胡海巖

(北京理工大學宇航學院,飛行器動力學與控制教育部重點實驗室,北京 100081)

引言

梁是分析和設計工程結構時常用的簡化模型，其結構動力學分析已有數(shù)百年歷史，相對比較成熟.近年來，人們?nèi)找骊P注梁的動力學設計.例如，提出變截面梁的“聲學黑洞”概念并利用其進行減振設計[1-2]；對梁的截面和邊界進行結構優(yōu)化來獲得期望的動力學特性[3-4].在這些研究中，通常給定梁的動特性，求解梁的截面變化和邊界條件.對于這類結構動力學反問題，其提法是否正確、求解能否成功，往往取決于對結構動力學的理論認知.

以約束設計為例，結構動力學理論指出，對結構施加約束將提升(至少不降低)其各階固有頻率，而結構施加約束前后的固有頻率彼此相間[5].對于含靜不定約束的結構動力學問題，工程界主要關注其彈性振動，通常認為施加約束后的靜定結構固有頻率提升.多年前，筆者曾在教材中指出等截面梁的一類固有振動現(xiàn)象，即略去剛體運動后，自由-自由梁與固支-固支梁的固有頻率相同，而鉸支-自由梁與鉸支-固支梁的固有頻率相同[6].21 世紀以來，若干著作和教材也提及上述現(xiàn)象[7-8].雖然這些現(xiàn)象不違背上述結構動力學的約束理論，但人們詫異為何將梁的自由邊界完全約束后不改變?nèi)魏螐椥哉駝拥墓逃蓄l率.這是某種巧合，還是這些梁之間具有某種內(nèi)在聯(lián)系？如果是內(nèi)在聯(lián)系，變截面梁之間是否也存在這種聯(lián)系？

20 世紀60 年代，Karnopp[9]基于對偶變分原理研究變截面梁的固有振動問題，將不同邊界條件下具有相同固有頻率的梁稱為對偶.此后，Ram和Elhay[10]將變截面梁的微分方程進行有限差分，通過代數(shù)方法研究了梁的固有振動對偶問題.Wang 等[11]將材料力學中的共軛梁概念引入結構動力學，研究了梁在靜定約束和靜不定約束下的類比問題，重點討論梁的振型節(jié)點規(guī)律.在結構動力學研究中，人們還引入多種對偶概念并開展相關研究，包括彈性結構與黏彈性結構之間的對偶問題[12]、基于辛對偶的結構振動分析[13]，但并未系統(tǒng)解決梁在固有振動中的對偶問題.

本文針對由線彈性均質(zhì)材料制成的Euler-Bernoulli 直梁(以下簡稱為梁)，將兩種梁具有相同固有頻率作為對偶，系統(tǒng)研究各種對偶關系.第1 節(jié)給定梁的截面變化和齊次邊界條件，確定其對偶梁的截面變化規(guī)律和齊次邊界條件.第2 節(jié)限定對偶梁具有相同的截面變化，確定梁的截面變化規(guī)律和齊次邊界條件.第3 節(jié)討論等截面梁的對偶問題，指出等截面梁會產(chǎn)生新的對偶.

1 不同截面變化梁的對偶

本節(jié)給定某種梁的截面變化和齊次邊界條件，尋求另一種具有不同截面變化的梁和對應的齊次邊界條件，使兩種梁具有相同固有頻率，成為對偶.按照齊次邊界條件，對變截面梁的上述對偶進行分類，并指出梁的鏡像、相似與上述對偶的關系.

1.1 位移描述與彎矩描述

首先，考察圖1 所示的變截面梁a.以梁的左端為原點，建立沿梁軸線的位置坐標x∈[0,L]，其中L>0 為梁的長度.采用梁截面中線的橫向位移(以下簡稱位移)v(x,t)描述梁的自由振動，則有

其中，ρ >0 為梁的材料密度，E>0 為梁的材料彈性模量，A(x)>0 和I(x)>0 為梁的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，它們均關于x∈[0,L]二階連續(xù)可微.

圖1 變截面梁示意圖Fig.1 A non-uniform beam

注意到式(1)中的方括號項是梁a在動態(tài)變形過程中產(chǎn)生的彎矩，將其記為

由此可將式(1)改寫為

將式(2)兩端對時間t求兩次偏導數(shù)并交換偏導數(shù)順序，利用式(3)得到

上式可改寫為由彎矩M(x,t)描述的梁a的動力學方程

其次，考慮相同材料的變截面梁b，其長度也為L>0，截面積函數(shù)為截面慣性矩函數(shù)為它們也關于x∈[0,L]二階連續(xù)可微.采用位移描述梁b的自由振動，則有

將式(6)中的方括號項定義為梁b的彎矩

類比于對梁a的分析過程，可得到由彎矩描述的梁b的動力學方程

現(xiàn)取梁b的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)為

將式(9)代入式(6)和式(8)，則式(6)與式(5)中的偏微分方程形式完全相同，式(8)與式(1)也如此.本文稱滿足式(9)的梁a和梁b具有異截面對偶(a dual of different cross-sections)的動力學方程；即梁a的位移動力學方程與梁b的彎矩動力學方程相同，梁b的位移動力學方程與梁a的彎矩動力學方程相同.

上述梁a和梁b是否具有相同固有頻率，還取決于它們的邊界條件是否對偶.現(xiàn)考察梁的齊次邊界條件，這包括常見的固支邊界、鉸支邊界、自由邊界，以及圖1 梁右端的滑支邊界.該滑支邊界限定梁端部的轉角和剪力均為零，而其自身可在水平面上自由滑動，釋放梁彎曲變形引起的軸向變形和軸向力，也屬于齊次邊界條件[9,11].記xB∈{0,L}為梁的端點坐標，考察基于位移和基于彎矩描述的4 種齊次邊界，其結果如表1 所示.將表1 中由位移描述的邊界條件v(xB,t)=0 和vx(xB,t)=0 轉化為由彎矩描述時，用到動力學方程(3)，其推理如下

其中，將1/ρA(xB)代換為是為了得到與位移描述中剪力為零相對稱的表達式.

將表1 中的第2 列和第3 列作對比可見，由位移描述的自由邊界等價于由彎矩描述的固支邊界，由位移描述的滑支邊界等價于由彎矩描述的滑支邊界，由位移描述的鉸支邊界等價于由彎矩描述的鉸支邊界，由位移描述的固支邊界等價于由彎矩描述的自由邊界.本文稱具有上述等價關系的一對邊界為對偶邊界(a dual of boundaries).

表1 位移和彎矩對偶描述下的齊次邊界條件Table 1 Dual description of displacement and bending moment for homogeneous boundaries

1.2 異截面對偶梁及其分類

如果長度相同的梁a和梁b具有異截面對偶動力學方程，且滿足對偶邊界條件，則兩者的動力學方程邊值問題具有相同形式，故它們具有相同固有頻率，本文稱其為異截面對偶梁.將表1 的4 種邊界條件進行組合，得到表2 所示的16 種邊界條件.根據(jù)上述異截面對偶梁概念，可得到如下結論：

(1)表2 的異截面對偶梁分為7 類，其中第2類、第3 類和第4 類還可細分為子類A和子類B.但若梁a和梁b的截面積函數(shù)、截面慣性矩函數(shù)關于截面x=L/2 對稱(以下簡稱為彼此鏡像)，則上述子類A和子類B屬于彼此鏡像，可不必區(qū)分.

(2)對于上述7 類異截面對偶梁，第1 類至第3 類中的對偶梁具有不同邊界，第4 類至第6 類中的對偶梁具有相同邊界，第7 類中對偶梁具有彼此鏡像邊界，分別用黑色、藍色和紅色字體來區(qū)別.

(3)在上述7 類異截面對偶梁中，每類包括兩種固有頻率完全相同的梁；它們彼此的位移振型與彎矩振型相同，進而可簡化計算.例如，若已知梁a的第r階位移振型vr(x)，由式(2)得到其彎矩振型Mr(x)=EI(x)?2vr(x)/?x2，則梁b的第r階位移振型可取為=Mr(x)；反之，若已知梁b的第r階位移振型，由式(7)得到其彎矩振型，則梁a的第r階位移振型可取為

表2 具有齊次邊界條件的梁分類(F:自由,S:滑支,H:鉸支,C:固支)Table 2 Classificatio of beams with homogeneous boundaries(F:free,S:slipping,H:hinged,C:clamped)

1.3 平凡與非平凡對偶

除了上述異截面對偶，梁a和梁b在如下兩種情況下也具有相同固有頻率.

(1)鏡像：即梁a及其邊界條件與梁b及其邊界條件關于截面x=L/2 對稱.顯然，兩鏡像梁的固有頻率相同，而它們的位移振型彼此為鏡像.

(2)相似：即梁a具有截面積函數(shù)A(x)和截面慣性矩函數(shù)I(x)，梁b具有與梁a相同的邊界，且具有截面積函數(shù)βA(x)和截面慣性矩函數(shù)βI(x)，其中β >0 使梁b仍保持為Euler-Bernoulli 梁.根據(jù)變截面梁的位移動力學方程，系數(shù)β>0 不影響梁的固有振動，即兩相似梁具有相同的固有頻率和位移振型.在對偶研究中，將它們視為同一根梁.

鏡像和相似具有如下特點：一是它們屬于平凡情況，無需對偶分析即獲得梁的上述固有振動行為；二是兩根梁彼此鏡像或相似時，具有相同固有頻率，屬于引言所界定的對偶；三是根據(jù)1.2 節(jié)中異截面對偶梁的位移振型與彎矩振型關系，它們不屬于異截面對偶；四是對于兩根彼此鏡像或相似的梁，若其中之一與另一根梁構成異截面對偶，則它們均與該梁構成異截面對偶，即鏡像或相似可傳遞對偶信息.基于上述特點，本文將鏡像和相似作為平凡對偶(trivial dual)，而將異截面對偶作為非平凡對偶(non-trivial dual).

1.4 案例：截面積四次變化的梁

現(xiàn)通過案例展示如何基于異截面對偶條件分析梁的固有振動.考察變截面固支-固支梁a，其截面積函數(shù)為A(x)=A0(1+αx)4，A0>0，α>?1/L，截面慣性矩函數(shù)為I(x)=，rg>0 為截面回轉半徑.根據(jù)式(1)得到梁的位移動力學方程邊值問題

引入新的函數(shù)w(x,t)≡(1+αx)2v(x,t)，可將式(12)轉化為[14]

這是常見的等截面固支-固支梁的動力學方程邊值問題，其固有頻率和位移振型為[6-8]

變截面固支-固支梁a具有式(14a)給出的固有頻率，而其位移振型為

取變截面自由-自由梁b的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)分別為

根據(jù)異截面對偶關系，自由-自由梁b具有與固支-固支梁a相同的固有頻率，其位移振型可取為

該結果的正確性可通過將式(17)代入變截面自由-自由梁b的動力學邊值問題得以驗證.圖2 是α=2/L時異截面對偶梁的前三階位移振型，此時梁a的截面積左小右大，故位移振型的幅值左高右低；而梁b的截面積變化相反，故位移振型的幅值左低右高.

圖2 α=2/L 時異截面對偶梁的最大位移歸一化振型(第一階：黑色，第二階：紅色，第三階：藍色)Fig.2 The normalized displacement mode shapes of a dual of beams of different cross-sections for α=2/L(the 1st order:black,the 2nd order:red,the 3rd order:blue)

2 相同截面變化梁的對偶

本節(jié)限定兩種變截面梁具有相同的截面變化，研究它們在什么條件下具有相同固有頻率.為直觀起見，先討論一個案例，再研究一般情況.

2.1 案例：截面積指數(shù)變化的梁

考察固支-固支梁a，設其具有高度不變、寬度隨指數(shù)變化的矩形截面，記截面積函數(shù)為A(x)=A0exp(αx)，A0>0，截面慣性矩函數(shù)為I(x)=其中rg>0 為截面回轉半徑.

再考察自由-自由梁b，取其截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)為

因此，自由-自由梁b與固支-固支梁a構成異截面對偶梁.將梁b的鏡像記為梁c，梁c可傳遞梁b攜帶的對偶信息，故自由-自由梁c與固支-固支梁a構成異截面對偶梁.注意到梁c的截面積和截面慣性矩分別為

再將自由-自由梁c的截面積和截面慣性矩乘以β，得到與梁c相似的自由-自由梁d，梁d與梁c具有相同固有頻率.從邏輯上看，固支-固支梁a與自由-自由梁d構成異截面對偶梁，具有相同的固有頻率，兩者的位移振型是對偶的彎矩振型.然而，梁d與梁a具有相同的截面積和截面慣性矩.由于這是相同截面變化的梁在不同邊界條件下的對偶，故稱其為同截面對偶(dual of identical cross-sections).在后續(xù)研究中，可不再區(qū)分梁a和梁d.

為了進一步理解梁的同截面對偶，求解變截面固支-固支梁a的固有振動，再通過同截面對偶獲得其在自由-自由邊界條件下的固有振動.將梁a的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)代入式(1)，消去A0exp(αx)>0，得到線性常系數(shù)偏微分方程

其中cL為梁的縱波波速.將分離變量解v(x,t)=v(x)sin(ωt)代入式(20)，得到常微分方程

其中κ 為波數(shù).式(21)的特征方程為

由于求解式(22)的解析解比較復雜，現(xiàn)研究α 為小參數(shù)時的情況，將式(22)的解近似表示為λ≈η0+η1α.將該表達式代入式(22)，比較α 的同次冪，得到η0∈{±iκ,±κ}，η1=?1/2，進而得到近似特征值

此時，式(21)的解具有如下形式

對于固支-固支邊界梁a，將式(24)代入其邊界條件，得到

根據(jù)式(25)有非零解的充分必要條件，可得到與等截面固支-固支梁相同的特征方程.因此，變截面固支-固支梁a具有式(14a)給出的固有頻率，而根據(jù)式(24)可得到其位移振型

再考察與梁a對偶的自由-自由梁b，它滿足式(18).此時，梁b的固有頻率與梁a完全相同，而其位移振型等同于梁a的彎矩振型，可取為

將式(27)中的位置坐標x代換為L-x或改變α 的正負號，可得到梁c的位移振型也就是梁d和梁a在自由-自由邊界條件下的位移振型.

圖3 給出α=1/2L時固支-固支梁和自由-自由梁的前三階位移振型.由于α >0，梁的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)均隨位置坐標x遞增，故圖3 中梁的右端位移小于左端位移.

圖3 α=1/2L 時同截面對偶梁前三階最大位移歸一化振型(第一階：黑色，第二階：紅色，第三階：藍色)Fig.3 The normalized displacement mode shapes of a dual of beams with identical cross-sections(the 1st order:black,the 2nd order:red,the 3rd order:blue)

2.2 同截面對偶條件

現(xiàn)將第2.1 節(jié)的分析思路進行推廣，得到梁的同截面對偶條件如下：存在常數(shù)β >0，使其截面積函數(shù)A(x)和慣性矩函數(shù)I(x)滿足

通過變量代換可知，式(28)中的兩個條件等價.現(xiàn)選擇第一個條件進行研究，將其改寫為

引入新變量y及兩個新函數(shù)

可將式(30)表示為

由式(31)和式(32)解出

因此，選擇光滑函數(shù)f(y),y∈[?L/2,L/2]，即可由式(33)得到滿足式(28)的截面積函數(shù)A(x)和截面慣性矩函數(shù)I(x).雖然式(33)限定了梁的截面變化，但因光滑函數(shù)f(y)的任意性，同截面對偶梁的設計空間非常大.以下討論兩種典型情況.

(1)f(y)為奇函數(shù)：此時，A(x)和I(x)均關于x=L/2 反對稱，且

此時，截面回轉半徑rg為常數(shù).不難驗證，第2.1 節(jié)案例中梁的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)滿足式(33)和式(34)，故該案例構成同截面對偶.

現(xiàn)以更復雜的奇函數(shù)f(y)=?α sin(πy/L)，α>0為例，討論同截面對偶關系.由式(33)得到容易驗證，式(35)滿足式(28).設固支-固支梁a具有式(35)所給出的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，圖4 依次給出固支-固支梁a，與梁a異截面對偶的自由-自由梁b，以及梁b的鏡像梁c的截面積對比.此時，梁c的截面積為?B(x)=A(x)/β，截面慣性矩為?J(x)=I(x)/β.將它們乘以β，得到與梁c相似的自由-自由梁d.由于梁d的截面積和截面慣性矩正是A(x)和I(x)，故梁d與梁a是同截面對偶.換言之，將梁a的固支-固支邊界改為自由-自由邊界后，兩者具有相同固有頻率.

圖4 固支-固支梁a，對偶的自由-自由梁b，梁b 的鏡像梁c 的截面積對比Fig.4 A comparison of cross-sectional areas among clamped-clamed beam a,free-free beam b in a dual,and beam c mirrored from beam b

(2)f(y)為偶函數(shù)：此時，A(x)和I(x)均關于x=L/2 對稱，而截面回轉半徑隨x變化

以偶函數(shù)f(y)=αy2,α>0 為例，由式(33)得到

不難驗證，式(37)滿足式(28).設固支-固支梁a具有式(37)所給出的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，圖5 依次給出固支-固支梁a，與梁a異截面對偶的自由-自由梁b，以及梁b的鏡像梁c的截面積對比.引入與梁c相似的自由-自由梁d，即得到固支-固支梁a的同截面對偶.

圖5 固支-固支梁a，對偶的自由-自由梁b，梁b 的鏡像梁c 的截面積對比Fig.5 A comparison of cross-sectional areas among clamped-clamed beam a,free-free beam b in a dual,and beam c mirrored from beam b

2.3 同截面對偶梁的分類

對于滿足式(28)的變截面梁，現(xiàn)根據(jù)表2 考察形成同截面對偶梁的邊界條件.第2.2 節(jié)已分析了自由-自由梁與固支-固支梁的同截面對偶.類比第2.2 節(jié)討論梁a、異截面對偶梁b及其鏡像梁c、與梁c相似的梁d之間的關系，可證明表2 中的第2 類至第4 類梁也屬于同截面對偶.以第2A 類的滑支-自由梁a為例，其異截面對偶是滑支-固支梁b，梁b的鏡像是固支-滑支梁c，而與梁c相似的固支-滑支梁d具有與梁a相同的截面積和截面慣性矩；因此，第2A 類的滑支-自由梁與第2B 類的固支-滑支梁屬于同截面對偶.采用相同方法可證明，第2A 類的滑支-固支梁與第2B 類的自由-滑支梁屬于同截面對偶；第3A 類的鉸支-自由梁與第3B 類的固支-鉸支梁屬于同截面對偶；第3A 類的鉸支-固支梁與第3B 類的自由-鉸支梁屬于同截面對偶；第4A 類的鉸支-滑支梁與第4B 類的滑支-鉸支梁屬于同截面對偶.

2.4 同截面非對偶梁

由于同截面對偶梁要滿足比異截面對偶梁更苛刻的截面條件，故表2 中同截面對偶梁類別比異截面對偶梁類別要少.以第7 類梁為例，考察固支-自由梁a，其異截面對偶是自由-固支梁b，而梁b的鏡像是固支-自由梁c，它與梁a具有相同截面變化和相同邊界條件.根據(jù)第1.3 節(jié)的討論，梁a與梁c相似，可視為同一根梁，屬于平凡對偶.換言之，固支-自由梁只能與其自身同截面對偶，其同類中的自由-固支梁也如此.此外，上述固支-自由梁a與自由-固支梁b的截面變化、邊界條件均滿足鏡像條件，故兩梁彼此鏡像，屬于平凡對偶.不難證明，表2 中的第5 類梁和第6 類梁均只能與自身同截面對偶，也屬于平凡對偶.

2.5 非同截面對偶梁

不滿足式(28)的變截面梁比比皆是.以第1.4節(jié)中截面積四次變化梁a為例，其截面慣性矩為I(x)=，但截面積函數(shù)A(x)不具有式(33)的形式，故該梁不具有同截面對偶.已有研究表明[14]，截面積四次變化梁在固支-固支邊界和自由-自由邊界下具有不同固有頻率.

3 等截面梁的對偶

3.1 變截面梁的退化結果

對于滿足A(x)≡A0>0 和I(x)≡的等截面梁a，記其縱波波速cL≡根據(jù)式(1)和式(5)，可將梁的位移動力學方程邊值問題和彎矩動力學方程邊值問題分別簡化為

上述兩式列出了所有可能邊界條件的集合，對具體問題應根據(jù)表1 進行組合.根據(jù)式(9)選擇梁b，可類似地得到其位移動力學方程邊值問題和彎矩動力學方程邊值問題

由于上述方程中不出現(xiàn)截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，可認為梁a和梁b是完全相同的梁，只能通過不同的齊次邊界條件構成同截面對偶.注意到式(38)與式(41)的邊界條件形式相同，式(39)和式(40)的邊界條件形式相同.因此，在位移描述和彎矩描述對偶的前提下，有如下結論：

(1)表2 中的前3 類等截面梁保持同截面對偶：第1 類是自由-自由梁與固支-固支梁對偶；第2 類是滑支-自由梁與固支-滑支梁對偶，或該對偶的鏡像；第3 類是鉸支-自由梁與固支-鉸支梁對偶，或該對偶的鏡像.這3 類對偶各有兩種梁，一種梁具有靜定約束，而另一種梁具有靜不定約束.

(2)對于等截面梁，表2 中第4 類的兩種梁、第7 類的兩種梁均屬于彼此鏡像，第5 類和第6 類的梁則各屬于一根梁；它們均屬于平凡對偶.

3.2 等截面梁的對偶拓展

在位移描述和彎矩描述下，滑支-滑支梁、鉸支-鉸支梁各屬于平凡對偶，彼此無對偶關系.但值得注意的是，鉸支-鉸支梁具有靜定約束，而滑支-滑支梁具有靜不定約束，這恰好是3.1 節(jié)中前3 類等截面梁對偶共有的基本特征.由此可猜想，在等截面前提下，這兩種梁可否在其他描述下構成對偶？

根據(jù)式(38)，等截面滑支-滑支梁的位移動力學方程邊值問題為

將式(42)中的偏微分方程兩端對位置坐標x求一次偏導數(shù)，并將結果替換為梁的轉角描述θ(x,t)≡vx(x,t)，得到等截面梁的轉角動力學方程邊值問題

注意到式(43)與位移描述的等截面鉸支-鉸支梁動力學方程邊值問題具有相同形式，故等截面滑支-滑支梁的轉角動力學與等截面鉸支-鉸支梁的位移動力學之間可形成同截面對偶.若不計滑支-滑支梁垂直于軸線的剛體運動，這兩種梁的第r階固有振動頻率均為

根據(jù)等截面鉸支-鉸支梁的位移振型，可取等截面滑支-滑支梁的轉角振型為

將上式對x積分，得到不計剛體運動時的等截面滑支-滑支梁的位移振型

3.3 剛體運動

最后以等截面梁為例，證明在非平凡對偶的兩種梁中，必有一種梁具有剛體運動.考察對偶中含靜定約束的梁，記其振動波數(shù)為κ >0.考察對偶梁的轉角和曲率，將其寫為分離變量形式

將式(47a)和(47b)分別關于位置坐標x積分一次和兩次，得到

其中c5(t)，d5(t)和d6(t)是與剛體運動相關的時間函數(shù).式(48a)對應滑支-滑支梁、滑支-自由梁的位移動力學，c5(t)是垂直于梁軸線的剛體運動；式(48b)對應自由-自由梁的位移動力學，d6(t)+xd5(t)是平面內(nèi)的剛體運動；若式(48b)中的d6(t)=0，則對應鉸支-自由梁的位移動力學，xd5(t)是繞梁左端鉸的剛體轉動.這些梁缺少足夠的約束消除c5(t)，d5(t)和d6(t)，故必有剛體運動.

上述過程先獲得梁在平衡位置附近的彈性振動，再積分獲得剛體運動，形成兩者的線性疊加.因此，式(48)僅適用于描述在平衡位置附近作直線剛體運動的滑支-滑支梁、滑支-自由梁，以及在平衡位置附近呈現(xiàn)低速剛體轉動的鉸支-自由梁、自由-自由梁.當鉸支-自由梁、自由-自由梁的剛體轉動速度較高時，則必須采用柔體動力學方法，計入梁的剛體轉動與彈性振動的非線性耦合.

4 結論

(1)對于具有齊次邊界條件的變截面梁，引入與位移描述對偶的彎矩描述，可獲得不同截面變化下具有相同固有頻率的對偶梁，本文稱之為異截面對偶.研究表明，上述變截面梁可劃分為以下7 類異截面對偶，一是自由-自由梁與固支-固支梁，二是滑支-自由梁與滑支-固支梁(及其鏡像)，三是鉸支-自由梁與鉸支-固支梁(及其鏡像)，四是鉸支-滑支梁與鉸支-滑支梁(及其鏡像)，五是滑支-滑支梁與滑支-滑支梁，六是鉸支-鉸支梁與鉸支-鉸支梁，七是固支-自由梁與自由-固支梁.

(2)若上述對偶中的兩種梁具有相同截面變化，本文稱其為同截面對偶.研究表明，同截面對偶梁具有特定指數(shù)函數(shù)形式的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù).在此條件下，上述前4 類對偶梁成為同截面對偶；而后3 類對偶梁只能與其自身或鏡像構成同截面對偶，屬于平凡對偶.

(3)若進一步限定梁具有等截面，則前3 類對偶梁保持同截面對偶關系，第4 類對偶梁退化為彼此鏡像.此時，通過引入與位移描述對偶的轉角描述，可發(fā)現(xiàn)等截面梁的一種新對偶，即滑支-滑支梁與鉸支-鉸支梁對偶.等截面梁的這4 種對偶均具有如下特征，即一種梁具有靜定約束，而另一種梁具有靜不定約束.

表3 給出上述結論的完整歸納，在滿足表中第一行的對偶條件前提下，不同齊次邊界條件給出不同的對偶結果.其中，符號?代表非平凡對偶；符號代表平凡對偶；采用表2 的約定，以黑色字體表示對偶梁具有不同邊界，藍色字體表示對偶梁有相同邊界，紅色字體表示對偶梁有鏡像邊界.

上述結論不僅可提升對梁的固有振動特性認知水平，而且可為梁的動力學設計提供截面變化規(guī)律和邊界條件選擇的理論依據(jù).

表3 梁的對偶條件及在齊次邊界條件下的分類(F:自由,S:滑支,H:鉸支,C:固支)Table 3 Classificatio of beams with homogeneous boundaries under dual Conditions(F:free,S:slipping,H:hinged,C:clamped)