩(wěn)定、更容易成功。但仍舊會(huì)發(fā)現(xiàn)此二次函數(shù)與軸交點(diǎn)并不是原點(diǎn)，當(dāng)繞桿圈數(shù)為0時(shí)釋放角度為一個(gè)稍大于0°的值，說明存在空氣阻力等誤差影響，結(jié)果比較符合現(xiàn)實(shí)中對雙球飛石索物理過程的直觀感受。

3.3 輕重物質(zhì)量之比的影響

在其他量不變時(shí)，選取6～14為重物質(zhì)量與輕物質(zhì)量比的范圍，中間取2個(gè)單位為間隔來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，并給出了它的回歸方程以及決定系數(shù)。繞桿圈數(shù)與輕重物質(zhì)量之比關(guān)系如圖8所示。

圖8 輕物繞桿圈數(shù)隨輕重物質(zhì)量之比變化的規(guī)律

輕物繞桿圈數(shù)隨輕重物質(zhì)量之比變化規(guī)律：在能完成完整的雙球飛石索運(yùn)動(dòng)的條件下，繞桿圈數(shù)與輕重物質(zhì)量之比呈近似線性遞減的關(guān)系變化。需要再次強(qiáng)調(diào)的是，此規(guī)律并不恒成立，正如3.1節(jié)所提到的，應(yīng)加一個(gè)前提——能完成完整的雙球飛石索運(yùn)動(dòng)。輕重物質(zhì)量之比與繩長這兩個(gè)自變量之間存在著某種內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系促使著它們不斷影響著對方對應(yīng)的應(yīng)變量變化規(guī)律。在此將這條性質(zhì)定義為自變量的非獨(dú)立性；與之相反，如果單個(gè)自變量決定的應(yīng)變量變化規(guī)律不受其他自變量的影響，則稱之為自變量的獨(dú)立性。從這個(gè)角度來看，輕重物質(zhì)量之比、繩長、繩與桿的摩擦因數(shù)是非獨(dú)立的，而釋放角度、水平桿橫截面半徑、重力加速度則是獨(dú)立的。

3.4 繩長的影響

在其他量不變時(shí)，選取0.6～1.4 m為繩長范圍，中間取0.2 m為間隔來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。繞桿圈數(shù)與繩長關(guān)系如圖9所示。

圖9 輕物繞桿圈數(shù)隨繩長變化的規(guī)律

輕物繞桿圈數(shù)隨繩長變化規(guī)律為：在能完成完整的雙球飛石索運(yùn)動(dòng)的條件下，繞桿圈數(shù)與繩長呈近似線性遞增的關(guān)系變化。

3.5 繩與桿的摩擦因數(shù)的影響

在實(shí)驗(yàn)中不便于改變繩與桿之間的摩擦因數(shù)，因此，對于繞桿圈數(shù)隨繩與桿的摩擦因數(shù)的變化規(guī)律可以通過理論模擬來觀察。在其他量不變時(shí)，選取0.2～1.0為摩擦因數(shù)范圍，中間取0.2個(gè)單位為間隔來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。繞桿圈數(shù)與繩與桿的摩擦因數(shù)關(guān)系如圖10所示。

圖10 輕物繞桿圈數(shù)隨繩與桿的摩擦因數(shù)變化的規(guī)律

輕物繞桿圈數(shù)隨繩與桿的摩擦因數(shù)變化規(guī)律為：在能完成完整的雙球飛石索運(yùn)動(dòng)的條件下，繞桿圈數(shù)與繩與桿的摩擦因數(shù)呈近似線性遞增的關(guān)系變化。

回顧3.1小節(jié)的理論預(yù)測，將之后得到的實(shí)驗(yàn)規(guī)律與其相比較，從而也間接地驗(yàn)證了理論的正確性。

4 結(jié)論

本文建立了一種描述雙球飛石索的運(yùn)動(dòng)過程的簡單物理模型，并從理論和實(shí)驗(yàn)上對該模型進(jìn)行了研究。

通過對比理論預(yù)測的輕物軌跡與實(shí)際軌跡驗(yàn)證了理論模型的有效性。除此之外，探究了繞桿圈數(shù)與如下4個(gè)自變量的變化關(guān)系：①與釋放角度呈近似開口向下的二次函數(shù)的關(guān)系變化；②與輕重物質(zhì)量之比呈近似線性遞減的關(guān)系變化；③與繩長呈近似線性遞增的關(guān)系變化；④與繩與桿的摩擦因數(shù)呈近似線性遞增的關(guān)系變化。將理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)兩者輕物軌跡基本重合，且理論較為準(zhǔn)確地預(yù)測了探究實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，說明理論與實(shí)驗(yàn)較符。

［1］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2012.

TP13

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.02.001

2095－6835（2020）02－0001－04

陳逸嘉（2002—），男，四川成都人，四川省成都市溫江中學(xué)高2018級學(xué)生。

趙蕓赫（1993—），女，吉林長春人，物理教師，主要研究方向?yàn)槲锢碚n程與教學(xué)論、IYPT問題解決。

〔編輯：張思楠〕